Formule de Stirling — Les-mathematiques.net The most powerful custom community solution in the world

Formule de Stirling

Bonjour
Pendant une heure de permanence, j'ai essayé de redémontrer la formule de Stirling à ma façon (je ne connais même pas la preuve normale).
J'ai remarqué qu'en partant des deux formules facilement démontrables $\displaystyle \Big(1+\frac{1}{n}\Big)^n \sim e$ et $\displaystyle \Gamma(z) \Gamma(z+\frac{1}{2})=2^{1-2z} \Gamma(2z) \sqrt{\pi}$ on pouvait après des calculs et des calculs que je ne vais [pas] pour l'instant recopier (c'est long d'écrire en latex donc j'enverrai pour l'instant une photo un peu floue...), on arrive à :
$$\frac{\Delta(2z)}{\Delta(z)\Delta(z+\frac{1}{2})} \sim \frac{\Gamma(2z)}{\Gamma(z)\Gamma(z+\frac{1}{2})}.
$$ Avec $\displaystyle \Delta(z)=z^{z-\frac{1}{2}}e^{-z}\sqrt{2 \pi}$
Je me demande donc, si cela est suffisant pour pouvoir écrire
$$\Delta(z) \sim \Gamma(z)\quad ?

$$ Merci d'avance :)
Si non, comment finir ma preuve.126920
La patience est un plat qui se mange sans sauce.

Réponses

  • Il n'y a pas de preuve "normale".
    A une époque, c'était la mode dans le journal The American mathematical monthly* de publier des preuves de la formule de Stirling. Je crois en avoir compté au moins une demi-douzaine mais mon décompte est sans doute très incomplet. B-)-

    *: j'ai passé un temps certain à lire les sommaires de cette revue qui date de 1894 si je me souviens bien.
  • Fdp: je voulais dire que je ne connais pas la preuve de la formule
    La patience est un plat qui se mange sans sauce.
  • Quentino37: Moi non plus je ne connais pas par coeur une telle preuve.
    J'ai déjà du mal à retenir la formule elle-même. B-)-
    Dans les années 90, j'avais acheté un t-shirt noir sur le boulevard Saint-Michel à Paris avec cette formule imprimée dessus et une citation probablement apocryphe d'Einstein*. B-)-

    *: je crois que j'ai passé un oral du CAPES vêtu de ce t-shirt.
  • En faite je voulais dire que je n'ai même jamais lu de preuve de cette formule
    La patience est un plat qui se mange sans sauce.
  • Quentino37:
    C'est un peu normal si je me souviens de ton niveau d'étude.
    Une preuve de ce résultat est donnée dans un cours de mathématiques post-bac. On m'en a certainement donné une.
    (je me souviens avoir vu un développement asymptotique avec plus de termes dans un cours d'arithmétique durant ma scolarité à l'université).

    Il me revient un souvenir. On peut donner une preuve qui fait intervenir les intégrales de Wallis.
    Dans cette preuve, si je me souviens bien, on montre qu'il existe une constante $C$ telle que $n!$ est asymptotiquement $Cn^{1+\frac{1}{2}}\text{e}^{-n}$ et pour déterminer la constante $C$ interviennent des intégrales de Wallis.

    Intégrales de Wallis $\displaystyle W_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^{n} x dx$
  • Ok!
    (Mais tu ne répond toujours pas à la question posé dans ce fil :)
    La patience est un plat qui se mange sans sauce.
  • Bonsoir,

    Quentino37, voilà ci-joint un sujet que j'ai posé plusieurs fois en TS, c'était un DM facultatif pour les prétendants à une prépa. Ils n'étaient même pas obligés de le traiter en entier.

    Cordialement,

    Rescassol
  • Merci beaucoup
    La patience est un plat qui se mange sans sauce.
  • Mais donc, est-ce que si $$\frac{\Delta(2z)}{\Delta(z)\Delta(z+\frac{1}{2})} \sim \frac{\Gamma(2z)}{\Gamma(z)\Gamma(z+\frac{1}{2})}\qquad\text{alors}\qquad \Delta(x)\sim \Gamma(x)\qquad?$$
    La patience est un plat qui se mange sans sauce.
  • Et quelle sont les conditions pour que ça marche?
    La patience est un plat qui se mange sans sauce.
  • Aucune idée !
    Ca me semble bien trop compliqué à caractériser autrement.
  • Ok ! Ça me permettrait de finir ma démonstration... :-)
    La patience est un plat qui se mange sans sauce.
  • C'était bien tenté...
  • Ici, tes 2 fonctions sont des fonctions bien particulières.
    En fait, ta question est :
    Soient f et g deux fonctions quelconques. On sait que ..., peut-on en déduire ...

    Et la réponse est non.

    Prenons $f(x) = e^{x+10}$ et $g(x) = e^x$ ... ...
  • Lourran. Sauf erreur,
    $$\frac{e^{2x+10}}{e^{x+10}e^{x+1/2+10}}=e^{-10,5}
    $$ n'est pas équivalent à $$\frac{e^{2x}}{e^{2x+1/2}}=~e^{-1/2}.$$
    La patience est un plat qui se mange sans sauce.
  • Intéressant problème. Équivalent en prenant $f=\log \Delta/\Gamma$ à se demander si $f(2x)-f(x)-f(x+\frac{1}{2})\xrightarrow[x\to\infty]{} 0$ entraîne $f=0. $ Sûrement non. Au passage, quelles sont les fonctions continues $g$ sur $\R$ telles que $$g(2x)-g(x)-g\Big(x+\frac{1}{2}\Big)=0\quad?$$
  • J'ai vérifié 5 fois mes calculs avant de proposer ce contre-exemple... je pense que tu n'as vérifié ton calcul que 3 fois.
  • Lourran: C'est à dire? Je me suis trompé? :)
    La patience est un plat qui se mange sans sauce.
  • Oui, sur le numérateur de la 1ère fraction.


    Non !!!

    désolé, c'est moi !
    Oupssssssss!
  • @P. : Je ne suis pas intervenu parce que j'étais arrivé à la même conclusion que toi (ou plutôt on se demande si ça implique $f(x) \xrightarrow[x \to +\infty]{} 0$), ce qui me paraît intuitivement faux, mais je ne suis pas parvenu à trouver un contre-exemple pour l'instant.
  • "La" preuve naturelle qui a le mérite de ne pas demander de connaître le résultat en avance, en plus de mobiliser tout un tas de techniques de spé, est de développer asymptotiquement $\ln(n!)$. Ça semble naturel.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Success message!