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Limite d'une application

Bonjour,

Je commence le cours sur la continuité. Je ne vois pas comment démontrer la remarque.

Par ailleurs, je me pose une question. Dans la définition de la continuité en $a \in A$, si $f$ est une application définie sur $A$, pourquoi on a l'hypothèse $a \in Adh(A)$ ?126796

Réponses

  • Et bien vu les renseignements c'est faux.

    Je t'avais dit de faire des exercices ! Tu n'écoutes pas les conseils, tu t'embarques dans des considérations inutiles.
  • J'étudie le cours avant de faire les exercices.

    Qu'est-ce qui est faux ?

    Je rappelle qu'on travaille dans des espaces vectoriels normés uniquement dans ce cours.
  • Si pour tout $\epsilon>0$, $|f(a)-\ell|\le\epsilon$, alors..
  • Et alors, e.v.n ou pas. Réfléchis un peu!
  • Lorsque $a$ est dans $A$ et que tu écris la définition de la limite en prenant en particulier $x=a$ (ce qui est possible dans ce cas), tu as bien $\|a-a\|< \delta$ pour tout $\delta>0$, donc tu dois avoir $\| f(a)-\ell \|<\varepsilon$, et ce pour tout $\varepsilon>0$. Ceci impose que $\ell=f(a)$.

    Pour la deuxième partie de ta question, si jamais $a$ n'est pas adhérent à $A$, pour $\delta>0$ assez petit tu n'auras plus aucun $x\in A$ pour lesquels $\|x-a\| <\delta$.

    EDIT : doublement doublé :-D le temps de répondre
  • OS a écrit:
    Je rappelle qu'on travaille dans des espaces vectoriels normés uniquement dans ce cours.
    Drôle d'idée de rappeler ce qui n'a jamais été dit !!

    J'adore aussi l'expression : "le cours sur la continuité". Comme s'il n'y en avait qu'un ...
  • Math2, pourquoi enfoncer les portes ouvertes ? O S ne cherche pas à comprendre seulement à avoir des réponses ... Tu ne l'aide pas, il reposera la même question s'il revient sur le sujet dans 2 ans (il avait les mêmes sur les limites de fonctions réelles il y a deux ans).

    Cordialement.
  • Si f est définie en $a$, si f admet une limite $l$ en $a$ , alors nécessairement $l=f(a)$

    J'ai bien compris, c'est cette phrase là que tu veux démontrer ?

    Et tu n'as pas de livres de cours de lycée sous la main... Et tu as totalement oublié tout ce qu'on t'a appris au lycée. Ca va être compliqué !

    On va encore bien rigoler.
  • @maths2
    Merci pour le premier point c'est compris.

    Mais pour $a$ non adhérent à $A$ je n'ai pas compris.

    La définition de $a \in Adh(A)$ est $\forall r>0 \ \ B_f (a,r) \cap A \ne \emptyset$

    Donc $a \notin Adh(A)$ si $\exists r>0 \ \ B(a,r) \cap A = \emptyset$

    Je ne vois pas comment en déduire que pour tout $\delta >0$, il n'existe pas de $a$ tel que $||x-a|| \leq \delta$
  • Je suis désolé mais la remarque est fausse.

    Par exemple si f est la fonction définie par $f(x)=0,$ si $x\neq 0$ et $f(0)=1$ ( f application de $A=\R$ et $F=\R$ )

    On est bien dans les hypothèses et pourtant $f(0)=1\neq \lim _{x\rightarrow 0} f(x)$
  • là tu devrais revoir comment on écrit la négation d'une phrase commençant par un "quel que soit".

    La négation de "tous mes étudiants sont allés au restaurant hier" est :

    "il existe un de mes étudiants qui n'est pas allé au restaurant hier"

    @ gérard0, tu as sans doute raison, mais là je suis dans une période comme cela !
  • bd2017 pour toi la remarque est fausse car tu considères la notion de limite épointée (je ne sais pas si le terme est exact), qui me semble effectivement la plus naturelle, mais avec la définition de limite, ta fonction n'a pas de limite du tout.
  • Oui mais attention avec @Os! Qu'il nous donne alors la définition de la limite et puis on verra.

    P.S C'est vrai qu'en vérifiant sur wiki, je remarque que je ne suis plus à la mode.
    Bref...
  • Lorsque j'ai enseigné cela en L3, j'avais fait le choix de ne parler que de continuité, et un peu de limite uniquement dans les cas où le point était adhérent mais sans être dans l'ensemble, il y avait juste une remarque dans mon poly concernant les usages.
  • OShine écrivait: http://www.les-mathematiques.net/phorum/pm.php?4,page=send,message_id=2303336

    Utilise la définition de la limite pour démontrer la remarque.

