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Analyse de Hardy

Bonjour tout le monde ma question comment montrer que If(z)I est borné sur C, sachant que j'avais montré que f(z) est bornée sur le quart im(z) positif et Re(z) négatif.126764

Réponses

  • Tu as $Re(z) - Im(z) = Re((1+i)z)$. Si on divise $f$ par $e^{(1+i)z}$, ne symétrise-t-on pas le problème ?
  • Bonsoir,

    L'indication de Frédéric Bosio est excellente : il suffit de juste de vérifier qu'on peut trouver des constantes $C,D>0$ et $0<\beta<2$ telles que pour tout nombre complexe $z$, on a
    \[\lvert f(z)e^{-(1+i)z}\rvert\leqslant Ce^{D\lvert z\rvert^\beta}\;.\]
  • Il s'agit d'appliquer une variante du principe du maximum (sur des ouverts non bornés) plus communément appelée le principe de Phragmén-Lindelöf (ici sur des secteurs angulaires).
    Je te joins la page wiki pour voir un énoncé précis : https://en.wikipedia.org/wiki/Phragmén–Lindelöf_principle
  • @BobbyJoe : Je pense que Yanel s'en est servi mais n'a réussi à majorer $\lvert f\rvert$ par $1$ que sur la frontière d'un quadrant.
    En divisant $f(z)$ par $e^{(1+i)z}$, on peut appliquer le principe de Phragmén-Lindelöf sur chaque quadrant et montrer que $z\mapsto f(z)e^{-(1+i)z}$ est bornée sur $\C$.
  • LE PROBLEME EST DE VERIFIER QUE CE NOUVEAU BETA EST ENTRE 0 ET 2 ?

    [Inutile de crier ! AD]
  • Bonsoir,
    Voici comment je me sors du problème. Je pose $g\colon z\mapsto f(z)e^{-(1+i)z}$ et soit $U=\{z\in\C\colon\lvert z\rvert\leqslant 1\}$.
    Je pose $\displaystyle C=\max(A,\sup_{z\in U} |g(z)|)$, $D=B+2$ et $\beta=\max(1,\alpha)$.
    On a évidemment $C>0$, $D>0$, $0<\beta<2$ et $g(0)=0$.
    Alors, pour tout $z\in\C$, on a $\lvert g(z)\rvert\leqslant Ce^{D\lvert z\rvert^\beta}$.
    En effet :
    • si $z\in U$, on a $\lvert g(z)\rvert\leqslant C\leqslant Ce^{D\lvert z\rvert^\beta}$ ;
    • si $z\in\C\setminus U$, alors $\lvert z\rvert>1$, donc $\lvert g(z)\rvert=\lvert f(z)\rvert e^{-\mathrm{Re}((1+i)z)}\leqslant Ae^{B\lvert z\rvert^\alpha-\mathrm{Re}(z)+\mathrm{Im}(z)}\leqslant Ce^{B\lvert z\rvert^\alpha+2\lvert z\rvert}\leqslant Ce^{D\lvert z\rvert^\beta}$.

    De plus, pour tout $z\in\R\cup i\R$, $\lvert g(z)\rvert\leqslant 1$.
    D'après le principe de Phragmén-Lindelöf appliqué sur chacun des quadrants (donc des angles de $\dfrac{\pi}2$), on trouve que $\lvert g\rvert\leqslant 1$ sur $\C$.
    Le théorème de Liouville nous dit que $g$ est constante, et comme $g(0)=0$, $g$ est la fonction nulle, donc $f$ aussi.
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