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Changement de variable

Bonsoir,

Comment trouver le changement de variable ici ? Ce n'est pas une fraction rationnelle on ne peut pas utiliser les règles de Bioche.126888
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Réponses

  • Cherche du côté des fonctions hyperboliques réciproques. Comme tu ne connais pas tes primitives usuelles, tu ne vois pas que la racine est une dérivée usuelle. Je reconnais que ça demande un peu de connaissances/culture mais apprendre par cœur un formulaire, ce n’est pas dur et ce n’est pas une preuve d’intelligence.
  • Ch2x-sh2x=....
  • Et au passage, les règles de Bioche, c’est quand on a des fonctions trigo surtout et là ce n’est pas le cas. Dans ton précédent topic, Bioche marchait alors que ce n’était pas une fraction rationnelle. Dommage que tu sois toujours à côté de la plaque sur ces règles de Bioche que tu ne veux pas décidément pas apprendre. Un bon exo d’entraînement est de les démontrer d’ailleurs.
  • Je ne vois pas comment faire.
  • L'indice de Julian est peut être mal passé, réécrivons le :
    $ch^2x - sh^2x =$ ...
  • Bonjour,

    On peut aussi utiliser une paramétrisation classique d'une courbe d'équation $y=\sqrt{ax^2+bx+c}$, ici par une droite d'équation $y=x+t$ parallèle à une asymptote, ou encore $y=tx+1$ tournant autour du point $A(0;1)$.

    Cordialement,

    Rescassol
  • Rescassol tu me parles chinois je ne comprends rien.
  • Bonjour,

    Il y avait longtemps qu'OShine n'avait pas parlé de chinois.
    Je t'ai seulement indiqué la méthode que j'ai apprise en 1ère année de prépa.
    Quel mot de mon message ne connaît tu pas ?
    Tu ne sais pas que $y=\sqrt{ax^2+bx+c}$ est l'équation d'une (partie de ) conique ?
    Tu ne sais pas que sur des courbes il y en général des points, ni qu'elles peuvent avoir des asymptotes ?
    Tu n'a jamais vu d'équations paramétriques de courbes ?
    Tu ne comprends pas que $y=x+t$ ou $y=tx+1$ quand $y=\sqrt{x^2+1}$ sont des changements de variables ?
    Et tu prétends encore être bon en calcul ?
    Faut oser, quand même !!!
    C'est Homo Topi dans le fil voisin qui doit rigoler.

    Cordialement,

    Rescassol
  • OShine écrivait: http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2305128,2305128#msg-2305128

    Effectue le changement de variable $x=sh(t)$ pour commencer.
  • Rescassol je n'ai jamais étudié les coniques et je suis très faible en paramétrisation.

    Comment vous savez qu'il faut poser $x=sh(t)$ ?
  • Parce que j'ai déjà calculé des dizaines d'intégrales et que j'ai aussi travaillé dans d'autres bouquins qu'un bouquin de MPSI qui respecte strictement le programme de la filière MPSI.
    Par ailleurs, c'est un exo d'oral donc si le candidat ne trouve pas par lui-même le changement de variable, il lui sera donné par l'examinateur.
  • Pfff, t'es vraiment fainéant Oshine. Je t'ai dit d'aller checker les fonctions hyperboliques par exemple sur wikipédia et tu aurais vu que $argsh'(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$. Dès lors, le changement $x=\sinh(t)$ est logique. Ou au moins le changement $y=\sqrt{x^2+1}$ que suggère Rescassol que tu n'as même pas essayé je suppose ?

    En fait, tu t'en fous de mes messages parce que dans l'autre post je te dis de regarder dans un cours comment on primitive des racines carrés de trinômes de second degré et là tu aurais eu cette idée de changement de variable hyperbolique. Mais non, tu t'en fous royalement comme d'habitude.
  • Bonjour
    Là, on est ébloui par les étoiles... l y en a 3!

