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Équivalent en 0

Bonjour à tous

On considère la fonction $f$ définie sur $\R_+^*$ par :
$$\forall x\in\R_+^*,\qquad f(x) = \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\displaystyle\frac{1}{n+n^2x}.
$$ Je sais démontrer que $f$ est correctement définie sur $\R_+^*$, décroissante sur $\R_+^*$, de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\R_+^*$, de limite égale à $+\infty$ en $0^+$.
Je ne parviens pas à déterminer un équivalent simple en $0^+$: pouvez-vous m'aider ?

Merci d'avance.

Réponses

  • Bonjour
    Il faut comparer ta série avec une intégrale.

    Tu poses $g_x(y)=\dfrac{1}{y+x y^2}$

    sur $[n,n+1], g_x(n+1) \leq g_x (y) \leq g_x(n) $

    tu intègres et tu sommes membre à membre.

    Je crois que ça doit marcher ...
  • Merci beaucoup pour cette réponse.
    J'avais exploré cette piste, et en reprenant mes notes, je me suis rendu compte d'une erreur de calcul...
    Cette piste me semble fonctionner.
    On obtient après calculs, sauf erreur de ma part :
    $$f(x)\underset{x\to 0^+}{\sim}-\ln(x)$$
  • Oui cela me semble plausible.
  • Bonjour, je ne trouve pas la même chose, peut-être me suis-je emmêlé dans les calculs. Un tiers pourrait-il confirmer le résultat de UneQuestion ?
    Merci.
  • Bonjour
    Je confirme que $f(x)\sim -\ln(x)$ Si tu veux tu peux donner tes calculs...
  • J'ai posté mon message trop rapidement hier, le temps de me rendre compte que je trouvais comme vous, j'étais déjà au lit. Je trouvais $f(x) \sim x - \ln(x)$, oubliant quelques instants que l'équivalence était en 0 et que je pouvais donc supprimer ce $x$.
    Merci pour ta réponse bd2017.
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