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Vous posez-vous cette question ?

Bonsoir, vous êtes-vous déjà demandés d'où venaient vos idées lorsque vous devez par exemple résoudre un problème de maths. Personnellement je me force de ne pas y penser sinon ça m'empêche de réfléchir. Par exemple, lorsque je me mets devant un exo, je suis devant et je me dis " Comment je vais trouver la solution à cet exercice ? "

Et donc en fait c'est même plus de la réflexion puisque ce à quoi je pense en partie c'est surtout ce qui fait que je vais trouver la solution.

Donc la question que je veux vous poser c'est : est-ce que vous vous êtes déjà interrogés la dessus (sûrement) et si oui comment faites-vous pour vous remettre dans un bon état d'esprit ?

Merci à l'avance pour vos réponses à ma question un peu bizarre (mais quand je m'interroge sur la logique qui nous paraît évidente je ne suis plus en mesure de réfléchir).

Réponses

  • D'où viennent les idées ?

    Bon, on a appris à utiliser des méthodes, on s'est pris les pieds dans le tapis plusieurs fois, on a acquis une expérience qui nous pousse à aller dans un sens, etc.
    Il y a donc une part de formation qui nous permet de chercher dans une voie. C'est l'expérience.

    Mais il me semble que "les idées", on a de la chance (enfin... c'est lié à la pratique aussi... mais il y a une part de "grâce") de les avoir à un moment.
    Il suffit de prendre un exemple trivial : le prof de maths propose à une classe de 6eme l'exercice suivant.

    On sait que $\qquad 7\times a=13$
    Combien vaut $\qquad 14\times a$ ?


    Je garantis que la majorité n'étant pas habitué (l'expérience, donc) va tout de suite dire "J'ai pas compris".
    Une bonne partie dit vrai : ils ne comprennent pas à cause de la lettre. C'est du "chinois".
    Une autre partie a très bien compris mais ne sait pas comment chercher (et ils vont persister à dire "J'ai pas compris" ce qui est pénible).
    Parmi les plus débrouillards, on aura ceux qui veulent d'abord trouver $a$ (en écriture décimale) pour pouvoir trouver $14a$.

    Enfin, il reste trois élèves non effrayés par la lettre et qui comprennent "les enjeux" du problème.
    Et là, ce n'est jamais "le meilleur" qui dit : "Ben ça fait $26$ !".
    Et en générale, l'élève ajoute quand on le titille : "Ben comme $14$, c'est $2\times 7$..."

    Et c'est là que je ne sais pas répondre.
    Tout le monde sait que $14$, c'est $2\times 7$. Mais je ne sais absolument pas pourquoi l'élève y a pensé à ce moment là.
    C'est ça que personne ne sait enseigner.
    Je le répète, ce n'est jamais "le meilleur" qui trouve ça.

    Un autre exemple (légendaire) : le petit Gauss aligne la somme des 1000 premiers entiers non nuls, une fois dans l'ordre croissant puis une fois dans l'ordre décroissant, juste en dessous.
    C'est génial ! Et tous ceux qui comprennent le disent : C'est Génial !!!
    Mais pourquoi et comment avoir pensé à faire ça ?
    Aucune idée.

    Je ne sais pas finalement c'est ta question... mais ce sujet m'interpelle à ce niveau là.
  • Bonjour,

    Je me dis :
    - La solution est « dans le problème ».
    Je regarde et envisage bien le problème.
    - Quelles sont les différentes façons d’aborder le problème ?
    Un théorème, un algorithme, la géométrie, du calcul, etc.
    - Quelle est la solution du problème si on le simplifie ?
    Dimension $1$ pour les matrices, élimination des non linéarités, substitution d’une fonction par une autre…
    - Quelle est la forme la plus générale du problème ?
    - Qu’est-ce qui rend ce problème difficile ?
    Je ne comprends pas l’énoncé, les calculs semblent inextricables, l’approche usuelle prend des jours de calcul, …
    - Quelle est la solution approximative du problème ?
    La racine du polynôme est dans $[0,1]$, la solution permanente de l’équation différentielle est…

    Puis je me lance.
  • Dom
    Tu penses vraiment que tous les élèves savent instantanément que 14=2×7? (et non que 2×7=14). Je n’en suis pas certain, même pour un exemple aussi simple. Si on le titille oui mais ce n’est pas en mode réflexe qui fait que immédiatement il remplace dans sa tête 14 par 2×7 et peut-être voir la suite (de la même manière que connaître un mot d’une langue étrangère en mode seulement passif ne permet pas de l’utiliser à l’oral dans une conversation).
  • Ok. Je comprends ce que tu veux dire.
    C’est vrai qu’on a déjà lu ici que « $2\times 7$ n’est pas un entier ».