    Pour ta question, tu es en train de demander pourquoi A est inclus dans son adhérence, c'est ça ?
  • @JLapin

    Non je demande pourquoi dans la définition de la limite on prend $a$ dans l'adhérence. Je n'ai pas compris le raisonnement de maths2.

    Je sais que $A \subset Adh(A)$ car si $x \in A$ alors $\forall r>0$, $x \in B(x,r) \cap A$.

    Définition :

    $\K$ désigne le corps $\R$ ou $\C$.
    $E$ et $F$ sont deux $\K$ espaces vectoriels normés et $A$ désigne une partie de $E$.

    Soit $f : A \longrightarrow F$ une application ainsi que $a$ un point adhérent à $A$ et $l \in F$. On dit que $f$ tend vers $l$ en $a$ si :

    $\forall \varepsilon >0 \ \ \exists \eta >0 \ \ \forall x \in A \ \ ||x-a|| \leq \eta \implies ||f(x)-l|| \leq \varepsilon$
  • C'est que tu n'as pas compris ce qu'est une adhérence.

    Peux-tu me donner le plus grand sous-ensemble de $\R$ sur lequel $x \longmapsto \dfrac{1}{x}$ est une application bien définie ? Si tu réponds correctement, je pourrai t'expliquer pourquoi cette question n'est pas hors-sujet.
  • C'est $\R^{*} $.
  • Voilà. On est bien d'accord que $0 \notin \R^*$ ? Alors comment fait-on pour déclarer que la fonction inverse a une limite à gauche/droite en $0$ ?
  • Je ne trouve pas ce choix très parlant, il faut surtout expliquer pourquoi ça n'a pas de sens de regarder la limite en un point qui n'est pas adhérent. Par exemple OShine, est-ce que tu pourrais me calculer la limite de $x \mapsto \ln x$ en $-1$ ?
  • Poirot non car $-1$ est trop éloigné de $0$.
  • Vu son interrogation, je ne suis pas d'accord avec toi Poirot. Cela dit ta question mérite de lui être posée aussi.

    J'ai compris sa question comme "pourquoi on prend l'adhérence de $A$ au lieu de juste $A$". Je ne veux pas lui donner la réponse sous forme de commentaire ici, d'où mon exemple.
  • Ok, ça pouvait être l'un ou l'autre. Maintenant on a traité tous les cas.
  • Non, il n'a pas encore fini de répondre à mes questions rhétoriques :-D

    Mais, oui, en effet.
  • OShine écrivait: http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2303336,2303492#msg-2303492

    Tu viens de montrer une photo de la définition de f tend vers l en a, pas de f est continue en a...
    Sais-tu faire la différence entre ces deux propriétés ?
  • Je crois avoir compris pourquoi on prend l'adhérence.

    Par exemple la fonction log est définie sur $\R^{+*} $ dont l'adhérence est $\R^{+} $.
    On peut ainsi calculer la limite en $0$.

    JLAPIN126814
  • Petit truc en plus pour toi, OShine.