    Méthode 1. $x=\sinh(t),\ dx =\cosh(t) dt $
    $\displaystyle I=\int_0^{\mathrm{argsinh}(\frac{1}{\sqrt{2}}) } \dfrac{1}{ 2 \sinh(t)^2 +1} dt = \dfrac{\pi}{6} $

    Méthode 2. $y= x+ t $
    $\displaystyle I= \int_1^{\frac{1}{2} (\sqrt{6}-\sqrt{2})} \frac{-2 t}{1+t^4} dt =\dfrac{\pi}{6} $

    P.S. Concernant le changement de variable il vaut mieux le trouver par soi-même.
    $\cosh^2 - \sinh^2= 1$ donc $\cosh^2 = 1 + \sinh ^2 $
    $x= \sinh(t)$ fait sauter la racine carrée.
    En effet $\sqrt{1+x^2}=\sqrt{1+ \sinh^2(t)}=\sqrt{\cosh^2(t)}=\cosh(t)$

    La paramétrisation idem.
  • Je ne sais même pas calculer $arcsinh( 1 / \sqrt{2})$. Les fonctions réciproques des fonctions hyperboliques ne sont plus au programme.

    Posons $x=\dfrac{1}{t}$. Donc $dx=- \dfrac{dt}{t^2}$

    Donc $I=\displaystyle\int_{\sqrt{2}}^{+\infty} \dfrac{1}{(\frac{2}{t^2}+1) \sqrt{\frac{1}{t^2}+1)}} \dfrac{1}{t^2} dt$

    Ainsi $I=\displaystyle\int_{\sqrt{2}}^{+\infty} \dfrac{t}{(2+t^2)\sqrt{1+t^2}} dt$

    On effectue le changement de variable $u=\sqrt{1+t^2}$ donc $u^2=1+t^2$. Ainsi $2udu=2t dt$ et $udu=tdt$.

    On a $I=\displaystyle\int_{\sqrt{3}}^{+\infty} \dfrac{ u du}{(1+u^2) u}$

    $I=\displaystyle\int_{\sqrt{3}}^{+\infty} \dfrac{1}{1+u^2} du$

    $I=\lim\limits_{u \rightarrow +\infty} \arctan(u) - \arctan(\sqrt{3})$

    $I=\dfrac{\pi}{2} -\dfrac{\pi}{3}$

    Enfin, on a $\boxed{I=\dfrac{\pi}{6}}$
  • Bonjour,

    Méthode 1: Il y a quoi entre l'intégrale et le $\dfrac{\pi}{6}$?
  • Ne sont plus à quel programme?
  • @Os, ce coup astucieux qui consiste à faire le changement de variable $x=1/t$ pour faire passer le second, il vient d'où?

    Même au programme du Capes de math, on n'est pas censé connaître les fonction réciproques des fonctions usuelles?

    @Amédé méthode 1. Je ne donne pas les détails, pour laisser à @Os de faire le boulot. Malheureusement il ne le fera pas.
  • @bd2017: je pense que la ruse de renard vient du corrigé. D'ailleurs il ne précise pas que l'intégrale issue du changement de variable converge. Je demandais parce que j'ai fait la méthode 2.
  • \begin{align}\int_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{1}{(2x^2+1)\sqrt{1+x^2}}dx&\overset{x=\tan t}=\int_0^{\arctan\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}\frac{\cos t}{1+\sin^2 t}dt\\
    &\overset{u=\sin t}=\int_0^{\frac{1}{\sqrt{3}}} \frac{1}{1+u^2}du\\
    &=\arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\\
    &=\boxed{\dfrac{\pi}{6}}
    \end{align}
  • Les fonctions réciproques de cos sin et tan sont au programmes.
    Les fonctions réciproques de ch sh et th sont devenues hors programme.

