Application de classe C1 — Les-mathematiques.net The most powerful custom community solution in the world

Application de classe C1

Bonjour,

Je ne trouve pas d'idée pour Q1.126938

Réponses

  • Tu sais dériver non ?
  • Ca crève un peu les yeux, (f²(x))' =?
  • Plutôt $(f^2)'(x)$, mais c'est peut-être du pinaillage...
  • Oui, avec un smartphone, on ne voit pas bien ce qu'on écrit.
  • D'accord merci. Votre indication m'a permis de trouver la question 1. Je ne sais pas si j'ai bien justifié ma réponse.

    $(f^2)'(x)=2 f'(x) f(x)$ et comme $\forall x \in [a,b] \ f'(x) \leq 1$ on obtient $(f^2)'(x) \leq 2 f(x)$

    Intégrons sur le segment $[a,x]$, ce qui donne :

    $\displaystyle\int_{a}^x (f^2)'(t) dt \leq 2 \displaystyle\int_{a}^x f(t) dt$

    Donc $f^2(x) -f^2(a) \leq 2 \displaystyle\int_{a}^x f(t) dt$

    Mais $f(a)=0$ donc $\boxed{f^2(x) \leq 2 \displaystyle\int_{a}^x f(t) dt}$
  • OS a écrit:
    $(f^2)'(x)=2 f'(x) f(x)$ et comme $\forall x \in [a,b] \ f'(x) \leq 1$ on obtient $(f^2)'(x) \leq 2f(x)$

    Tu supposes que $f$ est positive, c'est vrai mais tu ne l'as pas montré. Et sois plus attentif, c'est juste des petites inégalités de collège et tu zappes que pour avoir conservation du sens, il faut un facteur positif... C'est quand même un peu triste.
  • Oui merci en effet, détail important.

    Comme $f'(x) \geq 0$, $f$ est croissante sur $[a,b]$. Mais $f(a)=0$ donc $f$ est positive.
  • Oui, c'est mieux.
  • Pour la question $b$ on utilise directement la question $a$ ce qui fournit :

    $f^3(t)=f(t) f^2(t) \leq 2 f(t) \displaystyle\int_{a}^t f(x) dx$

    On intègre sur le segment $[a,b]$, ce qui donne :

    $\displaystyle\int_{a}^b f^3(t) dt = \displaystyle\int_{a}^b \left( 2 f(t) \displaystyle\int_{a}^t f(x) dx \right) dt$

    Je bloque ici.
  • Reprends depuis le début, remplace $b$ par $x$ et dérive à nouveau.
  • Je n'ai pas compris ton indication JLapin, mais je pense avoir trouvé une solution.

    On a $\displaystyle\int_{a}^b f^3(t) dt \leq \displaystyle\int_{a}^b \left( 2 f(t)\displaystyle\int_{a}^t f(x) dx \right) dt$

    Posons $g(t)= \displaystyle\int_{a}^t f(x) dx $ alors $g'(t)=f(t)$. Par conséquent :

    $\displaystyle\int_{a}^b \left( 2 f(t)\displaystyle\int_{a}^t f(x) dx \right) dt = \displaystyle\int_{a}^b 2 g'(t) g(t) dt= g^2(b)=g^2(a)=g^2(b)$

    Donc $\boxed{\displaystyle\int_{a}^b f^3(t) dt \leq \left( \displaystyle\int_{a}^b f(t) dt \right)^2}$
  • @ OShine.

    Où t'es-tu servi de la continuité de $f'$ ?

    e.v.
  • Nulle part
  • La continuité de f' est utile dans la question 1 pour pouvoir intégrer $(f')^2$.
  • Et si tu étudies les variations de $h : x\in[a~,~b] \longmapsto f^2(x) - 2 \int_a^x f(t) \, \mathrm dt$ ?

    e.v.
  • Je ne vois pas l'intérêt.
  • Ev te propose de montrer qu'on peut remplacer l'hypothèse $f$ de classe $C^1$ par l'hypothèse $f$ dérivable en te suggérant une façon de faire différente pour la question 1.
    Intérêt : diversifier les points de vue.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Success message!