    Tu sais que $+\infty$ et $-\infty$ ne sont pas des nombres réels. Pourtant, on calcule souvent des limites de fonctions réelles à l'infini. J'espère que tu as déjà vu la notation $\overline{A}$ pour l'adhérence d'une partie $A$ (elle est très courante). Les matheux ont inventé la "droite numérique achevée" notée $\overline{\R}$, c'est $\R \cup \{-\infty~;~+\infty\}$. La topologie de $\overline{\R}$ n'est pas compliquée une fois qu'on comprend celle de $\R$, et comme par hasard, l'adhérence de $\R$ dans $\overline{\R}$, ben, c'est $\overline{\R}$. Donc comme monsieur Jourdain qui faisait de la prose sans le savoir, quand tu calculais une limite à l'infini d'une fonction, tu calculais une limite dans $\overline{\R}$. Et on est bien obligé de fabriquer $\overline{\R}$, parce que les infinis doivent être dans l'espace total pour pouvoir être dans l'adhérence d'une partie : l'adhérence dans $\R$ d'une partie ne comporte jamais les infinis !
  • Maths2 j'ai corrigé ma coquille erreur de frappe je sais faire une négation. Mais je ne comprends toujours pas ton raisonnement avec l'adhérence.
  • Je parle pour rien ?
  • Mais bordel tu as écrit presque tous le raisonnement. Utilise ton hypothèse non ?
    Et réponds à ceux qui t'aident ou t'apprennent des trucs même quand ils te disent autre chose que la sacro-sainte réponse de l'exercice que tu n'es pas foutu de faire seul puisque tu n'as jamais eu le courage d'en faire un seul dans ta vie, parce que bloquer plus de 1m54 sur une question est impensable alors que tu prétends vouloir devenir fort en maths pour être respecté.
    Tu resteras une chose que je ne peux pas dire puisque je n'ai pas le droit d'insulter ici au niveau des maths. Toute ta vie. Tant que tu ne voudras pas apprendre à faire un exercice seul et que ta vie intellectuelle ressemblera à l'état de l'humanité à la fin de Wall-E, toujours à attendre la becquée de maman forum prête à te fourrer des lignes de réponse dans le gosier sans même que tu n'aies à faire l'effort de mâcher (puisque si des bouts sont trop gros et que tu ne comprends pas une étape, ne te fatigue pas la mâchoire petit chou, le forum viendra en armée à ta disposition pour te l'expliquer), tu seras nul en maths. Jamais bon à être prof même au collège, encore moins au lycée, un type qui n'aura jamais 3/20 à l'agreg, qui restera malheureux sans écouter les conseils, qui perdra son temps à souffrir à ne faire que des maths du matin au soir du soir au matin, mais sans jamais en avoir fait dans sa vie. Non, parce que tu cultives l'illusion envers toi-même que lire plein de cours en quantités industrielles, peut-être même les recopier et les surligner, les apprendre par coeur sans jamais rien comprendre, et enfin faire chaque exercice en lisant l'énoncé avant d'aller voir la correction, c'est faire des maths. Eh bien non, ce n'est rien du tout. C'est une activité intellectuellement inutile. Qui ne t'apporte rien. Tu refuses de réfléchir, les maths te refusent leurs faveurs. Tu n'as pas le courage d'être face à tes échecs pendant plus de trois minutes, tu viens chercher la réponse pour pouvoir penser en toi-même "Ah oui j'aurais trouvé en fait je sais faire c'est bon", ou son versant opposé "Je pourrais jamais penser à ça c'est du chinois j'abandonne ça ne servira à rien pour l'épreuve de maths de l'agrég".
    Je n'arrive plus à rester calme, je n'ai pas non plus envie de simplement passer mon chemin sans rien dire. Tu me fatigues. Je veux te remuer. Que même si tu refuses de faire quoi que ce soit pour t'améliorer en maths, alors tu les lâches, puisque tu les détestes si fort que c'en est presque vexant pour moi, de voir à quel point tu te contrefous de chaque résultat que tout autre membre trouverait beau, intéressant, inattendu...mais que tu veux uniquement avoir une solution pour valider un exercice, passer au suivant, finir tous les exos du livre et commencer le prochain chapitre.
    Prends ta vie mathématique en main, ou dis-lui au revoir et fais des efforts pour t'épanouir dans ta vie réelle.
  • Parfois je me demande si @Os tu ne le fais pas exprès.

    Il faut passer au concret et faire des petits exercices, tout seul comme un grand.

    Un premier exercice sur la continuité que je t'avais proposé mais que tu as zappé, c'était:

    soit f une p application linéaire d'un e.v.n E vers un e.v.n F.

    Montrer que f est continue sur E est équivalent à f est continue en $x=0$ ($x=0_E$).
  • @Homo TOpi
    J'ai déjà vu la droite achevée, mais je ne comprends pas le rapport avec ma problématique.

    D'ailleurs l'adhérence de $]0,+\infty[$ est $[0,+\infty[$, quel rapport avec la droite achevée ?

    @Bd2017
    Je préfère étudier le cours avant de faire un exercice.

    Je ne comprends toujours pas pourquoi si $a$ n'est pas adhérent à $A$, pour $\delta>0$ assez petit il n'existe plus aucun $x\in A$ pour lesquels $\|x-a\| <\delta$.
  • Mais c'est pas possible! Le cours tu l'as déjà pour faire l'exercice.

    D'autre part pour ta question, je crois qu'il ne faut pas y répondre. En effet, tu viens de voir le cours sur la

    topologie, sans faire pratiquement un exercice.

    Donc tu as vu le cours sur la topologie mais tu ne sais rien faire.

