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Dérivée d'un vecteur

Bonsoir

Si $\quad u:\Omega \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^n, \
u=(u_1,u_2,\ldots ,u_n).$
La derivée de$ u$ est $(\frac{\partial u_{1}}{\partial x},\frac{\partial u_{2}}{\partial x},\ldots,\frac{\partial u_{n}}{\partial x})$ ?

Si $\quad u:\Omega \subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n,$
la derivée de $u$ est une matrice dont les composantes sont de la forme :
$\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}}+\frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}}$ ou $\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}}$ avec $1\leq i\leq n $ et $1\leq j\leq n$ ?

Réponses

  • Je t'invite à lire un cours de calcul différentiel, ça sera beaucoup plus simple pour toi. Tu verras notamment qu'on ne parle pas de "dérivée" pour une fonction de plusieurs variables.
  • Je suis perdu. Pouvez-vous me proposer un référence, pdf etc
  • On trouve cela dans quasiment tout manuel de première / deuxième année.

    Pour Poirot, il m'arrive d'employer le terme de Fréchet-dérivée au lieu de différentielle, mais évidemment je ne fais pas cela dans un cadre pédagogique (sauf à des étudiants plus avancés en calcul différentiel), les risques de confusion étant trop grands.
  • On parle de "vecteurs dérivés" quand on fait de la mécanique, typiquement on dérive les vecteurs dans un repère de Frenet. Je pense qu'on peut très bien garder le mot "dérivé" pour les trucs d'une variable (courbes, vecteurs mobiles dépendants du temps...) mais jamais quand on a plusieurs variables.

    Cela dit, mon prof de calcul diff de Licence utilisait les mots "différentielle" et "dérivée" de manière interchangeable, ça m'a beaucoup embrouillé quand je cherchais des infos dans des bouquins. D'ailleurs ça embrouillait beaucoup de monde, le prof en question étant assez universellement détesté des étudiants. Il n'était pas connu pour sa pédagogie... en tout cas je comprends les néophytes qui confondent les deux termes où qui sont embrouillés par quelqu'un qui utilise les deux de manière interchangeable. Le souci étant que ça fait faire beaucoup d'erreurs et de confusions dans tout le calcul diff, je suis passé par là.
  • C'est pour cela que moi je ne l'utilise jamais en L3 ou en M1 (je le signale juste mais je ne l'emploie pas). Dans un cours où nous irions explorer les dérivations de Hadamard, Clarke, Rockafellar, on est à un niveau suffisamment avancé pour se permettre d'employer cette terminologie.
  • Merci Ignotus pour la référence.
    Mais je n'ai pas encore trouvé la réponse de cette partie de question.
    Si $\quad u:\Omega \subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n,$
    la dérivée de $u$ est une matrice dont les composantes sont de la forme :
    $\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}}+\frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}}$ ou $\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}}$, avec $1\leq i\leq n $ et $1\leq j\leq n$ ?
  • N'importe quel cours de calcul différentiel qui se respecte répondrait à ta question.

    Tu cherches la notion de "matrice jacobienne".
  • Merci beaucoup
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