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Déterminer des fonctions continues

Bonsoir,

Je bloque sur cet exercice.

En fait, les fonctions constantes vérifient clairement l'égalité. Mais après je ne vois pas.127022
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Réponses

  • Saurais tu traiter le cas où $f$ est mieux que juste continue, disons de classe C1?
  • Je commencerais volontiers par chercher les fonctions $C^1$ telles que...
  • As-tu un pronostic ? Toi qui as fait des études d'ingénieur, c'est une situation courante en physique.

    Edit : encore un exercice bien étrange pour un oral d'X
  • @RLC
    Non. Pourquoi un exercice étrange ?

    @Psychcorse
    @Math Coss

    Après réflexion, je ne vois pas à quoi peut nous servir la condition $f$ de classe $C^1$.
  • Et comme tu ne connais pas ton cours de spé, tu ne sais pas non plus comment on peut passer du cas $C^1$ au cas continu. Mais bref, c'est un détail. Depuis quand il faut connaître son cours de spé pour faire un exo de l'X ? 8-)
  • Tu ne vois vraiment pas comment réécrire $\int_a^b f(t) g'(t) \,\mathrm{d}t$ à l'aide entre autres de quelque chose faisant intervenir $g(a)$ et $g(b)$ ? On voit que tu as tous les bons réflexes de lycée !
  • @Alexique
    Je n'ai pas l'impression que cet exercice nécessite des connaissances de spé. Le cours d'intégration de MPSI me semble suffisant à voir l'énoncé.

    @Poirot

    Merci je pense avoir trouvé pour le cas $f$ de classe $C^1$.

    $\displaystyle\int_{a}^b (fg)'(t) dt = \displaystyle\int_{a}^b f'(t) g(t) dt + \displaystyle\int_{a}^b f(t) g'(t) dt $

    Donc $f(b) g(b)-f(a) g(a)= \displaystyle\int_{a}^b f'(t) g(t) dt$

    D'où $\boxed{\displaystyle\int_{a}^b f'(t) g(t) dt =0}$

    Ceci est valable pour toute fonction $g$ de classe $C^1$. Je prends la fonction $g(x)=f'(x)$ pour tout $x \in [a,b]$.

    Alors $\displaystyle\int_{a}^b f'(t) ^2 dt =0$

    On en déduit que $f'=0$ et donc que $f$ est une fonction constante.
  • On n'a jamais supposé que $f'$ est de classe $\mathcal C^1$, encore moins que $f'(a)=f'(b)=0$.
  • Oui c'est vrai j'ai été trop vite en besogne, j'ai du mal à trouver une fonction $g$ qui convient, et qui vérifie $g(a)=g(b)=0$.
  • C'est quand même inquiétant de n'avoir aucune intuition du résultat...

    Étrange pour l'X parce que désolé mais c'est très très simple.
  • Ou peut être que tu es très très fort.
  • Quelles sont les fonctions C1 (ou plus) nulles en a et en b les plus simples que tu connaisses?
  • La fonction nulle.
  • Ta réponse c'est de l'humour ?
    Il est inutile de penser obtenir quelque chose de ta part, sinon qu'à un certain moment tu vas nous recopier une partie de quelque chose provenant du livre.

    Alors pour ne pas perdre de temps, tu peux donner ton corrigé et on t'expliquera ce que tu ne comprends pas.

    Maintenant l'hypothèse implique que $f'=0$ au sens des distributions. Donc $f=cste$ dans $D(]a,b[)'$ et comme $f$ est continue alors $f=cste$.
  • Je ne connais pas les distributions.

    Je n'ai pas regardé le corrigé pour l'instant. J'avais regardé l'indication mais je ne l'ai pas comprise. Ça me semble bien compliqué.
  • Je ne vois pas comment on peut trouver ce que donne l'indication.

    Comment trouver ça tout seul ?127032
  • Pour les dist. c'est pas pour toi.

    Je subodore que ton corrigé considère une suite qui converge?
  • L'indication est naturelle : c'est la même méthode que celle utilisée dans la démonstration de l'égalité des accroissements finis.
  • OShine écrivait:
    > La fonction nulle.

    Ok je comprends un mieux la virulence de certaines réponses dans d’autres fils à ton égard. A l’évidence, tu ne fais pas l’effort de réfléchir ou pire encore (je n’ose l’envisager) tu n’en es pas capable.