    Même avec cet entonnoir (***ceux qui savent ça !), mon exemple reste valable : on ne sait pas pourquoi l’élève y a pensé.
    J’entends « penser à utiliser un truc que tout*** le monde sait ».
  • Dom
    Difficile d’expliquer, peut-être que l’élève a trouvé juste par un coup de bol en voyant instantanément ce 2×7, par association sans trop se soucier si son raisonnement est valable.
    7×a=$\frac{15}{2}$ combien fait 14+a? Pas impossible que certains élèves répondent rapidement 15 et là on ne saura pas si c’est seulement une vraie étourderie ou pas.
  • Je préfère : '14 est le double de 7 '

    D'où viennent les idées. ?
    Tu parles de résoudre un problème de maths .. donc un problème qui a une solution, connue par le type qui a rédigé le problème.

    L'idée vient beaucoup de l'expérience. Quand on a mangé plein d'exercices, en commençant par les plus simples, pour faire de plus en plus compliqué, on a couvert plein de configurations.
    Et on peut souvent se raccrocher à un exercice un peu similaire.
    Mais pour ça, il faut avoir fait tout le travail de préparation, il faut avoir fait soi-même tous les exercices. Ca ne sert à rien si on a lu des corrigés, ou si on a fait faire les exercices par quelqu'un d'autre.
    On ne mémorise une technique que si on l"a vraiment mise en pratique, soi-même.
    Le vélo, ça ne s'oublie pas, à condition d'avoir fait soi-même du vélo. Si on a simplement vu quelqu'un faire du vélo, ça ne sert à rien.
    Les maths, c'est pareil.
    Dédicace à un ami.

    Le plus souvent, une idée, c'est en fait un souvenir.

    Sur certains exercices, (plus des exercices de la vraie vie, des questions de dénombrements par exemple, ou des exercices de type 'problème ouvert', moins scolaire), j'aime beaucoup prendre du recul.
    Je lis l'énoncé, je cherche.

    Puis je laisse tomber. Je pars faire un footing (sans musique, sans rien pour me perturber), et là, à un moment ou un autre, je vais me mettre à cogiter sur cet exercice, et la lumière peut jaillir.

    Pour pouvoir être efficace, il faut avoir lu et relu l'énoncé. Il faut le connaître par coeur, il faut que l'énoncé soit 'stocké en mémoire vive'.
    Si on a besoin de relire l'énoncé pour vérifier telle ou telle partie de l'énoncé, on n'est pas dans de bonnes conditions.
    Le cerveau est comme un ordinateur. Si toutes les informations sont en mémoire vive, c'est performant. Si les informations sont sur une base de donnée distante, les traitements sont plus longs.
    Et donc il faut s'imposer cette discipline : je lis l'énoncé, je mémorise bien chaque information utile. Puis je ferme le bouquin, et je cherche.
  • J a écrit:
    Bonsoir, vous êtes vous déjà demandés d'où venaient vos idées lorsque vous devez par exemple résoudre un problème de maths
    De l'expérience acquise. La capacité de résoudre des exercices est surtout la capacité d'utiliser avec efficience l'expérience acquise. C'est comme si on était face à un tableau et qu'on se demandait si on l'avait déjà rencontré lui ou une peinture très ressemblante. Notre capacité à identifier des motifs est mobilisée et notre capacité à stocker l'information aussi (la façon dont on enregistre nos expériences a sûrement un rôle aussi déterminant dans le processus)
  • Des fois, je tombe sur des exercices qui sont censés être à ma portée et a priori pas trop durs, et je n'arrive juste pas à "voir le truc". Quand je regarde l'explication, je comprends tout de suite, mais le souci est en fait ailleurs.

    Typiquement, la présentation du problème va m'inciter à utiliser un résultat précis, ou va me faire penser à 1-2 méthodes précises, parce que ça ressemble beaucoup à quelque chose qui me rappelle vaguement un truc. Alors je me dis "tel truc doit forcément marcher" et je finis focalisé sur l'idée que j'ai la bonne méthode, mais que je suis juste trop nul pour voir le détail qui fait qu'elle marche... alors qu'en fait ça ne marche pas du tout et il faut utiliser une autre méthode. Je finis tellement happé par le sentiment que c'est obligé que le truc 1 marche que j'en perds la capacité à envisager le truc 2.
  • Pour résoudre des problèmes, il faut des automatismes, de l'expérience comme le dit Fdp et ensuite (moi j'ai beaucoup de mal), il faut une capacité à se détacher justement de ses automatismes pour changer son point de vue, etc. Ce n'est pas forcément simple comme le souligne justement Homo Topi, on a souvent tendance à être prisonnier de son expérience.