    Je ne sais pas calculer l'intégrale qu'on obtient avec la méthode 1 ni calculer arcsinus hyperbolique de racine carré de 3.
  • Extrait du programme de l'agreg interne :126906
  • Merci Alexique.
  • Mais on s'en sort sans savoir ces recettes de cuisine que je trouve un peu nulles aussi, puisqu'elles brident l'inventivité et l'imagination... Mais bon, c'est aussi ça qui te permet de gagner du temps et de comprendre pourquoi le changement $y=\sqrt{x^2+1}$ fonctionne. Ca n'a rien de mystérieux et toi qui demande toujours "pourquoi c'est ça qu'il faut faire pour que ça marche ?", je t'apporte une réponse en ce sens. Si tu t'en fiches, il faut faire des essais qui vont te faire perdre du temps. A l'oral, on finira par te suggérer le bon changement de variable mais tu seras derrière celui qui l'aura trouvé tout seul. Et à l'écrit, tu vas juste sécher sur place et sauter la question. Donc à toi de voir.
  • Sauf erreur, $\displaystyle \sin(\arctan(x))=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}$.
    On aurait pu faire le changement de variable $u=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ me semble-t-il. B-)-
  • Lien de Alexique :
    Au programme : fonctions hyperboliques directes et réciproques.
    Autrement dit, les fonctions ch, sh et th sont au programme, ainsi que leurs réciproques.

    Pourquoi tu remercies Alexique, alors qu'il dit exactement le contraire de toi ?
  • Amédé a écrit:
    je pense que la ruse de renard vient du corrigé. D'ailleurs il ne précise pas que
    l'intégrale issue du changement de variable converge.

    Non pas du tout, @Os fait les exercices sans regarder le corrigé. (:D
  • Pour la méthode $1$ j'arrive à :

    $I=\displaystyle\int_{0}^{arcsh(1/ \sqrt{2})} \dfrac{1}{1+2 sh^2(t)} dt$

    Je ne sais pas calculer $arcsh(1/ \sqrt{2})$ et je ne sais pas calculer une primitive de $t \mapsto \dfrac{1}{1+2 sh^2(t)}$
  • Bonjour,

    A défaut d'autre idée, tu peux toujours passer en $\tanh\left(\dfrac{t}{2}\right)$ comme en trigonométrie classique.

    Cordalement,

    Rescassol
  • Rescassol je ne comprends pas l'histoire du $\tanh(t/2)$, quel rapport avec mon calcul ?
  • Bonjour,

    Si tu avais à calculer une intégrale de $\dfrac{1}{1+2\sin^2(t)}$ tu pourrais, entre autres méthodes, poser $u=\tan\left(\dfrac{t}{2}\right)$ pour te ramener à une fraction rationnelle. C'est la même chose en trigonométrie hyperbolique.

    Cordialement,

    Rescasssol
  • D'accord merci.
  • Comment trouver le changement de variable ici ?
    Ce n'est pas une fraction rationnelle on ne peut pas utiliser les règles de Bioche.

    Les règles de Bioche ne s'appliquent qu'à des intégrands rationnels R(u, v) où u et v sont des variables circulaires. Ce n'est pas le cas ici.
    Ici tu as à calculer une intégrale abélienne définie sur une conique non dégénérée. Pour ce type d'intégrales il existe des méthodes très simples qui consistent soit à trouver une paramétrisation rationnelle de la conique en question (en utilisant un faisceau de droites propres ou impropres, impropres dans le cas d'une hyperbole) soit à utiliser une paramétrisation ciculaire ou hyperbolique.

    Cfr : Cagnac Ramis Commeau Tome 2 Analyse, ou tout autre livre de prepa/deug annees 1960-2000. Je ne sais plus si les intégrales abéliennes sont encore enseignées MPSI/L1 aujourd'hui.
  • Si je pose $x=th(t/)$ on a $dx = \dfrac{1}{2} \dfrac{1}{ ch^(t/2)} dr$

    Mais je ne vois toujours pas comment calculer $arcsh( 1 / \sqrt{2})$

    Ensuite il faut exprimer $th(t/2)$ en fonction de $sh(t)$ ce que je ne sais pas faire.