    Les fonctions C1 nulle en a et b contiennent (entre autres) toutes les fonctions de la forme (x-a)(x-b) P (x) avec P un polynôme, la densité des polynômes permettant alors de conclure.

    Ton énoncé t’oriente vers une autre solution plus en adéquation avec le programme de prépa ( normal c’est un oral de concours) alors que le fond de l’affaire est à l’évidence d’utiliser les distributions.
  • Une fois l’indication donnée Oshine je te suggère de cacluler $\int_a^b (M-f(t))^2 dt$…
  • Voici une proposition de solution probablement chinoise mais on ne sait jamais...

    Notons $E=C([a,b],R)$ que l'on munit de son produit scalaire intégral le plus usuel.
    Notons $F$ le sev des fonctions d'intégrale nulle sur $[a,b]$.
    Grâce au théorème fondamental de l'analyse, une reformulation de l'énoncé est "expliciter l'orthogonal de F".
    Or F est lui-même l'orthogonal du sev de dimension finie $vect(1)$.
    Donc $F^\perp=vect(1)$, ce qui conclut.
  • Ca ne marche pas car E n'est pas un espace de Hilbert vu qu'il n'est pas complet. Par conséquent tu ne peux affirmer que l'opération "orthogonal" est involutive.
  • @JLapin
    Pas du chinois mais il faudrait tout redéfinir avec des notations de produit scalaire.

    @Bisam
    Dans mon livre, le théorème des accroissements finis est démontré sans utiliser l'intégration.

    @Psychcorse
    Comment sais-tu qu'il faut calculer cette intégrale ?

    $\displaystyle\int_{a}^b [ f(t)-M]^2 dt= \displaystyle\int_{a}^b [f(t)^2 -2 M f(t) + M^2] dt$

    Or $g'(t)=f(t)-M$ donc $\displaystyle\int_{a}^b f(t) (f(t)-M) dt =0$

    Ainsi, $\displaystyle\int_{a}^b [ f(t)-M]^2 dt= M \displaystyle\int_{a}^b (M-f(t) ) dt =0$

    Donc $\displaystyle\int_{a}^b [ f(t)-M]^2 dt =0$

    La fonction $t \mapsto [ f(t)-M]^2$ est continue sur $[a,b]$ et positive donc $f(t)-M=0$

    On a montré $\boxed{\exists M \in \R \ \forall x \in [a,b] \ \ f(x)=M}$
  • OShine s'entend dire "c'est la même idée".
    OShine ne comprend pas où est l'idée.
    OShine pense donc que l'idée est "la preuve au mot près".
  • Sans question intermédiaire l'exercice est ultra dur.
  • Bon, pour être fair-play, mon idée est plutôt d'utiliser des approximations. C'est quelque chose de normal en fin de spé mais que tu ne connais pas, et c'est pourquoi tu devrais éviter les oraux pour l'instant pour faire des choses simples (que tu ne fais jamais).
  • @psychcorse

    Je sais bien : c'est pour ça que j'ai précisé que $vect(1)$ était de dimension finie.

    @Oshine

    Pourquoi parles-tu de "tout redéfinir" ?
  • Définir le produit scalaire.

    Après je sais calculer l'orthogonal d'un sous-espace normalement. J'ai étudié ça auparavant.
  • Tiens, et avec une valeur absolue autour de $g'$ dans l'intégrale, tes pronostics ?
    Je pense que ça donnerait une bonne idée de tes traces de recherche dans la première question si tu comprends qu'en fait c'est bien plus simple.

    Edit : mais c'est une blague encore le message précédent ?
    T'en connais 50 des produits scalaires entre fonctions ? Le contexte de ton exercice rend pas ça clair ? Le "calcul de l'orthogonal" que tu fais dans des cas concrets tu penses vraiment qu'il est simple dans tous les cas abstraits ? Tu ne vois pas que JL ne fait aucun calcul justement mais utilise seulement son recul (que tu n'as pas mais c'est très légitime pour sa méthode) pour réinterpréter le problème en d'autres termes et le rendre évident, même si tu n'as pas tout compris ?
  • Bonjour,

    @Oshine :

    Quand on voit $\displaystyle \int_a^b f(t) g'(t) dt = 0$ on se doute qu'il faut trouver un truc avec $\displaystyle \int []^2 dt = 0$ pour conclure $\displaystyle [] = 0.$

    Le cas $f$ de classe $C^1$ montre que $f$ constante marche.

