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Normes équivalentes ?

Bonsoir,

Je sèche complètement sur les questions $2$ et $3$ qui m'ont l'air bien ardues.

Oral Polytechnique 2015 :

On pose $E=\{f \in \mathcal C^2([0,1],\R) \ | \ f(0)=f'(0)=0 \}$

1) Montrer que $f \mapsto N_{\infty} (f''+2f'+f)$ est une norme sur $E$, que l'on notera $N$.

2) Montrer que $N$ domine $N_{\infty} $ et préciser la plus petite constante $a>0$ telle que $N_{\infty} \leq aN$.

3) Les normes $N$ et $N_{\infty} $ sont-elles équivalentes ?


Question $1$ :

$E$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal C^2(|0,1],\R)$. On a $N=N_{\infty} \circ \varphi$ où $\begin{array}[t]{cccl}
\varphi :& E& \rightarrow &C^2(|0,1],\R) \\
& f &\mapsto &f''+2f'+f
\end{array}$
$\varphi$ est injective car son noyau est l'ensemble des solutions du problème de Cauchy suivant $f''+2f'+f=0$ et $f(0)=f'(0)=0$ qui admet une unique solution. Or $f=0$ est solution. Comme $\varphi$ est injective, on en déduit que $N$ est une norme.

Question $2$ :

$N$ domine $N_{\infty}$ s'il existe une constante $a>0$ telle que $N_{\infty} \leq a N$...
«1

Réponses

  • Bonjour, si tu écris $\phi~:~E\to C([0,1],\mathbb{R})$, $\phi$ est-elle bijective? Que vaut $\phi^{-1}$?
  • La réponse à la question 1 n'est pas une réponse. Car vu ton niveau je trouve que c'est très rapide.
    Je crois encore à de l'enfumage et du recopiage. Surtout du mauvais recopiage quand on voit cela.
    Os a écrit:
    où $$\varphi : E \longrightarrow C^2(|0,1],\R) \\
    f \mapsto f''+2f'+f$$
  • J'hésitais entre crier au recopiage et applaudir l'introduction de sa fonction.
    Mais accordons le bénéfice du doute. Avant de trouver la meilleure constante, on va déjà chercher la plus évidente, et souvent les problèmes sont ainsi faits que la plus facile à obtenir est la bonne.
    Sans plus d'idée on aimerait voir si on n'a pas une relation du type $N_{\infty}(f) \leq N_{\infty}(f')$. Tu en penses quoi ?
  • Il faut partir de $ \int_{m}^{x}f'(t)dt=f(x)-f(m)$ pour un certain $m\in [0,1]$
  • Ma réponse a la question 1 utilise un résultat du cours qui est démontré dans mon livre.
  • donc $\mid f(x)\mid \leq \mid f(m)\mid +\int_{m}^{x}\mid f'(t)\mid dt$ pour $m\in ]0,1]$
  • OS http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2301846,2301892#msg-2301892
    Encore un argument de défense bidon.

    D'abord concernant le bénéfice du doute et pour lever ce doute.
    1. Corrige l'erreur
    2. Un résultat lequel, cite- le
    3. En vertu du post où tu as sévèrement critiqué la rédaction d'une personne qui a eu 20 à l'Agreg interne, on est en droit de demander une rédaction honorable qui montre que tu as fait la question 1 toi même.

    [Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
  • Voici comment je fais pour la question 2 et 3.

    Soit $f\in E.$ Posons $h(x)=f''(x)+ 2 f'(x) + f(x)$ (je ne précise pas où est $h$ pour laisser le soin à @Os de corriger son erreur)

    On a pour tout $x\in [0,1]$ :
    $$
    f(x)=\int_0^x s e^{-s} h(x-s) dx.

    $$ Donc $$ |f(x)| \leq \int_0^x s e^{-s} |h(x-s)| d s \leq N_{\infty}(h) \int_0^x s e^{-s} ds =\dfrac{e-2}{e} N(f).

    $$ Donc $$N_\infty(f)\leq \dfrac{e-2}{e} N(f).

    $$ De plus $a=\dfrac{e-2}{e}$ est la constante optimale car on a égalité avec la fonction $f(x)=1-e^{-x} (1+x)$

    3. Non les normes ne sont pas équivalentes, cela se vérifie aisément avec la suite
    $f_n(x)=x^n $ (calculer $|f_n''(1)+2 f_n'(1)+f_n(1)|$ et voir que ça tend vers l'infini).
  • Pour la question 1:

    $N$ bien définie et positive?

