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Déterminer le minimum d'une fonction

Bonjour
par quel moyen on peut déterminer le nombre suivant
$$
c_0^2= \min_{\mu > 0} \dfrac{D_1 \mu^2 (\mu+\beta_1) e^{\mu \tau_1}}{\mu(\mu+\beta_1)+\sigma \beta_1 e^{\mu \tau_1} + a_1 u_0 b_1}
$$
avec $D_1=0.001, \beta_1=0, \sigma=0.4, a_1=10, b_1=5, u_0=1, \tau_1=10$

Cordialement
«1

Réponses

  • Heu ... avec $\beta_1=0$, ta formule se simplifie fortement. Et $a_1u_0b_1$ est une seule constante que tu peux calculer ...

    Cordialement.
  • Autre idée : les méthodes de fin de lycée n'ont pas perdu de leur pertinence ...
  • Bonjour.

    Sans compter que $\tau_1$ n'est pas explicité, mais il n'intervient que dans un seul terme et peut donc s'apparenter à une constante. .

    À bientôt.

    Cherche livres et objets du domaine mathématique :

    Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.

  • Pour trouver exactement le $\mu$ qui réalise l'inf, il faut résoudre une équation du type $Q(x)=e^{ax}$ où $Q$ est une fonction rationnelle, et $a$ un réel. Autant dire que c'est pas gagné. Vu que ton problème a l'air très concret, je prendrais une méthode numérique.

    Edit: pas vu que $\beta_1=0$... Effectivement, il n'y a plus besoin d'approximer.
  • Bonjour,

    Etude de fonction. La dérivée par rapport à $\mu$ est strictement positive quand $\tau_1 \geq 0$ ce que je suppose. Le minimum est donc en $\mu = 0$ et vaut $c_0^2 = 0.$
  • $\tau_1=10$. Pardon je l'avais oublié
  • Et ta fonction est donc ... (Pourquoi demander aux autres de faire la simplification évidente que tu peux faire toi-même ? Fainéantise ?)
  • $$
    \min_{\mu > 0} \dfrac{0.001 \mu^3 e^{10 \mu}}{\mu^2+50}.

    $$ le minimum est 0.
  • Non, pour $\mu>0$, il n'y a pas de minimum. Mais comme l'expression est manifestement strictement positive et sa limite en 0 est 0, il y a une borne inférieure qui est 0.

    Cordialement.
  • et pour la fonction
    $$
    f(\mu)= \dfrac{D_1 \mu^3 e^{10 \mu}}{\mu(\mu+0.4)e^{10 \mu} -50}
    $$
    le signe de la dérivée n'est pas clair
  • Heu ... c'est toujours le même $D_1$ ?
    Celle-ci non plus n'a pas de minimum, sa borne inférieure est $-\infty$.
    Je suis surpris ... tu n'as pas fait représenter ta fonction par un traceur de courbes quelconque ???

    Cordialement.
  • Bonjour

    C'est pourtant simple avec un esclave électronique.
    En rebaptisant $x$ la variable, Matlab dit que la dérivée est du signe de $$g(x)-h(x)=0.004e^{10x}-\dfrac{10x+3}{x(5x+4)}.
    $$ Géogébra montre alors sur $\mathbb{R_+}$ un unique point d'intersection: $$P(0.625220879629980;2.076633096699590).
    $$ Le signe est alors évident.

    Cordialement,
    Rescassol
  • Mais une borne $\inf$ n'est pas évidente sur le graphique.
    Quelle borne $\inf$ vous voyez?
  • Bonjour,

    Le point $P$ que j'ai donné plus haut est le point d'intersection des courbes de $g$ et de $h$. Son abscisse est donc la seule racine positive de ta dérivée. A partir de là, tu devrais savoir obtenir les variations de $f$, donc toutes les bornes que tu voudras.

    Cordialement,

    Rescassol
  • Avec le graphique, on voit qu'il se passe quelque chose pour une valeur un peu inférieure à 0,5. En regardant l'écriture de la fonction, on voit qu'elle n'est pas définie sur $\mathbb R^{*+}$ puisque le dénominateur s'annule.
    Arrivé là, on reprend les bonnes habitudes de la fin du lycée (études de fonctions) et on regarde ce qui se passe en la valeur qui annule le dénominateur, et on voit qu'il y a une limite $-\infty$. Et on se repose le problème correctement : Sur quel intervalle va-t-on travailler ? Quel est l'intérêt d'un minimum ? Y en a-t-il un ? Etc.