    On se doute alors le $\displaystyle [] = f(t) - K$ avec $K$ une constante.

    Alors on fait apparaître la quantité désirée : $\displaystyle f(t) - K$ avec $\displaystyle \int_a^b (f(t) - K + K) g'(t) dt = \int_a^b (f(t) - K) g'(t) dt + K \int_a^b g'(t) dt $ et là, oh miracle, $\displaystyle g(a)=g(b) = 0$ annule la seconde intégrale.

    On a donc $\displaystyle \int_a^b (f(t) - K) g'(t) dt = 0.$

    Il suffit donc choisir $g$ telle que $\displaystyle g'(t) = f(t) - K$ - si c'est possible. Et donc $\displaystyle g(t) = \int_a^t (f(u) - K) du.$ C'est bien de classe $C^1$ avec $g(a) = 0$ - la borne inférieure a été choisie pour cette raison. Il ne reste plus qu'à imposer $\displaystyle g(b) = 0$ : $\displaystyle \int_a^b (f(u) - K) du = 0$ qui fixe $K.$

    Voilà !

    La bonne indication était bien de laisser $f$ de classe $C^1$ pour intuiter le bon résultat : $f$ constante. Puis de bidouiller pour former un $\displaystyle \int []^2 dt = 0.$
  • Yves le problème est que je n'ai pas réussi à montrer que f est constante si f est de classe C^1.
  • Une question un peu similaire au cas où $f$ est de classe $C^1$.

    Soit $h:[0,1]\to R$ continue. On suppose que pour toute fonction continue $g$ qui s'annule en $0$, $\int_0^1 hg=0$.
    Montrer que $h=0$.
  • Bonjour,

    J'essaie avec $f$ de classe $C^1$ : une intégration par partie donne $\int_a^b f(t) g'(t) dt = -\int_a^b f'(t) g(t) dt = 0$ puisque le terme intégré est nul par $g(a) = g(b) = 0.$

    Si $f'$ est non identiquement nulle, il existe un voisinage $V$ d'un point dans $[a,b]$ dans lequel elle est strictement positive (on prend $-f$ sinon).

    On construit la fonction $g$ comme une courbe en cloche, nulle en dehors du voisinage et strictement positive dans le voisinage.

    On a donc $\int_a^b f'(t) g(t) dt =\int_V f'(t) g(t) dt$ puisque $g$ est nulle en dehors du voisinage.
    Puis on a $ \int_V f'(t) g(t) dt >0$ : contradiction.

    Donc $f'$ est identiquement nulle.

    Par exemple pour $g$ dans un voisinage $V = [u,v]$, avec $a \leq u <v \leq b$, on peut choisir : $g(x) = (x-u)^2 (v-x)^2$ dans $V$ et $g(x) = 0$ en dehors.

    C'est bien une fonction de classe $C^1$, elle est bien strictement positive dans $V$, on a $g'(x) = (2 x - (u+v)) (x-u)(v-x)$ et donc $g'(u)=g'(v) = 0$ qui permet de raccorder à $g(a)=g(b) = 0$ tout en restant de classe $C^1.$
  • @JLapin

    Ca fait trop de choses à digérer pour moi. Je n'ai déjà pas compris la méthode de l'orthogonal avec le $Vect(1)$.

    @YvesM
    Ca m'a l'air trop compliqué ta méthode.
  • trop compliqué pour qui, pour quoi ?
    Si un exercice de concours de Polytechnique pouvait être résolu avec des outils simples de collège ou de lycée, ça ne serait pas un exercice d'oral de Polytechnique..
  • @ YvesM

    Tu peux te simplifier le travail en choisissant pour $g$ une fonction construite à partir de $f'$ et en utilisant le théorème sur les fonctions continues positives d'intégrale nulle.
  • Bonjour,

    Je ne vois pas d’autre manière. Quand j’essaie d’avoir un $g$ selon $f’$ je tombe sur du $g’$ selon $f”$ qui n’existe pas nécessairement ou sur un $g$ qui n’est pas de classe $C^1.$

    Une indication plus précise est nécessaire.
  • Ce que fait remarquer @Jlapin est pourtant lié à ta question sur les hyperplans d'un e.v.n

    Ici $E=\cal{C^0}([a,b],\R)$ (la norme étant issue du produit scalaire $<h,k>=\int_a^b h(x) k(x) dx.$

