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Interversion série-intégrale

Bonjour. L'implication suivante est elle juste ?

Soit $(f_n)_n$ une suite de fonctions continues positives sur $]0,1[$ alors
$$
\int_0^1\sum_{n\in\mathbb{N}}f_n(x)dx=\sum_{n\in\mathbb{N}}\int_0^1f_n(x)dx,

$$ où les intégrales sont des intégrales généralisées.
Merci.

Réponses

  • En gros, quand tout est positif, on peut un peu tout inverser comme on veut. Si c'est infini d'un côté, ça l'est aussi de l'autre car on arrive à dépasser toute borne en restreignant au besoin nos fonctions.
  • Donc pour écrire cette égalité je n'est pas besoin d'une hypothèse de uniforme continuité de la série de fonction?
  • Non c'est parfaitement correct. L'égalité est vraie dans [0,+infini]

    La justification précise est le Théorème de Fubini-Tonelli pour l'espace $[0,1]\times \mathbb{N}$ muni de la tribu produit $\mathcal{B}([0,1])\otimes\mathcal{P}(\mathbb{N})$ , équipé de la mesure produit $\lambda\otimes \text{Card}(\cdot)$ appliqué à la fonction mesurable positive $g(x,n)=f_n(x)$.
  • Naima12:
    Au pire ce qui risque d'arriver est que les deux membres soient $+\infty$.
  • Une autre justification est d'appliquer le théorème de convergence monotone (ou de Beppo Levi) à la suite des sommes partielles de la série. Ça a le mérite de ne pas nécessiter le théorème de Fubini, dont la démonstration générale est bien plus compliquée que celle du théorème de convergence monotone, qui est facile.
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