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Équation fonctionnelle continuité

Bonjour
Je ne comprends pas l'indication.126958

Réponses

  • $\frac13=\int_0^1 …$ mais je peux me tromper, je ne vois pas la solution pour le moment…
  • Bonjour

    Le changement de variable $x=u ^2$ dans l' intégrale de gauche
    conduit à $\int_0^1 (f(u^2) -u)^2 du =0 $

    Puis la continuité donne $f(u)=\sqrt{u}$
  • Mais pourquoi tout faire bd franchement ? C’est dommage, à chaque fois, tu clos le topic sans le laisser chercher. On peut pas lui reprocher de ne pas chercher dans ces conditions. Peut être que dans 40 posts on y était encore mais là tu ne lui laisses aucune chance.
  • De toute façon je ne comprends pas sa solution et je ne vois pas de 1/2.
  • Bonjour,

    quel intérêt OShine de se lancer dans cette frénésie de problèmes de concours et de poster sur le forum que tu ne les comprends pas ?

    Nombreux sont les intervenants à t'avoir suggéré de procéder autrement.

    Fais des problèmes de concours si ca te chante (honnêtement ce ne sont pas les mathématiques les plus intéressantes, ce sont vraiment des problèmes... de concours, et encore spécifique aux concours d'écoles d'ingénieurs, assez différents des problèmes que l'on peut rencontrer à l'agreg par exemple), mais fais les un par un, sérieusement. Cherche en profondeur, laisse toi le temps, et demande de l'aide si tu ne trouves pas. Mais n'en fais pas 15 à la fois.

    Bon courage
  • L'idée de cet exercice (dont je n'ai pas la solution toute faite) est sûrement d'écrire l'équation comme $\displaystyle \int_0^1 g(x)dx = 0$ et mettant tout dans une seule intégrale et en faisant les changements de variables adéquats*.

    $\dfrac{1}{3}$, il faut l'écrire comme une intégrale sur $[0~;~1]$, et après, il faut voir.

    Moi, j'aurais tendance à virer le $x^2$ dans l'intégrale de droite avant d'essayer de le faire apparaître dans celle de gauche, mais peut-être que c'est plus compliqué de faire comme ça, je n'ai pas encore résolu l'exercice.


    *l'aubaine étant bien sûr si tu peux écrire $\displaystyle \int_0^1 g(x)dx = 0$ avec $g$ positive.
  • Je viens de lire un autre fil, je me permets de poser la question ici : tu prépares l'agrégation interne cette année OShine ?
  • J'en ai un peu marre de ces appréciations péremptoires et schématiques sur les problèmes de concours qui seraient moins intéressants que etc. Il y en a un millier par an et parmi eux certains sont sans intérêt, oui, mais d'autres sont très intéressants, et dignes de soutenir la comparaison avec des exercices d'agreg. Celui-ci n'est pas trop mal par exemple.
  • Pardon je ne voulais choquer personne.

    Je questionnais juste l'objectif d'Oshine : enchaîner les problèmes de concours ou bien se forger une culture mathématiques. Et on peut très bien faire les deux en même temps mais ce n'est pas la seule voie.

    Milles excuses pour le caractère péremptoire de mon message précédent.
  • En fait je crois qu'à ce stade, l'exercice pour OShine consiste à comprendre la solution donnée par bd2017 http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2306404,2306430#msg-2306430 B-)-
  • Alexique a écrit:

    Je ne pense pas lui donner la solution à chaque fois.

    Par contre, c'est vrai, assez souvent j'amorce la solution pour qu'il essaye de poursuivre. Mais jamais, il n'avance....

    Ceci étant dit. Il donne les exercices dont il a très souvent le corrigé.

    Ce qu'il attend de nous c'est qu'on en rajoute un peu plus pour qu'il comprenne le corrigé qui est dans son livre.

    Oui ici, j'ai donné la solution, il ne la comprend pas. Comme celle qui est dans son livre peut être. J'ai voulu me faire plaisir.
  • Zestiria a passé ces concours il y a quelques années, maintenant, il les prépare, et dans quelques années, il essaiera enfin de faire des exercices de Terminale ou de L1.
  • J'ai l'impression que même mon message guide un peu trop.
  • skazeriahm a écrit:
    enchaîner les problèmes de concours ou bien se forger une culture mathématiques

    OShine a depuis longtemps choisi la première option...
  • Ce sont des petits exercices que je fais. Quand j'en ai terminé un je passe au suivant.

