Intégrale $\int_0^\infty1/(1+x^4)$ — Les-mathematiques.net The most powerful custom community solution in the world

Intégrale $\int_0^\infty1/(1+x^4)$

Bonsoir,
récemment, un étudiant est venu me demander de l'aider à résoudre un exercice dont le but était le calcul de $\displaystyle I=\int_{0}^{+\infty}\frac{dx}{1+x^{4}}$. Dans la première question, il est demandé d'établir que $\displaystyle I=J=\int_{0}^{+\infty}\frac{x^{2}}{1+x^{4}}dx$. Ce n'est pas difficile. Puis de calculer $I$ en posant $x=e^u$ (il n'est pas précisé dans $I$ ou $J$).
L'étudiant est en spé et ne connaît pas le théorème des résidus. De plus, même si une décomposition en éléments simples permet (lourdement) de répondre à la question, il semble qu'il faille y aller avec le changement de variables proposé. Mais voilà, je ne vois pas ce qu'il apporte.
Des idées ?

Réponses

  • Tu as un $\frac{v^\prime}{v}$, non ?
    Non.

    Divise numérateur et dénominateur par $e^{3u}$ ?
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Il se trouve que l'intégrande de $I+J$ est beaucoup plus sympathique à décomposer en éléments simples que ceux de $I$ ou $J$.
  • Un grand classique.
    \begin{align}J&=\int_0^\infty \frac{1}{1+x^4}dx\\
    &\overset{u=\frac{1}{x}}=\int_0^\infty \frac{u^2}{1+u^4}du\\
    2J&=\int_0^\infty \frac{1+x^2}{1+x^4}dx\\
    &=\int_0^\infty \frac{\frac{1}{x^2}+1}{\frac{1}{x^2}+x^2}dx\\
    &=\int_0^\infty \frac{\frac{1}{x^2}+1}{\left(x-\frac{1}{x}\right)^2+2}dx\\
    &\overset{u=x-\frac{1}{x}}=\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{u^2+2}du\\
    &=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\arctan\left(\frac{u}{\sqrt{2}}\right)\right]_{-\infty}^\infty\\
    &=\frac{\pi}{\sqrt{2}}\\
    J&=\boxed{\dfrac{\pi}{2\sqrt{2}}}
    \end{align}
  • Fin de partie, fais gaffe, tu divises par 0.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • nicolas.patrois : non tu n'as pas $v'/v$.
    Bisam et Fin de Partie, Il se trouve que je connais les techniques que vous me suggérez : je sais résoudre l'exercice. Ce que je ne comprends pas c'est le changement de variables proposé dans l'indication., je ne vois pas ce qu'il est censé apporter.
  • On peut s'en sortir ainsi :
    $\DeclareMathOperator{ch}{ch}$
    $\DeclareMathOperator{sh}{sh}$
    \[I+J=\int_0^{+\infty}\frac{1+x^2}{1+x^4}dx=\int_{\R}\frac{e^{u}+e^{3u}}{1+e^{4u}}du=\int_{\R}\frac{\ch(u)}{\ch(2u)}du=\int_{\R}\frac{\ch(u)}{1+2\sh^2(u)}du=\int_{\R}\frac{dt}{1+2t^2}\]
    en posant $t=\sh(u)$ dans la dernière intégrale.
  • Le changement de variable $x=e^u$ conduit à $I+J=\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^u+e^{-u}}{(e^u-e^{-u})^2+2}du$.

    Edit : je n'ai pas été aussi rapide que bisam !
  • Plus court :

    I = 1/4 Beta(1/4;3/4)

    fjaclot;
  • Bonjour,

    Avec $J$ seulement, le CDV $x=e^u$ donne du $\displaystyle {e^u\over \cosh(2 u)}$ et on écrit le numérateur $e^u=\cosh(u)+\sinh(u)$ et les deux intégrales se calculent facilement en remplaçant $\cosh(2 u)$ par du $\sinh(u)$ ou du $\cosh(u)$ selon les formules à retrouver…
  • Nicolas:
    Je n'ai pas compris ton objection.
  • Il doit parler du 1/x mais on se moque du 0.
  • Dans l'intégrale $\displaystyle \int_0^1 \frac{\arctan x}{x}dx$ on divise aussi par $0$ pourtant elle est convergente et vaut $\text{G}$ B-)-
  • Ou plus célèbre, notre bon vieux Dirichlet. Et plus simple, nos bonnes vieilles Riemann.
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