Divergence de la suite $\big((-1)^n\big)$ — Les-mathematiques.net The most powerful custom community solution in the world

Divergence de la suite $\big((-1)^n\big)$

Bonjour,

Je souhaite montrer que la suite $((-1)^n)$ diverge en utilisant la définition de la convergence donnée au lycée :On dit que $(U_n)$ tend vers $L$ si tout intervalle ouvert contenant $L$ contient tous les termes de $(U_n)$ à partir d'un certain rang.La preuve suivante vous parait-elle correcte ?

Raisonnons par l'absurde, supposons qu'il existe $L\in\R$ tel que $\displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty } (-1)^n=L$
Considérons l'intervalle ouvert $]L-1,L+1[$, alors il existe un rang $N$ tel que pour tout $n\geq N,\ (-1)^n \in\, ]L-1,L+1[$.
$2N\geq N$ et $\ 2N+1\geq N$ d'où :
$(-1)^{2N} \in\, ]L-1,L+1[\quad$ et $\quad (-1)^{2N+1} \in\, ]L-1,L+1[$
autrement dit
$L-1<1<L+1\quad$ et $\quad L-1<-1<L+1$
ainsi
$-1<1-L<1\quad$ et $\quad -1<-1-L<1$
et donc
$L\in\, ]0,2[\quad$ et $\quad L\in\, ]-2,0[$

Mais alors $L\in\, ]0,2[\, \cap\, ]-2,0[\, =\emptyset$, ce qui est absurde.

Réponses

  • C'est assez lourd mais correct.
  • Bonjour,

    Je pense que c'est correct mais incomplet. Il reste à traiter les cas $L = \pm \infty$, n'est-ce pas ?

    Une autre façon est de dire :
    si $L\geq 0$, on choisit l'intervalle $]L/2,3L/2[$ ouvert et centré en $L$, et donc, pour $n=2N+1$, $-1 > L/2 \geq 0$ : contradiction.
    de même dans l'autre cas.
  • Allez une autre pour le fun. On choisit l'intervalle $]L-1/2,L+1/2[$. Cet intervalle est de longueur 1 et ne peut donc pas contenir $-1$ et $1$ en même temps.
  • On peut aussi commencer par montrer que si la suite $u=((-1)^n)_{n\in\N}$ possède une limite alors cette limite ne peut être que $0$. En effet, si $u_n\rightarrow \ell$ alors $u_{n+1}=-u_n\rightarrow -\ell$ mais également $u_{n+1}\rightarrow \ell$ donc par unicité de la limite $\ell=-\ell$ d'où $\ell=0$.
    Or pour tout $n$, l'écart entre $u_n$ et la limite supposée $\ell$ est constant égal à $1$ donc il ne tend pas vers $0$.
  • On peut aussi remarquer trivialement que la suite n'est pas de Cauchy, ou encore qu'elle admet deux valeurs d'adhérence...
  • Si le but est de présenter une preuve à des lycéens, le plus simple semble être de supposer qu'elle converge, d'en déduire que $|(-1)^{n+1} - (-1)^n|$ converge vers $0$ et d'en déduire que $2=0$.
  • Merci pour toutes vos réponses.

    Le but est effectivement de s'en tenir au niveau lycée, donc pas de suite de cauchy, ni valeurs d'adhérence, et c'est pourquoi je m'en suis tenu à la définition du programme.
    YvesM a écrit:
    Je pense que c'est correct mais incomplet. Il reste à traiter les cas $L=\pm\infty$ , n'est-ce pas ?

    En fait l'exercice ne demande que d'établir que la suite diverge, pas qu'elle n'a pas de limite. Pour conclure à ce dernier point le plus naturel (je pense) serait de montrer qu'une suite bornée ne diverge pas vers l'infini.
  • Bonjour,

    Je pense que tu peux simplifier ta démonstration :
    Tu as montré $1<L+1$ et $L-1<-1$ :
    Tu conclus donc, directement, $0<L<0$ : contradiction.

    Tu auras à expliquer cette contradiction… mais ça termine la démonstration.
  • La suite $u=((-1)^n)_{n\in\N}$ converge vers $L$.
    Il en est de même de la suite $v=((-1)^{n+1})_{n\in\N}$

    La suite $v+u$ est constante. Elle converge vers $0$. Elle converge vers $2L$. Donc $L=0$.
    La suite $u^2$ converge vers $L^2 = 0$. Elle est constante et converge vers $1$.

    Donc $0=1$.

    e.v.
  • ev a écrit:
    Donc $0=1$.

    Donc je suis le pape.
    Il n’empêche qu’avec cette égalité (pas la blague, je ne la connaissais pas), j’ai réussi à tirer un sourire à notre prof de prépa à l'époque. :-D
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Pas d'accord, Nicolas.

    Si $1=0$, alors tu n'es rien.

    e.v.
  • Si 1=0 alors 1+1=1+0, donc 2=1.
    Le pape et moi sommes deux, comme 2=1, je suis le pape.
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            -- Schnoebelen, Philippe
  • La mienne étant la même que celle clloud (merci Math Coss B-)-) j'en propose une autre beaucoup plus snob, mais bon le but étant désormais de trouver la preuve la plus snob...

    Si $u=((-1)^n)_{n\in\N}$ converge alors la série de terme général $u_n$ converge également car les sommes partielles sont $1,0,1,0,...$ image de $(u_n)$ par $x\mapsto \dfrac{x+1}{2}$. Or le terme général de cette série ne tend pas vers $0$.


    PS. et le pape n'est rien...
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