    Mais une vraie réflexion avant éviterait de venir poser des questions qui n'ont pas de sens.

    Cordialement.
  • Geogebra donne que la fonction est identiquement nulle (voici le graphique en bleu)
    Ca m'échappe. Je ne comprends pas non plus comment utiliser le $P$ que donne Rescassol127332
  • Bonjour,

    Tu ne vois pas le rapport entre une racine de la dérivée (ici l'abscisse de $P$) et un éventuel minimum local de la fonction ?
    Pour ton graphique, il faut adapter l'échelle.

    Cordialement,

    Rescassol
  • Oui cela veut dire que $f$ atteint un minimum local au point $x_0=0.625$ et on a le minimum qui vaut $-0.00008$.
    qui n'est pas correct car c'est négatif et on doit trouver un nombre positif. Il y a une erreur quelque part?
  • Bonjour,

    Je trouve $f(0.625220879629980)=0.448703218042130$ (sans $D1$).
    Ce nombre est positif.

    Cordialement,

    Rescassol
  • On parle bien de ce $f$:
    $$
    f(\mu)= \dfrac{D_1 \mu^3 e^{10 \mu}}{\mu(\mu+0.4)e^{10 \mu} -50}
    $$
    ?
    le dénominateur est négatif avec $\mu=0.625$
  • Bonjour,

    Pour $x=0.625$, le dénominateur vaut $281.852$

    Cordialement,

    Rescassol
  • Oui c'est bien ça en fait. Pardon pour l'erreur de calcul.
    J'aimerai maintenant savoir svp comment vous avez procédé exactement pour trouver ce min
    en utilisant un logiciel en ligne.
    Merci beaucoup d'avance
  • Bonsoir,

    Comme dit ici, j'ai fait calculer la dérivée de $f$ à Matlab, trouvé qu'elle était du signe de $g(x)-h(x)$, puis tracé les courbes de $g$ et $h$ dans Géogébra, qui m'a également donné le point d'intersection $P$.

    Cordialement,

    Rescassol
  • "Geogebra donne que la fonction est identiquement nulle (voici le graphique en bleu) " !!!
    Même pas l'idée d'aller voir ce qui se passe sur des intervalles plus réduits ! Il est vrai que quand on parle d'une fonction définie pour $\mu>0$ et qu'on la fait tracer sur [-10, 10] on cherche vraiment à ne rien comprendre ... Et la fonction est tellement nulle qu'elle a une branche qui part vers le haut pour des abscisses entre 0,5 et 1 ! Et bien sûr, c'est tout à fait par hasard qu'il y a un tracé vertical en rouge ...
    On dirait du travail de lycéen ! Enfin, du mauvais travail de lycéen ...

    Rescassol, tu sembles parler d'un minimum local pour la branche située après l'asymptote verticale. Mais comme avant la fonction tend vers $-\infty$, il n'y a pas de minimum global. la question posée par Ccapucine est résolue par l'absence de signification de la notation.

    Indication : Le dénominateur de la fonction (pas la dérivée, mais $f(\mu)= \dfrac{D_1 \mu^3 e^{10 \mu}}{\mu(\mu+0.4)e^{10 \mu} -50}$) est une fonction croissante de $\mu$ qui s'annule pour une valeur $\mu_0$ d'environ 0,478. Il est donc négatif avant et positif après. On en déduit que les limites de $f(\mu)$ à gauche et à droite de $\mu_0$ sont respectivement $-\infty$ et $+\infty$.