    J'en fait pas tant que ça que 30 min par jour.
  • Il se résout en 3 minutes, celui-là.
  • On a $\dfrac{1}{3} = \displaystyle\int_{0}^1 x^2 dx$

    La condition devient $ \displaystyle\int_{0}^1 f(x) dx= \displaystyle\int_{0}^1 x^2 dx+ \displaystyle\int_{0}^1 ( f(x^2) )^2 dx$

    $ \displaystyle\int_{0}^1 f(x) dx= \displaystyle\int_{0}^1 [x^2 + ( f(x^2) )^2 ] dx$

    Dans l'intégrale de gauche, on pose le changement de variable $x=t^2$, ce qui donne $dx=2 t dt$ et :

    $ \displaystyle\int_{0}^1 2 t f(t^2) dt = \displaystyle\int_{0}^1 f(x) dx$

    Ainsi, $ \displaystyle\int_{0}^1 [( f(x^2) )^2 -2x f(x^2)+x^2 ] dx=0$

    Ce qui est équivalent à $ \displaystyle\int_{0}^1 ( f(x^2)-x)^2=0$

    La fonction intégrée étant continue et positive, cela implique que $\forall x \in [0,1] \ f(x^2)=x$

    Finalement $\boxed{f(x)= \sqrt{x}}$
  • Voilà.

    Si un jour, tu choisis de t'aventurer au-delà du programme de prépa, tu entendras parler de la mesure de Lebesgue et des espaces $L^p$, dans lesquels ce genre d'exercices reviennent. On calcule des normes $\|\cdot\|_p$ de fonctions, ou bien on fabrique des bases orthogonales de $L^2$.

    Je ne m'étale pas plus si tu me demandes pas plus de détails, puisque ça t'intéresse assez rarement d'élargir ta culture de cette façon.
  • OShine a écrit:
    http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2306404,2306894#msg-2306894
    Cela implique que $\forall x \in [0,1] \ f(x^2)=x$. Finalement $\boxed{f(x)= \sqrt{x}}$

    Saurais-tu détailler la preuve de ce dernier enchaînement ?
  • @JLapin

    Soit $x \in |0,1]$. On a $f(x^2)=x$.

    Donc $f(\sqrt{x^2})=\sqrt{x}$ car $x \geq 0$. Mais alors $\sqrt{x^2}=|x|=x$ car $x$ est positif.

    Finalement $f(x)=\sqrt{x}$
  • Le premier "DONC" laisse croire que puisque $f(x^2)=x$, tu as forcément $f(x)=\sqrt{x}$, ce qui est faux bien entendu.
    Par ailleurs, le raisonnement qui suit est farfelu.
  • Je ne comprends pas mon erreur.
  • Il n'y en a pas qu'une.

    Je t'aide à découvrir la première : si tu sais que $f$ est une fonction (continue) définie sur $[0,1]$ et que $f(1/4)=1/2$, peux-tu me dire ce que vaut $f(1/2)$ ?

    Ensuite, la deuxième est plus subtile, mais elle n'apparaîtra sans doute plus une fois que tu auras corrigé celle-ci.
  • Non, je ne peux pas savoir combien vaut $f(1/2)$.
  • Pourtant, dans ce que tu as écrit plus haut, c'est ce que tu fais... tu dis savoir ce que vaut $f(x^2)$ pour un $x$ fixé, puis tu dis que tu en déduis ce que vaut $f(\sqrt{x^2})$.
  • OShine écrivait:http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2306404,2306990#msg-2306990

    Dommage : c'était la seule chose qu'il te restait à faire tout seul après le message de bd2017...
  • Oui mais ici on a $f(x^2)=x$ pour tout $x \in [0,1]$.

    Je fixe $x$ dans $[0,1]$.

    Alors je peux poser $y=x^2$ et comme $y \in [0,1]$, on a bien $f( y)=x$ soit $f(y)= \sqrt{y}$
  • Et la preuve du fait qu'une fonction continue positive d'intégrale nulle soit nulle sans revoir le cours ?
  • Soit $f$ une fonction positive sur $[a,b]$. Montrons que si $f \ne 0$ alors $\displaystyle\int_{a}^b f >0$.