    Quand tu penseras avoir vu le cours sur la continuité tu passeras à la suite.

    Puis quand tu verras par exemple cette phrase "la fonction linéaire étant continue en $x=x_0$ alors elle est continue en $x=0$ ...blabla et bien tu viendras demander pourquoi....


    P.S Au passage tu as posé, il y a peu de temps, un exercice de polytechnique (fermeture des adhérents d'une suite) et tu as complètement ignoré ma démonstration (puisque ce n'était pas celle de ton livre). Et tu as ignoré aussi l'aide que j'ai voulu t'apporter en te demandant d'exprimer les phrases en français.
    Et bien, cette démonstration c'est exactement la réponse à la question que tu nous pose aujourd'hui.
  • C'est affligeant.

    Tu dis que tu as déjà vu $\overline{\R}$, très bien, mais visiblement tu n'as pas compris ce que c'est.

    Je te parlais du fait que la limite en $0$ de la fonction inverse, qui n'est pourtant pas définie en $0$, existe. Donc ça a effectivement un sens de parler de la limite d'une fonction en certains points où elle n'est pas définie, dans le sens : la notion de limite d'une fonction en un point, ça ne requiert pas forcément que le point où l'on cherche la limite soit un point où la fonction en question est définie. Cependant, et c'est ce que Poirot voulait te faire comprendre, on ne peut pas définir la notion de limite d'une fonction en un point n'importe où. Donc la question est : mais alors où diable est-ce que ça a un sens de définir cette notion de limite ?

    J'essayais de te faire remarquer que ça fait des années que tu calcules des limites de fonctions $\R \longrightarrow \R$ en $\pm \infty$. Or une fonction $\R \longrightarrow \R$ a un domaine de définition inclus dans $\R$, et les infinis ne sont clairement jamais dedans. Mais alors, pourquoi c'est possible que tu aies calculé ces limites quand même ? Parce que tu calculais tes limite dans $\overline{\R}$, et que dans $\overline{\R}$, les infinis sont dans [size=x-large]l'adhérence[/size] de $\R$.

    La raison pour laquelle la limite à gauche/droite en $0$ de la fonction inverse existe, c'est parce que $0$ est dans [size=x-large]l'adhérence[/size] du domaine de définition de la fonction inverse. Est-ce que maintenant, tu comprends le rapport et pourquoi la limite du logarithme en $-1$ ça ne marche pas ? Corrigé ci-dessous.








    La réponse, c'est parce que c'est sur [size=x-large]l'adhérence[/size] de $A$ qu'on peut définir la limite de $f : A \longrightarrow B$ en un point.
  • Une remarque dans ce bazar :

    Une fois j’avais vu un texte du genre : « on note $\overline{\mathbb R}$ la droite achevée, c’est-à-dire $\mathbb R \cup \{ -\infty ; +\infty \}$. »
    Et cela m’a joué des tours, un jour.
    En effet l’adhérence de $\mathbb R$ dans lui-même (qui se note aussi comme ça $\overline{\mathbb R}$), c’est $\mathbb R$.

    Au cas où, je le dis.
  • J'ai rajouté du vert pour marquer le truc.
  • Os a écrit:
    Je ne comprends toujours pas pourquoi si $a$ n'est
    pas adhérent à $A$, pour $\delta>0$ assez petit
    il n'existe plus aucun $x\in A$ pour lesquels
    $\|x-a\| <\delta$.

    C'est cette question qui me fout les boules. .... Cela a été fait il y a quelques jours à sa demande mais la seule chose qui l'a intéressé c'était son livre alors que dans la démonstration que j'ai proposé j'exprimais $a\notin Adh(A).$

    Bref c'est toujours le même cirque.
  • Je sais exprimer que a n'appartient pas a l'adhérence de A mais ça ne m'aide pas a comprendre le raisonnement de Maths2.

    Je ne sais pas résoudre l'exercice de polytechnique avec ta technique du complémentaire est un ouvert.

    Homo topi ok j'ai compris.
  • OShine je précise juste une coquille dans ce message (c'est là qu'on en revient de toute façon), dans ta dernière phrase ça devrait être "il n'existe pas de $x \in A$ tel que". Tu as mis $a$ au lieu de $x$, ça rend le truc faux.

    EDIT : en plus, il manquait le $\in A$... c'est important, ces choses-là !
  • @OShine pour répondre à ta question ici :
    Je ne comprends toujours pas pourquoi si $a$ n'est pas adhérent à $A$, pour $\delta>0$ assez petit il n'existe plus aucun $x\in A$ pour lesquels $\|x-a\| <\delta$.