    $N$ séparable?

    $N$ sous additive?

    $N$ absolument homogène?
  • Je ne comprends pas à quoi servent tes questions @Amedé.

    Je change l'exercice en remplaçant dans la définition E les conditions

    $f(0)=f'(0)=0$ par $f(0)=f(1)=0.$

    J'avoue ne pas avoir réfléchi au problème donc je ne sais pas si c'est aussi facile...

    P.S A posteriori je comprends mais je n'utilise pas ce vocabulaire pour définir une norme.
  • Bonjour,

    > Je ne comprends pas à quoi servent tes questions @Amedé.

    OShine, quelle est ta définition d'une norme ?
    Une fois que tu as écrit cette définition, relis les questions d'Amédé.

    Cordialement,

    Rescassol
  • La correction d'OShine pour la question 1 est correcte, bien que trop sophistiquée pour lui, je ne crois pas une seconde qu'il l'ait trouvée seul.
  • @Bd2017 je ne demandais pas la réponse à l'exercice, juste une indication pour démarrer la question $2$.

    De toute façon je ne comprends pas ta réponse donc...
  • Bonjour,

    Pardon, Bd2017, j'ai cru que c'était OShine qui posait la question.
    Ce qui ne l'empêche pas de répondre.

    Cordialement,

    Rescassol
  • Tu crois pas qu'à un moment il serait bon de chercher à résoudre l'équation différentielle ?
  • Je rappelais les axiomes d'une normes, qui n'ont pas été vérifié dans la solution de OS. Sauf pour séparable $N(f)=0\Longrightarrow x=0$.

    @bd2017: en général moi non plus mais c'était pour ne pas balancer les axiomes vérifiés par une norme tout de suite.
  • @Os tu veux une indication pour la question 2? Et bien l'expression de f(x) sous la forme intégrale que j'ai donnée, je ne l'ai pas justifiée volontairement pour te laisser du travail.

    Donc tu as encore du boulot! Amuses-toi et montres nous ton savoir faire: vérifie que ma formule est vraie!

    Ensuite quand tu auras prouvé cela, un autre vrai boulot c'est de savoir comment j'ai fait pour trouver cette formule.
  • @Amédé : OShine utilise certainement le résultat disant que si $N$ est une norme et $f$ une application linéaire injective, alors $N \circ f$ est une norme.
  • @Poirot
    Oui c'est ce résultat, qui est très simple à démontrer. Il était expliqué dans mon livre avec des exercices d'applications.

    Je vais résoudre l'équation différentielle $y''+2y'+y=0$ même si je ne comprends la rapport avec la domination des normes :-S

    L'équation caractéristique est $x^2+2x+1=0$

    $\Delta=4-4=0$ donc $x=-1$. Ainsi, l'ensemble des solutions sont les applications :

    $x \mapsto e^{-x} (\lambda_1+ \lambda_2 x)$ avec $(\lambda_1 ,\lambda_2) \in \R^2$

    @AlainLyon

    $\varphi$ est injective. Je ne vois pas trop comment savoir si elle est surjective....

    On pose $g \in C^2([0,1],\R)$ et on doit résoudre $y''+2y'+y=g$ mais après je coince.
  • Bonjour,

    J'engueulais mes élèves quand ils utilisaient $\Delta$ pour résoudre $x^2+2x+1=0$.

    Si on veut résoudre $y''+2y'+y=g$, on peut écrire $(y''+y')+(y'+y)=g$ et poser $z=y'+y$, puis variation de la constante deux fois, à première vue, et éventuellement discuter suivant $g$. Je dis ça sans l'avoir écrit.

    Cordialement,

    Rescassol
  • Ok Rescassol mais je ne comprends pas pourquoi on fait ça.
    C'est quoi le rapport avec la domination des normes ?
  • Tu invoques justement une application phi. Tu ne penses pas que ce serait utile d'avoir une expression un peu plus explicite, ou du moins plus souple, de N(h) ?
  • RLC je n'ai pas trop compris.
  • @Poirot: ok. Mais parfois il sort des trucs qui en jettent, dont je me demande si ils ne proviennent pas de corrigés tout faits. Ça aurait été bien de savoir si il savait ce qu'était une norme.
  • La question 2) n'est pas facile je trouve. À part utiliser la T... de L... pour retomber sur l'expression de bd2017 je ne vois pas de solution élémentaire.

