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Idéal des fonctions nulles en un point

Bonjour
Je suis toujours dans mes anneaux de fonctions et leurs idéaux [small](j'oublie les germes pour le moment)[/small].

Je note $C^*(\R, \R)$ l'anneau des fonctions $f : \R \to \R$ qui sont de classe $C^*$ où $*\in \N\cup \{\infty\}$.
Si $x\in \R$, je note idéal $I^*(x)$ des fonctions qui s'annulent en $x$.

Je sais que pour $*= \infty$ cet idéal est principal (engendré par $t \mapsto t-x$). Pour le montrer j'écris la formule de Taylor avec reste intégral et je vérifie que l'intégrande est de classe $C^\infty$, ce qui découle des théorèmes classiques de régularité sous $\int$.

Je sais que pour $*=0$, l'idéal $I^0(x)$ n'est pas principal (là, j'ai pas trouvé tout seul, je suis tombé sur une preuve pas contradiction : on suppose qu'on a un générateur $f$ et on montre qu'il ne peut pas engendrer $\sqrt{|f|}$).

Ma question est la suivante : quid des régularités intermédiaires ? Aucune des deux preuves ne peut s'adapter, la première parce qu'en régularité finie, l'intégrande dans Taylor avec reste intégral perd en régularité, la seconde parce qu'évidemment on ne peut pas utiliser les fonctions racine et valeur absolue en classe différentiable.
Je ne connais pas la réponse ; j'aurais tendance à penser que ce n'est pas principal mais sans idée de comment le montrer...

Enfin, se pose aussi la question de la classe analytique. Là encore, j'aurais tendance à croire que ce n'est pas principal, mais cela fait longtemps que j'ai appris à me méfier de mes croyances !
Bonne après-midi à tous.

Réponses

  • Dans le cas analytique, il est facile de voir que l'idéal est principal, puisque toute fonction analytique admet un développement de la forme $f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n (x-x_0)^n$ au voisinage de $x_0$, et l'hypothèse d'annulation veut précisément dire que $a_0=0$.

    Dans les cas intermédiaires, c'est plus subtil, car l'argument pour $\mathcal C^0$ se sert du fait qu'une fonction continue peut s'annuler "aussi lentement qu'on veut" en $x_0$. Dès la classe $\mathcal C^1$, le développement de Taylor montre que l'on s'annule au moins à la vitesse $x-x_0$. Je pense que ça permet en tout cas de voir que si $f$ est un générateur hypothétique de l'idéal, alors $f'(x_0) \neq 0$, mais je n'ai pas plus d'idée pour l'instant.
  • Merci Poirot.

    Cependant, je ne comprends pas bien l'argument de la classe analytique. Soit $f$ analytique sur $\R$. Il existe $I$ intervalle contenant $x_0$ tel que sur $I$, $f$ s'écrit $\sum_{k\geq 1}a_k(x-x_0)^k$.

    On pose $g = \frac{f}{x-x_0}$. Alors sur $I$, $g= \sum_{k \geq 0}a_k(x-x_0)^{k-1}$. Donc $g$ est analytique sur $I$. Mais pourquoi $g$ est analytique sur $\R$ tout entier ?
  • Ok en fait, j'ai compris. On a le quotient $\frac{f}{x-x_0}$ de deux fonctions analytiques dont le dénominateur ne s'annule pas (sur $\R\setminus I$) donc c'est analytique (résultat classique que j'ai appris dans ma jeunesse...).

    Edit : Merci Poirot !
  • Les idéaux ne sont pas principaux dès que $\infty >k\ge 1$. En effet on écrit, si $f$ s'annule en $a$:

    $$f(x)=\int_a^x f'(t)dt=(x-a)\int_0^1 f'(a+t (x-a)) dt,$$

    et $x\mapsto \int_0^1 f'(a+t (x-a)) dt$ est en général de classe $C^{k-1}$ au mieux (et donc pas $\mathcal{C}^k)$.

    Donnons un contre-exemple si $k=1$ et $a=0$. On pose $H(x)=\int_0^x |t| dt$ l'unique primitive de la valeur absolue qui s'annule en $0$. On suppose que $H(x)=x \phi(x)$ avec $\phi$ de classe $\mathcal{C}^1$ ceci implique que $x\mapsto \int_0^1 |t| |x| dt=\frac{|x|}{2}$ est de classe $\mathcal{C}^1$ ce qui n'est pas le cas manifestement.

    Par contre c'est vrai avec les fonctions analytiques sur la droite réelle. Si $f$ est analytique sur $\mathbb{R}$ et s'annule en $a$. Alors $f$ s'étend en une fonction holomorphe sur un voisinage de la droite réelle et donc est holomorphe sur $B(a,r)$ pour un $r>0$. Je pose $g_a(z)=f(z)/(z-a)$ qui est holomorphe sur le même domaine que $f$ car la singularité en $a$ est efffaçable, par exemple.
  • Non en fait j'ai mal lu la question. Ce que j'ai dit ne marche pas. désolé.
  • Allez zou je retente:

    Je note $\mathcal{C}^1_0$ les fonctions de classe $\mathcal{C}^1$ s'annulant en 0 et je suppose qu'il existe $\theta$ de classe $\mathcal{C}^1$ telle que $\mathcal{C}^1_0=\theta \mathcal{C}^1$.

    On a donc que $\theta\in \mathcal{C}^1_0$ et $\theta(x)=x \int_0^1 \theta'(t x) dt$. Par ailleurs $x\in \mathcal{C}^1_0$ donc $x=\theta(x) u(x)$ avec $u\in \mathcal{C}^1$ en dérivant j'ai $1=\theta'(0) h(0)$ ce qui implique que $\theta'(0)\neq 0$.





    Je prends $H$ la primitive de $|x|$ qui s’annule en zéro (on a en fait $H(x)=\frac{x|x|}{2}$) et je peux écrire $H(x)=\frac{|x|x}{2}=\theta(x) v(x)=x \int_0^1 \theta'( t x) dt v(x)$. En divisant par $x$ et en évaluant en zéro on trouve $v(0) \theta'(0)=0$ ce qui garantit que $v\in \mathcal{C}^1_0$.

    Par conséquent, $\frac{|x|}{2 x}=\int_0^1 \theta'( t x) dt\int_0^1 v'( t x) dt$. C'est absurde, le membre de droite est continu et le membre de gauche ne l'est pas.
  • Bonjour psychcorse

    Excuse-moi, je n'ai découvert ton message que ce matin. Merci beaucoup pour tes messages.
    J'avais pensé à chercher dans ce sens en prenant des primitives de $x \to |x|$, mais je n'aboutissais pas... je ne pensais pas à l'égalité :
    $$
    f(x)= x\int_0^tf'(tx)dt

    $$ pour une fonction $C^1$ qui n'annule en $0$ : une astuce que je vais retenir ! (Une astuce que je n'ai pas le souvenir d'avoir déjà vue, d'ailleurs, et n'étant pas très imaginatif, je ne l'aurais sans doute pas trouvé tout seul...)

    Ton contrexemple s'adapte en plus très facilement à la régularité supérieure en prenant $H(x)=\dfrac{x^k|x|}{(k+1)!}$.

    Merci beaucoup !
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