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Caractérisation des valeurs d'adhérence

Bonsoir,

J'ai besoin de cette proposition pour résoudre un exercice d'oral de Polytechnique 2018 :

Soit $(x_n)$ une suite à valeurs dans un espace vectoriel normé $E$. Montrer que l'ensemble des valeurs d'adhérence de la la suite $(x_n)$ est un fermé de $E$.

Proposition :

Soit $(a_n)_{n \in \N}$ est une suite à valeurs dans $E$ et $x$ un élément de $E$. Alors $x$ est une valeur d'adhérence de la suite $(a_n)$ si et seulement si :

$\forall \varepsilon >0 \ \forall n_0 \in \N \ \exists n \geq n_0 \ \ ||a_n -x|| \leq \varepsilon$.


J'ai du mal à comprendre la différence avec la limite d'une suite. Ca signifie quoi concrètement cette suite de quantificateurs ?

J'ai du mal à comprendre la différence avec :

$\forall \varepsilon >0 \ \ \exists n_0 \in \N \ \ n \geq n_0 \implies |u_n -l| \leq \varepsilon$

Réponses

  • Traduit ces 2 phrases en français.

    P.S pour la démonstration, je démontrerai que le complémentaire est un ouvert.


    P.S 2. Déjà sans les quantificateurs. Comment traduis-tu en français

    $|| a_n - x||< \epsilon $ ?
  • Pense suite extraite.
  • Essayes de montrer que si $VA(u)$ est l'ensemble des valeurs d'adhérence de $u$, alors $VA(u)=\bigcap\limits_{n\in\N}\overline{\{u_{p}:p\geq n\}}$.
  • Il manque un quantificateur sur $n$ dans la deuxième assertion, puis attention aux parenthèses (même implicites).
  • Je reformule :
    Voici un exercice de Polytechnique.
    Pourriez-vous me rappeler les cours de collège et de lycée sur les quantificateurs pour que je puisse vous poser ensuite des questions sur cet exercice ?
  • OShine a écrit:
    Ca signifie quoi concrètement cette suite de quantificateurs ?

    Je te propose de tester avec des exemples concrets :

    1) est-ce que 1 est une valeurs d'adhérence de la suite $1,-1,1,-1,1,-1,...$ ?

    2) est-ce que -1 est une valeurs d'adhérence de la suite $1,-1,1,-1,1,-1,...$ ?

    3) est-ce que 2 est une valeurs d'adhérence de la suite $1,-1,1,-1,1,-1,...$ ?

    4) est-ce que 2 est une valeurs d'adhérence de la suite $2,1,-1,1,-1,1,-1,...$ ?

    5) est-ce que 2 est une valeurs d'adhérence de la suite $1,2,3,1,2,3,1,2,3,...$ ?

    6) est-ce que 0 est une valeurs d'adhérence de la suite $(\cos(\dfrac{\pi}{2}n))$ ?

    7) est-ce que 0 est une valeurs d'adhérence de la suite $(1/n)$ ?
  • Il me semble que cette proposition combinée a la caractérisation séquentielle d'un fermé résout l'exercice en 3 lignes...

    Quel que soit epsilon quel que soit $n_0$ il existe un rang $n$ supérieur a $n_0$ tel que la distance entre $a_n$ et $x$ est inférieure à $\varepsilon$.

    Pour la converge d'une suite.

    Quel que soit $\epsilon$ il existe un rang $n_0$ tel que pour tout $n$ supérieur a $n_0$ la distance entre $a_n$ et $x$ est inférieure à $\varepsilon$.
  • @Raoul.S

    1) Oui

    2) Oui

    3) Non

    4) Non

    5) Oui

    6) Oui

    7) Une suite qui converge possède une unique valeur d'adhérence sa limite, donc oui.
  • (tu)

    tu arrives à donner une autre caractérisation de "$\forall \varepsilon >0 \ \forall n_0 \in \N \ \exists n \geq n_0 \ \ ||a_n -x|| \leq \varepsilon$" en termes de suites extraites ?
  • Non pas du tout.
  • Disons que cette caractérisation est quand même importante à connaître. En fait l'énoncé "$\forall \varepsilon >0 \ \forall n_0 \in \N \ \exists n \geq n_0 \ \ ||a_n -x|| \leq \varepsilon$" est équivalent à dire qu'il existe une sous-suite qui converge vers $x$.

    Donc on a l'équivalence : $x$ est une valeur d'adhérence de la suite $(a_n)$ ssi il existe une sous-suite de $(a_n)$ qui converge vers $x$.

    Ce n'est pas difficile à démontrer mais te connaissant tu risques de t’emmêler les pinceaux. :-D

    Remarque : sous-suite ou suite extraite c'est la même chose.
  • Oui je suis bête c'est la proposition. C'est démontré dans mon livre, pas difficile mais il y a un passage subtile.