    Cordialement.
  • Bonjour,
    Je suis complétement perdue. Même si c'est fait au lycée, je pose la question pour savoir comment faire.
    Je n'ai pas Matlab. Est-ce qu'il y a un logiciel en ligne qui fait ça directement ? Je ne sais pas quel intervalle particulier choisir vu que le min est sur $]0,+\infty[$.
    Prenons un nouvel exemple.
    Je cherche $\quad \min\limits_{\mu > 0} f(\mu), $ où
    $$
    f(\mu)=\dfrac{0.001 \mu^3 e^{10 \mu}}{\mu(\mu+0.4)e^{10 \mu}-25}.

    $$ Du coup il faut chercher le point $\mu_0$ où $f$ atteint son minimum et là on calculera $\min_{\mu } f(\mu)= f(\mu_0)$ dans le cas où le minimum est atteint. Sinon on calcul la limite.
    Voici le graphe fait avec Geogebra.
    Je souhaite avoir soit une méthode à la main ou bien une méthode par Geogebra ou par un logiciel en ligne afin d'obtenir soit directement le min de la fonction $f$ ou alors le point où le min est atteint.

    Je vous remercie d'avance pour votre aide.127354
  • Bonjour,

    Ton graphe est faux puisque tu as écrit $0$ au numérateur.
  • Bonjour
    non j’ai mis 0.001 mais des que je mets Entrer
    Il affiche 0. Par contre il ne fait pas le graphe avec 0 puisque la courbe en rouge n’est pas identiquement nulle.
  • C'est suspect, le dénominateur $g$ s'annule et change de signe en $x_0\simeq0.426247267925077$, si bien que la courbe du quotient $f$ (que tu appelles $h$ sur Geogebra) admet une limite égale à $-\infty$ en $x_0^-$.

    Sinon, sur $\left]x_0,+\infty\right[$, la dérivé s'annule en $x_1\simeq0.5637848165167533$ et $f(x_1)\simeq0.394407876460296$ qui est le minimum sur cet intervalle.

    Le code Sage, qu'on peut tester sur CoCalc.
    sage: f(x) = x^3*exp(10*x)/(x*(x+0.4)*exp(10*x)-25)
    sage: d = f(x).denominator()
    sage: find_root(d,0,1)
    0.426247267925077
    sage: d.subs(x=_)
    -7.10542735760100e-15
    sage: diff(f(x),x).numerator()
    x^4*e^(20*x) + 0.800000000000000*x^3*e^(20*x) - 250*x^3*e^(10*x) - 75*x^2*e^(10*x)
    sage: find_root(diff(f(x),x).numerator(),0.5,4)
    0.5637848165167533
    sage: f(_)
    0.394407876460296
    
  • Merci Math Coss!
    Donc avec le logiciel Sage on trouve directement le min de la fonction f sur ]0,+infini[..
    Je ne comprends pas ce que vous trouvez suspect.
    Sinon s’il vous plaît pouvez vous commentez les lignes de code Sage pour comprendre ce qu’il fait à chaque ligne.
    Je vous remercie d’avance pour votre aide.
  • Ce qui est suspect, c'est que pour une fonction $f$ qui admet une limite égale à $-\infty$ en un point $x_0$, il n'y a pas de minimum.
    sage: f(x) = x^3*exp(10*x)/(x*(x+0.4)*exp(10*x)-25)  # définition de f
    sage: d = f(x).denominator()    # on récupère le dénominateur plutôt que le retaper
    sage: find_root(d,0,1)      # on cherche si le dénominateur s'annule entre 0 et 1 (suggéré par un graphe)
    0.426247267925077    # la réponse
    sage: d.subs(x=_)      # pour vérifier on évalue d en son minimum
    -7.10542735760100e-15   # la réponse : crédible que d s'annule !
    sage: diff(f(x),x).numerator()   # calcul du numérateur de f'(x)
    x^4*e^(20*x) + 0.800000000000000*x^3*e^(20*x) - 250*x^3*e^(10*x) - 75*x^2*e^(10*x)  # la réponse
    sage: find_root(diff(f(x),x).numerator(),0.5,4)    # recherche d'un point où f' s'annule entre 1/2 et 4 (suggéré par un graphe)
    0.5637848165167533   # la réponse
    sage: f(_)     # valeur de f en ce point
    0.394407876460296   # la réponse
    
  • Bonjour,

    Ne mets pas sur le même graphique des fonctions qui n’ont pas les mêmes ordres de grandeurs. Trace seulement $f$ : tu devrais voir l’asymptote. Et quand un dénominateur s’annule avec un changement de signe, le minimum n’existe pas.
  • Bonjour,

    Tu as $0$ au lieu de $0.001$ dans Géogébra parce qu'il est réglé pour afficher $2$ décimales.
    Va dans Options-Arrondi pour modifier ça.

