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Ensemble de définition fonction rationnelle

Bonjour
Je suis de niveau lycée et j'ai un problème de compréhension sur les domaines de définition des fonctions.

Pour la fonction f(x)=x le domaine de définition (à mon niveau) ce sont les réels.
Pour la fonction g(x)=1/x le domaine de définition c'est R* (je dois exclure x=0 car division par zéro interdite).

Mais quel est le domaine de définition de h(x)=1/(1/x) ?

Mon problème est que spontanément je vois une division par x, donc j'aurais tendance à exclure 0. D'un autre côté, je peux réécrire cette fonction de la manière suivante :
h(x)=1/(1/x)=1*(x/1)=x
Dans ce cas je n'ai plus aucune raison d'exclure x !

Bref c'est la confusion totale dans mon esprit. Pouvez-vous m'indiquer mes erreurs de raisonnement svp et m'expliquer comment ne plus les refaire ?
En vous remerciant.
Bien cordialement,
Kirsten

Réponses

  • Quand tu écris $1/(1/x)$, tu dois sous-entendre que $1/x$ existe, donc que $x \neq 0$.

    Autrement dit : l'égalité $1/(1/x) = x$ ne peut être vraie que pour $x \neq 0$, donc le domaine de définition de $x \longmapsto 1/(1/x)$, c'est $\R^*$. Cela dit, cette fonction est bien égale à $x \longmapsto x$... sur $\R^*$, du coup.
  • Le domaine de définition de $h$ est $\mathbb{R}^{*}$. La fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}^{*}$ se prolonge en une fonction $\widetilde{h}$ définie sur $\mathbb{R}$ par $\widetilde{h}(x)=x$.
  • Merci pour vos réponses rapides ! Tout s'éclaire !

    Bonne journée,

    Kirsten
  • D'où la morale de l'histoire : l'ensemble de définition d'une fonction compte autant que son expression pour la définir.
    Si on posait donc f(x)=x et g(x)=1/1/x sur les réels nuls les fonctions seraient égales. Si on définit la première sur R et l'autre sur R\{0} elles ne le sont plus.
    De même si on définit la fonction f(x) = exp(x) + 7 sur R et g(x) = exp(x) + 7 sur [0,4], nos deux fonctions ne sont pas égales.

    Pour la petite note c'est là la différence entre fonction et application (d'après mon prof de sup).
    Une fonction peut être définie sur l'ensemble qu'on veut, une application seulement aux endroits où l'expression a un sens. Evidemment on s'empresse de réduire le domaine au domaine de définition dès le début donc on se moque un peu de la distinction.
    Mais dans l'absolu on peut parler de la fonction logarithme définie sur R.
  • Une remarque :
    Dans le supérieur, on construit le corps des fractions rationnelles.
    Il ne s’agit pas de fonctions et donc on ne parle même pas de domaine.
    Cet ensemble (corps des fractions rationnelles) contient l’ensemble des polynômes (je ne parle pas des fonctions polynomiales).
    Enfin, dans cet ensemble, la fraction rationnelle $X$ est la même que toutes les suivantes :
    $\dfrac{X}{1} \qquad $ $\dfrac{2X}{2} \qquad$ $\dfrac{1}{\dfrac{1}{X}} \qquad$ $ \dfrac{X^2+X}{X}-1$
    Il s’agit juste d’écritures différentes du même objet.
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