    Par conséquent je me demande pourquoi OShine essaies-tu de résoudre cet exo ?

    PS. Mais peut-être que je me trompe et qu'il existe une solution élémentaire...
  • Homogénéité, séparation, inégalité triangulaire.... Quand a OShine, revois bien tes cours de mathématiques de terminale s, voire de l1.... Tu, certes, en as besoin.
  • @Bd2017
    Où est l'erreur dans la question $1$ ? Le corrigé donne la même application....

    @Amédé

    N'abuse pas. Je ne vais pas me lancer dans un tel exercice si je ne connais pas la définition d'une norme.

    @Raoul.S
    Parce que c'est un exercice de mon livre. lls n'ont pas mis d'étoile de difficulté, comme si l'exercice ne comportait pas de difficulté :-S

    Si je m'autorise à regarder uniquement le début de la correction, la première ligne calcule $\dfrac{d^2}{d x^2} (e^x f(x))=e^x (f''(x)+2f'(x)+f(x) )$.

    Soit $f \in E$. Pour $x \in [0,1]$, on applique la formule de Taylor avec reste intégral appliqué à l'ordre $1$, à la fonction $x \mapsto f(x) e^x$, entre les points $0$ et $x$.

    Je ne comprends pas comment on sait qu'il faut considérer l'application $x \mapsto f(x) e^x$
  • @OShine ok il existait bien une solution élémentaire... B-)-
    OShine a écrit:
    Je ne comprends pas comment on sait qu'il faut considérer l'application $x \mapsto f(x) e^x$

    L'expérience, l'intuition... je n'y ai pas pensé non plus.
  • @Raoul.S
    C'est rassurant pour moi.

    Maintenant que j'ai compris qu'il faut utiliser Taylor Lagrange, j'essaie de finir par moi-même.

    Soit $f \in E$/
    On pose $u(x)=f(x) e^x$. $u$ est de classe $C^2$ sur $[0,1]$.

    On a $u(x)=\dfrac{u(0)}{0!} (x-0)^0 +\dfrac{ u'(0)}{1!} (x-0)^1+ \displaystyle\int_{0}^x \dfrac{(x-t)}{1!} u''(t) dt$

    Comme $u(0)=0$ et $u'(0)=f(0)+f'(0)=0+0=0$ on en déduit :

    $e^x f(x)= \displaystyle\int_{0}^x (x-t) (f''(t)+2f'(t)+f(t) )e^t dt$

    Ainsi $\boxed{f(x) = e^{-x} \displaystyle\int_{0}^x (x-t) (f''(t)+2f'(t)+f(t) )e^t dt}$

    Par ailleurs, $\forall t \in [0,x] \ |f''(t)+2f'(t)+f(t) | \leq N(f)$

    Donc $\boxed{|f(x)| \leq e^{-x} N(f) \displaystyle\int_{0}^x (x-t) e^t dt}$

    Posons $I=\displaystyle\int_{0}^x (x-t) e^t dt$

    Une intégration par parties donne car les applications $t \mapsto x-t$ et $t \mapsto e^t$ sont de classe $C^1$ :

    $I=e^x -x-1$

    Ce qui donne $\boxed{|f(x)| \leq N(f) \left( 1- (x+1) e^{-x} \right)}$

    Je suppose que je dois étudier la fonction définie par $g(x)=1-(x+1)e^{-x}$ sur $[0,1]$.
  • Poirot écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2301846,2301976#msg-2301976
    [Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
    Bien vu...(c'est la correction du manuel qu'il utilise, avec d'ailleurs une coquille consciencieusement recopiée).

    [Préférer "Joindre un fichier" à donner un pointeur sur le net qui disparaîtra tôt ou tard. :-) AD]126750
  • La coquille c'est $C^2 ([0,1],\R)$ ? Je pense que c'est plutôt $C^0( [0,1],\R)$ l'espace d'arrivée.

    Bah la question $1$ c'est du cours, il n'y a pas de difficulté. Même sans le corrigé je l'aurais trouvée.
  • Ben non justement, c'est pas "du cours", tu n'aurais pas trouvé cette méthode-là tout seul j'en suis sûr à 100%. Mais continue de te voiler la face, c'est comme ça que tu progresseras...
  • "Même sans le corrigé je l'aurais trouvée."