    Et je t'ai déjà dit de régler l'échelle, et pas forcément de la même façon sur les deux axes.

    Cordialement,

    Rescassol
  • Bonjour
    merci beaucoup! C’est plus clair maintenant.
    Juste un point. Vous dites que la fonction f n’admet pas de minimum mais alors qu’est ce qui est calculé par sage?
  • Bonjour,

    Elle n'a pas de minimum global. Sage a calculé un minimum local.

    Cordialement,

    Rescassol
  • Bonjour,
    je n'arrive pas à télécharger Sage et je n'ai pas compris comment l'utiliser sur Colac
    La fonction $f(x)$ est en fait
    f(x) = 0.001*x^3*exp(10*x)/(x*(x+0.4)*exp(10*x)-25)
    Pouvez-vous s'il vous plaît me donner le résultat pour cette fonction en attendant que je puisse installer Sage
    Merci beaucoup d'avance
  • Si tu n'arrives pas à transformer de tête le résultat de « mon » $f$, disons $f_1$, en « ton » $f$, disons $f_2=\frac1{10^3}f_1$, alors non, ce n'est pas la peine de faire le moindre effort.
  • Je l'ai fait mais j'ai toujours peur de me tromper:-(
    Du coup on multiplie tous les résultats par 0.001 ce qui donne que
    $$
    \min_{\mu > 0} f(\mu)= 0.00039
    $$
    c'est bien correct?
  • Bonjour.

    Est-ce que la multiplication par une constante strictement positive change la position des racines de la fonction que cette constante multiplie ?

    Au passage, j'ai pris "strictement positif" pour ne pas avoir à discuter qu'un min devient un max et vice-versa.

    Ce qui s'applique à la multiplication d'une fonction s'applique à la multiplication de sa dérivée.

    À bientôt.

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  • Encore une fois, ce n'est pas le minimum pour $\mu>0$ ! Pourquoi t'obstines-tu à écrire une bêtise : "$\min_{\mu > 0} f(\mu)= 0.00039$" ? Alors que ta fonction prend des valeurs négatives Et qu'il n'y a pas de minimum sur $]0,+\infty[$.
    La question de base "Que vaut $\min_{\mu > 0} f(\mu)$ ?" n'a pas de sens, ce $\min$ n'existe pas.
    Combien de fois faudra-t-il te le répéter ?

    Change de question si tu veux, mais n'écris pas des âneries.
  • J'ai essayé de refaire le code avec Sage sur Colac mais il y a une erreur que voici.
    YvesM svp vous pouvez nous indiquez l'erreur ? J'ai fait un copier-coller de votre code mais en multipliant par 0.001

    Pour le graphe de la fonction, j'ai réglé l’arrondi sur Geogebra mais ca donne toujours la courbe zéro, et il n'y a pas de valeurs négatives. Quelqu'un peut-il m'aider à voir le bon graphe avec Geogebra ?
    Merci d'avance.

    [Cliquer dans l'image pour la voir plus nette. AD]127386
    127376
  • Bonsoir.

    La fonction est fonction de x sur geogebra, où apparaît ce x en question dans l'expression ?

    À bientôt.

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  • Il faudrait peut-être prendre une échelle des valeurs de $\mu$ plus adaptée, par exemple représenter sur [0;2]. Mais il y a ici manifestement un problème, on ne retrouve même pas ta courbe du début.
    Je n'arrive pas à lire correctement, mais je ne vois pas de x dans l'expression de f(x).
    Si tu n'arrives pas à tracer avec géogébra, utilise un autre traceur de courbes, il y en a plein en ligne, par exemple celui-ci ou celui-là (j'ai pris les deux premiers sur ma page de recherche aver "traceur de courbe en ligne".

