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Cauchy-Schwarz

Bonjour
On a $\forall t \in [a,b] , \ f(t)-f(a) = \displaystyle\int_{a}^t f'(u) du$. Comme $f(a)=0$ alors $f(t)= \displaystyle\int_{a}^t f'(u) du.$
Donc $f^2(t)= \Big( \displaystyle\int_{a}^t f'(u) du \Big)^2.$
Or, $ \displaystyle\int_{a}^t f'(u) du \leq \int_{a}^t |f'(u)| du .$
L'inégalité de Cauchy-Schwarz fournit $ \Big( \displaystyle\int_{a}^t |f'(u)| du \Big)^2 \leq \int_{a}^t f'(u)^2 du \int_{a}^t du.$
Donc $\boxed{\Big( \displaystyle\int_{a}^t |f'(u)| du \Big)^2 \leq (t-a) \int_{a}^t f'(u)^2 du}.$
Je bloque ici.126994

Réponses

  • Dès qu'on a écrit ceci avec C-S le résultat est évident.
    $\int_a^b f(t)^2 dt =\int_a^b (\int_a ^t f'(x) dx)^2 dt=.. $
  • C'est bon j'ai réussi, il suffit de remarque que $\displaystyle\int_{a}^t f^2(u) du \leq \displaystyle\int_{a}^b f^2(u) du$ car $f^2(u) \geq 0$.

    Puis on calcule $\displaystyle\int_{a}^b (t-a) dt= \Big[ \dfrac{t^2}{2} -at \Big] = \dfrac{b^2}{2} -ab -\dfrac{a^2}{2} +a^2 =\dfrac{b^2+a^2-2ab}{2} =\dfrac{ (b-a)^2}{2}$.

    Ce qui permet de conclure.
  • Bonjour,

    Quand tu intègres $t-a$ par rapport à $t$, tu peux écrire, tout de go, ${(t-a)^2\over 2}$ afin de bénéficier de la borne en $a.$

    Cette façon d’écrire est très souvent utile dans la plupart des exercices et démonstrations.
  • Merci Yves en effet c'est astucieux.
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