    Cette méthode m'a l'air d'être une usine à gaz.

    Celle de fin de partie est beaucoup plus simple. J'essaie d'éviter les fonctions hyperboliques, c'est souvent compliqué.
  • \begin{align}\int _a^b\frac{1}{1+2\sin^2 x}dx&=\int _a^b \frac{1}{2+\frac{1}{\sin^2 x }}\frac{1}{\sin^2 x }\\
    &=-\int_{a}^{ b} \frac{1}{3+\cot^2 x}d\left(\cot x\right)\\
    &\overset{u=\cot x}=\int_{\cot b}^{\cot a} \frac{1}{3+u^2}du
    \end{align}

    PS:
    Dès qu'on peut factoriser $1)\sin x,2)\cos x,3)\dfrac{1}{\cos^2 x},4)\dfrac{1}{\sin^2 x}$ il faut voir si le facteur restant peut être transformé de telle manière à être 1) une fonction de $\cos x$, 2) une fonction de $\sin x$,3) une fonction de $\tan x$, 4) une fonction de $\cot x$.
  • Dans l'intégrale de FDP, la fonction intégrande est paire par rapport à la subsitution sin(x) -> -sin(x) on peut donc faire le changement de variable t = tan(x).
  • @FDP

    Je ne comprends pas d'où sort le $cotan$ à la ligne $2$, il n'y a pas de cosinus.

    Toutes ces règles ne sont plus enseignées aujourd'hui, dans mon livre, il est dit qu'il faut se débrouiller.
  • Prends un bouquin plus ancien (une première version du Methodix - analyse par exemple) si tu veux gagner en autonomie sur le calcul intégral.
    Si tu suivais une prépa agreg un peu sérieuse, tu apprendrais ces méthodes. Elles ne sont pas "plus enseignées".
  • OS:
    $d(\cot x)$ signifie/remplace $\left(\dfrac{d}{dx}\cot x\right) dx$.
    C'est une notation utilisée pour rendre plus évident le changement de variable qu'on s'apprête à effectuer.

    NB: $\displaystyle \dfrac{d}{dx}\cot x=-\dfrac{1}{\sin^2 x}$
  • OShine a écrit:
    Toutes ces règles ne sont plus enseignées aujourd'hui, dans mon livre, il est dit qu'il faut se débrouiller.
    Tu te débrouilles en apprenant les règles en question. ::o

    Il faut que tu comprennes une chose fondamentale : la culture mathématique de base ce n'est pas ce qui est ou n'est pas présent dans un programme quelconque. Toi il faut que tu aies une culture mathématique de base, ensuite tu pourras utiliser tel outil/méthode ou pas suivant ce qui est préconisé dans un programme donné.

    Avant de préparer un concours d'enseignement il FAUT avoir une culture mathematique de base (ce qui te manques cruellement).
  • @JLapin
    J'ai 1h30 de transport aller pour aller dans une grande université, c'est pour ça que je ne vais pas en prépa agreg.

    Après dans les sujets d'agreg je n'ai jamais vu ce genre d'intégrale à calculer. Je ne crois pas que ce soit une priorité.

    Même dans les sujets de concours, les intégrales à calculer sont rarement compliquées.

    @Fin de partie

    D'accord merci, tu connais trop de techniques.
  • @Serge_S

    Mon livre de MPSI fait 1600 pages et il n'est enseigné aucune technique pour le changement de variable mise à part le théorème pour effectuer un changement de variable. L'auteur dit qu'on fait à l'intuition.

    Les livres anciens doivent meilleurs pour connaitre les techniques usuelles.
  • Cela aide de connaître des formules trigonométriques.
    J'en connais quelques unes ou je sais qu'elles existent (je n'ai pas à passer de concours sans document c'est vrai).