    L'ensemble H des fonctions $g'$ vérifiant l'hypothèse et le sous-ev des fonctions $h\in E$ qui vérifient

    $<1,h>=0$

    Hors, l'application dans E qui a $h\mapsto <1,h>$ est une forme linéaire continue . C'est à dire que H est un hyperplan

    de E. Normalement avec le post sur les hyperplans que tu as posé, tu peux finir très simplement.
  • JLapin et moi te posons une question qui revient un peu au même au final.
    A ta place j'essaierais de répondre. Ne serait-ce que de chercher suffisamment pour voir ce que le changement entraîne, et cerner vraiment quelle était en particulier la difficulté de ton exercice de base avec des mots simples.
  • Je réponds au mini exercice

    Soit $h:[0,1]\to \R$ continue. On suppose que pour toute fonction continue $g$ qui s'annule en $0$, $\int_0^1 hg=0$.
    Montrer que $h=0$.


    Posons $g(x)=x h(x)$. On a bien $g$ continue et $g(0)=0$.

    De plus, $\displaystyle\int_0^1 x h^2(x) dx=0$

    La fonction $x \mapsto x h^2(x)$ est continue et positive sur $[0,1]$ par produit de fonctions positives et continues, ainsi $x h^2(x)=0$ pour tout $x \in [0,1]$

    Distinguons 2 cas, si $x \ne 0$ alors clairement $\forall x \in ]0,1] \ h(x)=0$. Si $x=0$ alors par continuité de $h$ en $0$, on a $h(0)=0$.

    On a montré que $h=0$.
  • @Lourran
    L'indication donnée plus haut par les auteurs permet de résoudre l'exercice simplement avec des connaissances de L1.

    @Bd2017
    Quand on calcule $<1,h>$ je ne vois pas de dérivée apparaitre, il est où le $f(t) g'(t)$ ?
  • C'est bien OShine ! Je suis content.

    Si un jour ça t'intéresse cherche le cas où on remplace seulement l'intégrale de ton énoncé original par celle de $f|g'|$. Tu verras que c'est plus simple.
  • Tu poses $h=g'.$ $h$ est donc continue et $<1,h> =\int_a ^b h=\int_a^b g' =g(b)-g(a)=0$

    Le tout consiste à formuler les hypothèses différremment (mais de façon équivalente).
    Le tout est de comprendre que pour une fonction g de l'énoncé, sa dérivée est dans H
    et vice versa si $h\in H$ alors une de ses primitives g vérifie l'énoncé.

    Ensuite utiliser que H est un hyperplan de E rend la question facile. .

    Normalement dans le post sur les hyperplans que tu as posé, il y a un résultat que tu as toi même énoncé et qui te conduit tout de suite au résultat.

    D'où l'intérêt de ne pas zapper les exemples qu'on avait proposé...
  • Je ne vois pas ce que ça change si on remplace $f g'$ par $f |g'|$.
  • Donc tu n'as pas compris la difficulté de ton exercice, ce qui suffit à me montrer à quel point tu as dû le chercher. 5 minutes puis un jour à y penser sans rien faire histoire de se dire "j'ai essayé" ?
  • Je ne sais pas chercher un exercice difficile.
  • Oui, parce que ça s'apprend progressivement en se mettant en danger, d'abord sur des choses élémentaires, puis théoriques, puis un peu dures, puis dures (on va dire "oraux Centrale/X/ENS" pour la dernière catégorie, bien que ce soit loin d'être les pires mathématiques imaginables).
    Combien de temps continueras-tu à gâcher ta vie à recopier des corrigés sous prétexte que "tu n'aurais jamais trouvé" ? Ton apprentissage ne te sert à rien. Ton temps passé à apprendre les maths donc ne te sert à rien. Tu n'auras ni l'agreg, ni la fierté d'être bon en maths, ni la possibilité d'impressionner qui que ce soit, en continuant ainsi.
    Tu pourras seulement continuer à nous servir de défouloir et assouvir notre curiosité malsaine, bien qu'on veuille sincèrement te prendre à travers notre écran pour te secouer.
    Quite à faire ce que tu fais en maths, autant jouer à un jeu en ligne ou regarder la télé, ou encore le plafond, ce sera bien plus productif.
  • Je ne vois pas d'idée à tester pour $f |g'|$
  • Est-ce que tu as au moins un pronostic encore ?
  • Non ça m'a lair trop théorique.
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