    (Aux échecs, c'est un peu pareil. Pour assez bien jouer, il faut pas mal d'automatismes, d'expérience, de connaissances, mais ensuite il ne faut pas rester enfermer dans ces derniers et être capable de changer son regard pour franchir des paliers. )
  • Merci beaucoup pour toutes vos réponses.
    Finalement c'est en quelque sorte l'inconscient et l'expérience qui nous permettent de trouver les solutions. Le plus dur est d'accepter que l'inconscient est bien une partie de nous réfléchit
  • Pour progresser, voici ce qui fonctionnait pour moi. Lorsque je rencontrais un exercice que je ne savais pas faire :
    1) Essayer au maximum, en s’efforçant d'écrire son raisonnement.
    2) Essayer de voir ce qu'il se passe sur des exemples simples (prendre n=1, 2..., choisir une fonction simple...)
    3) Si aucune idée concluante ne vient, regarder puis étudier en détail la correction (avec pour objectif de la comprendre, et non de l'apprendre).
    4) Une fois la correction comprise, se mettre un rappel 1 semaine plus tard, et essayer de nouveau l'exercice. Même chose, on s'efforce de rédiger au maximum, et surtout on ne triche pas avec soi-même. On doit s'assurer de comprendre tous les enchaînements, et ne pas essayer de tricher. Si on sait qu'on "arnaque" lors d'une étape, tan pis, on peut continuer, mais il faut se l'avouer et ensuite retravailler ce point. Ensuite retravailler la correction si nécessaire.
    5) On recommence quelques semaines plus tard. L'exercice devrait être maîtrisé à ce moment la ! S'il ne l'est pas, recommencer 1 mois plus tard.

    N.B. Pour des exercices plus difficiles, ou des démos compliquées que l'on souhaite maîtriser à fond (ex : développement pour l'oral d'agreg), il peut être bon de rapprocher les essais.

    Ensuite, varier les exercices permet sans s'en rendre compte de progresser.
  • Tiens, à ce propos... quand considérez-vous que vous "maîtrisez" un sujet ?

    Par exemple, je me trouve généralement à l'aise en algèbre linéaire, mais il y a toujours des exercices d'algèbre linéaire face auxquels je n'ai aucune idée immédiate de la bonne méthode, où j'ai besoin de prendre mon temps et de réfléchir, d'essayer, de bidouiller. Pareil pour l'analyse réelle, il y a toujours des choses où je ne sais pas "tout faire" alors que je comprends bien les concepts et que je connais les théorèmes.

    En résumé, il est toujours possible de fabriquer des sujets d'exam de niveau L2, ou des sujets de concours de fin de prépa, auxquels je n'aurai probablement pas 20/20, alors que j'ai un bac+5 en maths pures. Faudrait-il que je continue à bosser ces choses-là pour me considérer comme un "bon" mathématicien (amateur...), ou vaut-il mieux que je m'en fiche et que je continue à diversifier ma culture mathématique ? Par exemple, là je me réintéresse un peu à la géométrie algébrique, pour essayer de comprendre les concepts de base-base. Ben rien que ça, ça me fait travailler l'algèbre commutative "par morceaux" au-delà de ce que j'ai appris en Licence, donc je comble des lacunes de niveau Licence en faisant des choses de niveau M2. Je trouve ça plus intéressant comme ça, en tout cas.
  • Est-ce qu'il existe un pilote automobile qui quelque soit le temps, l'imprévu, saura quoi faire à tous les coups avec sa voiture ? Est-qu'il existe un chirurgien cardiaque qui quelque soit le patient, saura toujours parfaitement quoi faire en opérant. Il peut toujours tomber sur un patient totalement atypique malgré des centaines d'opérations réalisées.
    Tu vois ce que je vous dire ? Je pense que penser qu'on maîtrise un truc en mathématiques car on saurait absolument faire tous les exercices d'un niveau donné, est un leurre.
  • Oui... c'est probablement une question de confiance en soi plus qu'autre chose.
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