    Dans un autre fil on voit apparaître l'expression $\dfrac{2x}{1-x^2}$ dans une intégrale. Celle ou celui qui connaît quelques formules trigonométriques fera une connexion immédiate entre cette expression et une formule de trigonométrie.
  • OS:
    Il y a quelques techniques de base. Je pense qu'il faut connaître des formules de trigonométries dans le cercle et hyperboliques. Quand tu connais quelques formules de base de trigonométrie c'est inspirant pour savoir quel changement de variable effectuer.
    Par exemple, si dans une intégrale l'intégrande a la forme $f\left(\sqrt{ax^2+bx+c}\right)$ sans rien savoir de plus que de la trigonométrie on devine quel type de changement de variable on peut faire (il peut y avoir une méthode plus simple suivant le cas traité)
  • Je connais bien les formules de trigo classiques cos sin tan par contre celles des fonctions hyperboliques pas trop.
  • Exprimer $arcsinh(\dfrac{1}{\sqrt{2}})$ c'est savoir résoudre

    $\dfrac{e^x - e^{-x}}{2}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ (niveau lycée).

    Bref il faut que je passe à autre chose. Il n'y a pas de progrès possible....
  • On peut les déduire des formules trigonométriques du cercle mais il vaut mieux les connaître (tout au moins quelques unes).
  • OShine a écrit:
    http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2305128,2305764#msg-2305764
    @JLapin. J'ai 1h30 de transport aller pour aller dans une grande université, c'est pour ça que je ne vais pas en prépa agreg.
    Si ce n'est qu'une question de temps de trajet, tu devrais compenser l'absence d'un cours de niveau prépa agreg par un travail personnel adapté et donc changer de bouquin de référence lorsque celui-ci n'aborde pas l'ensemble du programme que tu cherches à couvrir.
  • 1h30 de transport, ça peut se convertir en 1h30 de maths dans les transports.
  • @JLapin

    Les seuls livres de maths que j'arrive à comprendre sont ceux de prépa. Les livres du genre Rombaldi etc je n'y comprends rien, c'est trop compliqué pour moi et ça part dans tous les sens.

    $\dfrac{e^x -e^{-x}}{2} = \sqrt{2} \Leftrightarrow e^x -e^{-x} =\sqrt{2}$

    On pose $X=e^x$ ça donne $X-1/X = \sqrt{2}$ soit $X^2-1= \sqrt{2} X$ soit $X^2- \sqrt{2} X-1=0$

    $\Delta = 6$ et donc $X_1 =\dfrac{ \sqrt{2} + \sqrt{6}}{2} $ et $X_2=\dfrac{ \sqrt{2} + \sqrt{6}}{2} <0$

    Donc l'unique solution est $x = \ln (\dfrac{ \sqrt{2} + \sqrt{6}}{2} )$

    Ainsi $\boxed{argsh(\dfrac{1}{\sqrt{2}})=\ln (\dfrac{ \sqrt{2} + \sqrt{6}}{2} )}$
  • Quand j'étais lycéen, certains exercices sur les intégrales se présentaient ainsi :
    Question 1 : Quelle est la dérivée de la fonction f définie par f(x) = ...
    Question 2 : Calculer l'intégrale de ...
    Et bien évidemment, la question 1 était un indice pour aider à la question 2.

    Puis un peu plus tard, on retombait sur des exercices similaires, mais sans la question 1. Mais comme on avait mangé des dizaines d'exercices d'initiation, ça passait sans problème.

    OShine considère qu'il doit attaquer directement les exercices de niveau concours Polytechnique, il ne veut pas s'abaisser à faire les exercices de niveau fin de lycée ou début de L1....

    Ou alors, il a lu les corrigés des exercices d'initiation, et il n'a rien retenu, comme sur plein d'autres sujets.
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