    Est-ce que dans ton cours tu as vu la définition d'ouvert et de fermé ? Si oui est-ce que l'adhérence de $A$ est un ensemble fermé ? Si oui qu'est-ce qu'on peut dire du complémentaire ? Conclure...
  • Os a écrit:
    Je sais exprimer que a n'appartient pas a
    l'adhérence de A

    Non. Car ta question c'est l'expression de a n'est pas dans l'adhérence et tu dis ne pas comprendre

    C'est à dire que tu dis savoir mais tu ne sais pas. Ou plutôt tu dis ne pas savoir mais

    que tu sais.

    Bon je quitte aujourd'hui la discussion car on devient bourrique avec toi.
  • Je veux bien aider OShine à comprendre le truc de maths2.

    Je remets une formulation correcte ici :

    Donc, la définition de $x \notin Adh(A)$, c'est : il existe $r > 0$ tel que $B(a,r)$ et $A$ soient disjoints.

    math2 te dit : dans ce cas, pour $\delta > 0$ assez petit, il n'existe aucun $x \in A$ tel que $\|x-a\| < \delta$.

    Traduis intelligemment $\|x-a\| < \delta$ en termes de boules ouvertes pour commencer : $\dots \in B(\dots,\dots)$.
  • @Raoul.S

    Oui j'ai vu les notions d'ouverts et de fermés. L'adhérence d'une partie $A$ est le plus petit fermé contenant $A$. Montrons que $Adh(A)$ est un fermé.

    Dire qu'un point $x$ n'appartient pas à l'adhérence de $A$ signifie qu'on peut trouver $r>0$ tel que $B(x,r) \cap A= \emptyset$ ou encore $B(x,r) \subset E \backslash A$ ce qui signifie que $x \in Int(A)$.

    Donc $E \backslash Adh(A)= Int(E \backslash A)$. On en déduit que $\boxed{Adh(A)=E \backslash Int(E \backslash A)}$

    L'intérieur étant un ouvert, le complémentaire d'un ouvert étant un fermé, $Adh(A)$ est bien un fermé.

    Je ne vois pas comment conclure qu'il n'existe aucun $x$ tel que $||x-a|| \leq \delta$ pour $\delta$ assez petit.

    @Homo Topi

    $x \in B_f(a,\delta)$
  • Désolé OShine mais je ne te suis pas. D'un côté tu dis que l'adhérence de $A$ est le plus petit fermé contenant $A$ et d'un autre tu veux démontrer que l'adhérence est un fermé ???
  • J'ai démontré que l'adhérence était un fermé. Mais je ne vois pas trop quoi en faire.
  • J'avoue que démontrer qu'un truc supposé fermé est fermé, c'est cocasse.

    En attendant : attention, c'est $x \in B(a,\delta)$, la boule n'est pas fermée ! L'inégalité était stricte, donc c'est la boule ouverte ici. Ceci mis à part, regarde :

    Tu disais que $x \notin Adh(A)$ signifie : il existe $r > 0$ tel que $B(a,r)$ et $A$ soient disjoints.

    Avec ta traduction donc, math2 te disait : dans ce cas, pour $\delta > 0$ assez petit, il n'existe aucun $x \in A$ tel que $x \in B(a, \delta)$.

    Vois-tu de quelles valeurs de $\delta$ il voulait parler ? C'est vraiment trivial avec les deux lignes ci-dessus.
  • J'énonce un résultat que je démontre après, je ne vois rien de choquant. Peut être une rédaction maladroite.

    Pour $\delta \in ]0,r ]$ ?

    Je pense avoir compris cette fois !
  • Encore heureux !

    Sans vouloir répéter tout ce qu'on t'a déjà dit 150 fois (fais des exercices simples, fais des dessins, etc etc) il y a un truc en plus. Peut-être que tu as du mal à combiner les informations parce que tu n'arrives pas à voir lesquelles sont associées. math2 utilisait la notation $B(\dots,\dots)$ une fois, puis la notation $\|\dots - \dots\|$ la fois d'après. "Nous" on sait traduire de l'une à l'autre directement par habitude, toi on dirait que tu as bloqué sur ça.

    Je ne sais pas trop quel conseil te donner si c'est un vrai problème que tu as.
  • Je dois pratiquer encore des exercices et étudier des cours de topologie et d'espaces vectoriels normés pour être plus à l'aise.
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