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Bijection de rationnels et séries

Bonjour à tous, après de nombreuses tentatives je n'ai pas trouvé grand chose de convaincant. Quelqu'un pourrait m'aider ?
Merci.126944

Réponses

  • Oui, on peut. Il suffit de prendre pour tout les $n$ qui ne sont pas des carrés parfait des valeurs plus petites que $\frac{1}{n}$.
  • merci mais j'ai du mal a bien écrire la bijection pouvez vous détailler?
  • Il n'est sans doute pas nécessaire de l'expliciter. On pose $q_n = \frac{1}{n}$ si $n$ n'est pas carré parfait et on complète par une bijection quelconque entre les carrés parfaits et les rationnels de $[0;1]$ autres que les inverses des non carrés parfaits. On pourrait en écrire une explicitement, mais je pense que c'est inutile. On sait qu'elle existe et cela suffit.
  • Tu vas un peu vite en besogne, Frédéric, il me semble.
    Il faut quand même faire en sorte de choisir l'ordre des rationnels de sorte que $\frac{q_n}{n}$ ne soit pas trop grand.
    Cela parait faisable, mais ce n'est pas si simple à justifier.
  • Pas besoin, ils sont tous plus petits que $1$ et donc on n'a pas besoin de fixer l'ordre.

    Petit exercice légèrement plus compliqué (mais pas trop) : Si $0$ est valeur d'adhérence d'une suite $(u_n )_n $, alors il existe une bijection $\phi $ entre $\mathbb N $ et $\mathbb Q $ telle que la série des $u_n \phi (n)$ soit absolument convergente.
  • Ah oui, je n'avais pas vu qu'on se restreignait aux rationnels dans [0,1]...
    Ça m'apprendra à lire l'énoncé correctement. Vu le nombre de fois que je le préconise à mes élèves en une année, il est de bon ton que je l'applique à moi-même !
  • Mais comment a-t-on l’existence de la bijection des carrés parfaits vers les rationnels de [0,1] différents de 1/n ? Je sais que l’ensemble des rationnels est dénombrable mais je ne saurais pas justifier l’existence de cette bijection là proprement.
    Merci.
  • Les deux ensembles sont dénombrables : ça suffit à justifier l'existence d'une telle bijection par essence même de la définition de la dénombrabilité.
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