    L'exercice se fait rapidement.

    @Amédé
    Ta formule compliquée je l'ai déjà vue en exercice dans le cours mais ici est-elle utile ici ?

    Notons $Adh(x_n)$ l'ensemble des valeurs d'adhérence de la suite $(x_n)$. Soit $(a_n)$ une suite convergente d'éléments de $Adh(x_n)$ qui converge vers $l$. Montrons que $l \in Adh(x_n)$.

    Il s'agit donc de montrer que $\boxed{\forall \varepsilon >0 \ \forall n_0 \in \N \ \ \exists n \geq n_0 \ \ ||x_n -l || \leq \varepsilon}$

    Soit $\varepsilon >0$ et $n_0 \in \N$.
    • $(a_n)$ converge vers $l$ donc il existe un entier $q$ tel que $||a_q -l|| \leq \varepsilon$.
    • $a_p \in Adh(x_n)$ donc il existe $n \geq n_0 \ \ ||a_q -x_n || \leq \varepsilon$

    On a $||x_n -l||=||( x_n -a_q) + (a_q-l) || \leq ||x_n -a_q|| + ||a_q -l || \leq \varepsilon + \varepsilon \leq 2 \varepsilon$

    Ce qui termine l'exercice.
  • Je trouve curieux que cet exercice soit un oral d'X.
  • Oui il est de difficulté modérée. Après il faut se souvenir de la caractérisation, et l'examinateur peut demander de redémontrer la caractérisation des valeurs d'adhérence avec les epsilons.
  • Même avec la définition je ne vois pas de problème.
  • La formule est intéressante, mais vu ce que OShine déclare connaître, le chemin proposé par bd2017 est le plus naturel.
    Les informations que vous avez envoyées ont été rejetées, parce qu'elles semblent envoyées par un robot d'envois automatiques.

    Bref, une machine m'accuse d'être une machine...
  • Bonjour
    Je suis désolé @Os mais à moins d'être mal réveillé, ta démonstration me semble bien incorrecte. Mais au minimum, je suis certain que c'est très mal rédigé.
    N'oublie pas ceci
  • C'est vrai OS inutile de voir qu'une intersection quelconque de fermés est fermée...

    Il manque des choses dans ta démonstration. Il y a des choses dans le désordre.
  • Cet exercice est de difficulté modérée, et encore plus si on considère que cette réponse est correcte.
  • Une remarque : qui est $p$ ?
    J’imagine une coquille bénigne.
  • RLC : Les exercices d'oraux que l'on trouve dans les annales sont exclusivement des exercices qui ont été rapportés par des élèves ayant passés ces oraux puisque les interrogateurs sont soumis à des clauses de confidentialité.
    Par ailleurs, à l'oral de l'X, il y a d'abord un exercice préparé avant le passage au tableau, puis un exercice sans préparation, pour lequel l'examinateur donne les questions au fur et à mesure de l'avancée du candidat. Si le candidat n'a pas avancé sur cette première question, il n'a peut-être jamais su qu'il y avait quelque chose après...
  • Si on veut pinailler sur la démonstration de OShine car il écrit ce genre de messages http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?6,2278544,2300750#msg-2300750 alors ok, mais si on veut être objectifs sa démonstration est correcte modulo quelques "coquilles" et à mon avis elle n'est pas dans le désordre et il ne manque rien.

    OShine précise d’emblée que pour démontrer que $Adh(x_n)$ est fermé il montrera que tout suite de $Adh(x_n)$ convergente a sa limite dans $Adh(x_n)$.

    Les quantificateurs sont bien utilisés donc rien à dire de ce côté.

    Si on veut pinailler il y a la coquille relevée par Dom : $a_p \in Adh(x_n)$ (il s'agit de $q$ et pas de $p$ en indice)

    et les $\varepsilon$ qui devraient être divisés par deux afin d'éviter un $2\varepsilon$ à la fin (mais là on pinaille, quoique s'agissant de OShine on peut en effet se demander s'il maîtrise ce passage...).
  • Je suis d’accord. Le $p$ n’aurait d’ailleurs pas été là à l’écrit je pense et les $2\varepsilon$ ne gênent personne (si ?).
    Des choses passent pour bien moins que ça.

    C’est à l’oral qu’il est intéressant de fouiller un peu les implicites dans cet extrait là.
  • Oui on aurait pu prendre $\varepsilon /2$ pour chaque inégalité. Mais quand j'ai débuté sur les limites, on m'a dit que c'était identique quand on arrivait à $2 \varepsilon$ ou $3 \varepsilon$.

    Oui c'est une coquille c'est $a_q$
  • Voilà « on m’a dit ».
    Ton travail était, et est toujours, de le démontrer.

    Je ne te fais pas la leçon, il y a un temps pour tout et pour chacun.
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