    Comme $f$ est non nulle, il existe un $x \in [a,b]$ tel que $f(x) >0$. Comme $f$ est continue en $x$, il existe un $\eta >0$ tel que $\forall t \in [a,b] \cap [x-\eta,x+\eta] ,\ |f(t)-f(x)| \leq f(x)/2$ car $f(x) /2 >0$.

    Il existe $\eta >0$ tel que $f(t) \geq f(x) /2$
    Posons la fonction $g$ définie sur $[a,b]$ par $g(t)=\begin{cases}
    f(x) /2 ,& \text{si} \ t \in [a,b] \cap [x-\eta,x+\eta] \\
    0 ,& \text{sinon}.
    \end{cases}$
    Notons $\ell(I)$ la longueur de l'intervalle $[a,b] \cap [x-\eta,x+\eta]$
    $g$ est une fonction en escalier et vérifie $f \geq g$. Par croissance de l'intégrale, $\displaystyle\int_{a}^b g =\ell(I) \times \dfrac{f(x)}{2} >0$ d'où le résultat.
    La contraposée nous donne que si $\displaystyle\int_{a}^b f \leq 0$ alors $f=0$
    Mais $\displaystyle\int_{a}^b f \leq 0$ si et seulement si $\displaystyle\int_{a}^b f =0$ par positivité de l'intégrale.
  • @JLapin
    Je ne vois pas alors. Je savais que ce passage n'était pas si trivial. J'ai hésité quand je suis arrivé à $f(x^2)=x$.

    Je n'étais pas convaincu.
  • Tu veux prouver une phrase qui s'écrit "Pour tout x, blabla(x)" et tu prouves "Pour tout x, si on pose y=truc(x) alors blabla(y)".
    Ce n'est pas ce qu'on veut prouver !
  • Bravo, tu as bien recopié ton bouquin126996
  • Bah je connais la preuve du bouquin a force de la relire. Mais ce n'est pas le genre de preuve que je pourrais trouver seul.
  • Je ne vois pas comment démontrer que $f(x)= \sqrt{x}$
  • Utilise la surjectivité de la fonction $t\mapsto t^2$ de $[0,1]$ dans lui-même.
  • Un élève de seconde devrait savoir répondre...
    Commence donc par justifier que $f(1/4)=1/2$ et essaye de généraliser la démonstration.
  • L'application $\begin{array}[t]{cccc}
    h :& [0,1]& \rightarrow &[0,1] \\& t& \mapsto& t^2
    \end{array}$ est clairement surjective.

    Donc pour tout $y \in [0,1]$, il existe $x \in [0,1]$ tel que $y=x^2$.

    Soit $y$ fixé dans $[0,1]$. Il existe $x$ dans $[0,1]$ tel que $y=x^2$

    On a alors $f(x^2)=x$ soit $f(y)=x$. Mais $y=x^2 \implies x = \sqrt{y}$ car $x$ est positif.

    On a montré $\boxed{\forall y \in [0,1] , \ f(y) = \sqrt{y}}$
  • Petit défi : essayer de rédiger une preuve compréhensible par un élève de seconde (qui n'a jamais entendu parler de surjectivité)...
  • Bonjour,

    1/ Pour tout $x\in [0,1]$, on a $f(x^2)=x.$

    Donc :
    pour tout $x\in[0,1]$, $\sqrt{x}\in [0,1]$, et d’après 1/, on a $f((\sqrt{x})^2)=\sqrt{x}=f(x).$

    Ça irait comme rédaction ou je fais une erreur de raisonnement ?
  • C'était plutôt un défi pour OS :)
    RAS sinon même si j'aurais mis le f(x) à gauche des dernières égalités.
  • JLapin la question de YvesM était rhétorique...(c'est qu'aujourd'hui il a eu un journée intense sur le forum :-D).

    Ceci-dit moi aussi j'aurais écrit plutôt comme ça $f(x)=f((\sqrt{x})^2)=\sqrt{x}$.
  • Ne pas trouver la preuve que j'ai demandée par soi-même nous prouve encore ton manque d'enthousiasme à faire des dessins. On voit encore une fois ta paresse intellectuelle et ta lâcheté face à tes échecs en constatant à quel point chaque message nous rappelle les milliers d'exercices face auxquels tu n'as pris aucune initiative.
    Désolé mais cette question est très simple après avoir fait quoi...dix ans de maths ?
    Et le pire c'est qu'on ne voit aucune envie de changer...mais bon, on s'y attendait.
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