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Statistique d'ordre et martingale convergente

Salut, j'espère avoir votre aide pour résoudre l'exercice suivant:

Soit $(X_k)_k$ une suite de v.a.r.i.i.d et $f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ une fonction mesurable telle que $f(X_1,X_2) \in L^1$ et pour tout $(x,y) \in \mathbb{R}^2,f(x,y)=f(y,x).$ Soit pour $n \geq 2,Y_n=\frac{2}{n(n-1)}\sum_{ 1 \leq p<q \leq n}f(X_p,X_q).$ On definit $\mathcal{F}_n=\sigma(X_{(1)},...,X_{(n)},X_{n+1},X_{n+2}...)$ où $X_{(1)},...,X_{(n)}$ sont les statistiques d'ordre (variables rangées dans l'ordre croissant).

Questions:

1. a. Prouver que $(\mathcal{F}_n)_n$ est décroissante.

Clairement $\sigma(X_{n+2},X_{n+3},...) \subset \mathcal{F}_{n},$ il faut aussi verifier que $\sigma(X_{(1)},...,X_{(n+1)}) \subset \mathcal{F}_n.$

Avez-vous des suggestions comment faire cela? J'ai essayé d'écrire $X_{(1)}=\min_{1 \leq k \leq n+1}X_k,X_{(n+1)}=\max_{1 \leq k \leq n+1}X_k,$ les autres sont plus compliqués à expliciter.

1. b. Vérifier que $Y_n=E[f(X_1,X_2)|\mathcal{F}_n],$ en d'autres termes $(Y_n)$ est une martingale renversée.

On a $$E[\sum_{1 \leq p<q \leq n}f(X_p,X_q)|\mathcal{F}_n]=\sum_{1 \leq p <q \leq n}E[f(X_p,X_q)|\mathcal{F}_n]=\sum_{1 \leq p<q \leq n}E[f(X_p,X_q)|(X_{(1)},...,X_{(n)})]$$ ce qui est vrai puisque $\sigma(X_{n+1},...)$ est indépendante de $\sigma(\sigma(X_p,X_q) \cup \sigma(X_{(1)},...,X_{(n)})).$ On note aussi que $P_{(X_p,X_{q},X_{(1)},...,X_{(n)})}=P_{(X_1,X_2,X_{(1)},...,X_{(n)})}$ alors on a $$E[f(X_p,X_q)|(X_{(1)},...,X_{(n)})]=E[f(X_1,X_2)|(X_{(1)},...,X_{(n)})]=E[f(X_1,X_2)|\mathcal{F}_n]$$ de nouveau par indépendance. Alors $E[\sum_{1 \leq p<q \leq n}f(X_p,X_q)|\mathcal{F}_n]=\frac{1}{2}n(n-1)E[f(X_1,X_2)|\mathcal{F}_n].$
Il ne reste qu'à vérifier que $E[\sum_{1 \leq p<q \leq n}f(X_p,X_q)|\mathcal{F}_n]=\sum_{1 \leq p<q \leq n}f(X_p,X_q).$

Pourquoi pensez-vous que c'est vrai ? Est-ce que $\sum_{1 \leq p<q \leq n}f(X_p,X_q)$ est $\mathcal{F}_n$-measurable ? Est-ce que c'est là qu'il faut utiliser le fait que $f$ est symétique ?

2. Déduire que $(Y_n)_n$ converge p.s. vers $E[f(X_1,X_2)].$

On déduit du théorème de convergence des martingales que $Y_n$ converge p.s. et dans $L^1$ to $Y$ et qui doit etre $\bigcap_{n \geq 2}\mathcal{F}_{n}$-mesurable.

Est-il vrai que: $\bigcap_{n \geq 2}\mathcal{F}_{n}=\bigcap_{n \geq 2}\sigma(X_n)?$ Si oui, alors dans ce cas on peut déduire que la limite p.s. est constante égale à $E[f(X_1,X_2)].$

Merci d'avance.

Réponses

  • Bonjour,

    Si $X_1,\dots,X_n$ est une suite finie, il est clair ce que désignent les statistiques d'ordre $X_{(1)},\dots,X_{(n)}$.

    En revanche, si je rajoute $X_{n+1}$ au bout, eh bien ça chamboule complètement les statistiques d'ordre $X'_{(1)},\dots,X'_{(n+1)}$.

    D'ailleurs, pour une suite infinie comme ici, le $X_{(1)} = \min(X_{i})$ n'est même pas bien défini.

    Donc il faut bien comprendre ici que dans $\mathcal F_{n+1}$, ce ne sont pas les mêmes statistiques d'ordre que dans le $\mathcal F_{n}$ qui apparaissent.

    Je pense qu'il faut lire que $\mathcal F_n$ est la tribu que l'on observe quand on connaît les $n$ premières valeurs, mais sans leur numérotation, et les suivantes avec leur numéro.

    Et donc, on a plus d'informations dans $\mathcal F_{n}$ que dans $\mathcal F_{n+1}$, puisqu'on oublie l'ordre de plus en plus loin.

    Voilou !
  • bonjour, 

    @"ronaldo.p"

    Svp,  quel est la référence de cet exercice
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