    Cordialement.
  • Je pense que cette capture est plus claire.
    J'ai essayé avec un autre logiciel en ligne et pareil
    est-ce que quelqu'un peut réussir à dessiner le graphe de la fonction
    $$
    f(x)=\dfrac{0.001*x^3*exp(10*x)}{x*(x+0.4)*exp(10*x)-25}.

    $$ [Cliquer dans l'image pour la voir plus nette. AD]127384
  • Bon, si on ne peut pas faire mieux avec géogébra, autant le laisser tomber.

    NB : Ce qui est écrit dans le graphique n'est pas ce qui est écrit au dessus.
  • Mais j’ai essayé un autre logiciel sur le net et ça donne pareil.
    Quelqu’un peut il nous monter le bon graphe de la fonction f? Svp
  • Avec google j'obtiens le graphe ci-dessous. Voici un lien mais il faut être sur desktop je crois et utiliser google comme moteur de recherche pour qu'il affiche le graphe.127396
  • Bonsoir.

    C'est effectivement un problème d'échelle pour l'image de la fonction, dû au fameux coefficient 0.001 dont la pertinence pour la recherche d'extremum a déjà été discutée.

    À bientôt.

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  • Merci beaucoup Raoul S
    Svp YvesM quand j'essaye d'executer le code Sage il me met les erreurs suivantes
    pouvez-vous me dire pourquoi ces erreurs? Svp127402
  • Le code suivant compile dans SageCell.
    f = x^3*exp(10*x)/(x*(x+0.4)*exp(10*x)-25)
    d = x*(x+0.4)*exp(10*x)-25
    x0 = find_root(d,0,1)
    print("denominateur(%s) = %s" % (x0,d.subs(x=x0)))
    numerateur_derivee = (diff(f,x)*d^2).factor()
    x1 = find_root(numerateur_derivee,0.5,4)
    y1 = f.subs(x=x1)
    print("annulation de la derivee en %s\nvaleur de la fonction : f(%s) = %s" % (x1,x1,y1))
    G = plot(f,0,x0-1e-5)
    G+= plot(f,x0+1e-5,2.5)
    G+= point((x1,y1),size=15,color="orange")
    G+= text("(%.2f,%.2f)" % (x1,y1),(x1,y1+.3),fontsize="large",color="orange")
    G+= point((x0,0),size=15,color="gray")
    G+= text("%.2f" % x0,(x0,.3),fontsize="large",color="gray")
    G.show(ymin=-5,ymax=5)
    
  • Merci beaucoup!
    J'ai une dernière question un peu bête mais je la pose.
    Si on pose
    f = 0.001*x^3*exp(10*x)/(x*(x+0.4)*exp(10*x)-25)
    pour le reste comment on modifie? Je veux dire pour la commandes
    x0 = find_root(d,0,1)
    elle reste pareil par le graphe, mais pour le reste, quelles modification on apporte? Comment on choisit les points que vous avez mis?

    f = 0.001*x^3*exp(10*x)/(x*(x+0.4)*exp(10*x)-25) // Définition de la fonction f
    d = x*(x+0.4)*exp(10*x)-25// Définition du dénominateur
    x0 = find_root(d,0,1) // Trouver les racine du dénominateur entre 0 et 1 (donc il faut d'abord faire le graphe du dénominateur?
    print("denominateur(%s) = %s" % (x0,d.subs(x=x0))) // Ca veut dire quoi?
    numerateur_derivee = (diff(f,x)*d^2).factor() // Ca veut dire quoi?
    x1 = find_root(numerateur_derivee,0.5,4)// Trouver les racines du numérateur entre 0.5 et 4 (suggéré par un dessin)?
    y1 = f.subs(x=x1)//Ca veut dire quoi?
    print("annulation de la derivee en %s\nvaleur de la fonction : f(%s) = %s" % (x1,x1,y1))
    G = plot(f,0,x0-1e-5)//?
    G+= plot(f,x0+1e-5,2.5)//?
    G+= point((x1,y1),size=15,color="orange")//?
    G+= text("(%.2f,%.2f)" % (x1,y1),(x1,y1+.3),fontsize="large",color="orange")//?
    G+= point((x0,0),size=15,color="gray")//?
    G+= text("%.2f" % x0,(x0,.3),fontsize="large",color="gray")//?
    G.show(ymin=-5,ymax=5)//?



    Merci d'avance
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