    Bravo !
  • Oshine un ado de 35 balais "non msieur j'ai pas copié sur le voisin c'est lui qui a copié sur moi"
  • Si tu avais recopié le "cf page 200" tu aurais fait de moi le plus comblé des hommes.
  • Bonjour
    Je repose pour @Oshine l'exercice avec $E$ est l'espace des fonctions $f\in {\cal C}^2([0,1],\R)$ telles que $f(0)=f(1)=0.$

    D'abord $N$ est-elle une norme ? Cela doit être à ta portée.
  • @Bd2017

    Oui c'est une norme l'unique solution de l'équation différentielle $y''+2y'+y=0$ avec $f(0)=f(1)=0$ est la fonction nulle. Je l'ai vérifié car l'ensemble des solutions sont les fonctions $x \mapsto e^{-x} ( \lambda_1 +\lambda_2 x)$. Donc $N(f)=0 \implies f=0$

    On a clairement $N(\lambda f)=|\lambda| N(f)$ et l'inégalité triangulaire donne directement $N(f+g) \leq N(f)+N(g)$

    Sinon, pour en revenir à la question $2$, j'arrive à $\forall x \in [0,1] \ |f(x)| \leq (1-\dfrac{2}{e} ) N(f)$

    Ainsi, $\boxed{N_{\infty} (f) \leq (1-\dfrac{2}{e} ) N(f)}$

    Je bloque ici. Comment savoir que $a=1-\dfrac{2}{e}$ est une constante optimale ?

    Le corrigé résout $y''+2y'+y=1$ mais je ne vois pas le rapport avec le fait que $a$ soit la plus petite constante possible ? Pourquoi on résout cette équation différentielle ?
  • La constante optimale je l'ai démontrée et tu demandes comment fait-on?
  • Ah d'accord merci.
    Par contre elle sort d'où ta grosse intégrale ?
  • Si tu as $N_{\infty}(f)\leq a N(f),\ \forall f\in E\ $ et que tu trouves un $f\in E$ tel que

    $N_{ \infty}(f)= a N(f) $ alors la constante $a$ trouvée est la plus petite possible.
  • Quelle grosse intégrale?
  • Dans l'énoncé qui m'a été rapporté par un mes élèves ayant passé l'oral de Polytechnique cette année-là, il y avait une indication entre la 1ère et la 2ème question, suggérant de trouver une expression de $f$ en fonction de $g$ lorsque $g=f+2f'+f''$. On tombe alors naturellement sur la solution trouvée par bd2017.
  • L'intégrale suivante $f(x)=\int_0^x s e^{-s} h(x-s) dx$...


    C'est étonnant pour la question $3$ Bd2017 que mon corrigé donne une suite de fonction compliquée alors que la tienne est bien plus simple.

    Si $f_n(x)=x^n$ alors $f_n '(x)=n x^{n-1}$ et $f_n ''(x)=n (n-1) x^{n-2}$ pour $n \geq 2$.

    On a $||f_n ''(1)+2 f_n '(1) +f_n (1) |=|n(n-1)+2n+1| = |n^2+n+1| \longrightarrow + \infty$

    Il y a un détail que je n'ai pas compris.

    Dans le cours, il est expliqué que pour monter que $N_1$ n'est pas équivalente à $N_2$, il suffit d'exhiber une suite qui converge pour $N_2$ mais pas pour $N_1$.

    Mais pourquoi ici on prend $x=1$ ?

    Il ne faut pas plutôt calculer $N_{\infty} (f_n)$ et $N(f_n)$ :-S
  • Montre simplement que $(N_{\infty}(f_n))$ est borné tandis que $(N(f_n))$ tend vers $+\infty$.
  • 1.@Oshine on veut bien t'aider mais dans ton dernier post tu as les calculs qu'il faut.
    Le reste n'est que du petit raisonnement. Tu demandes pourquoi on prend x=1?

    Mais cela montre que tu ne cherches pas par toi même. Parce que là il n'y a rien de compliqué...

    2. Concernant l'exemple donné dans ton corrigé c'est quoi?

    3.Concernant l'intégrale. Et bien j'ai résolu l'équation différentielle

    $ f''+ 2 f' + f= h $

    La solution générale s'écrit "sol part+ sol équation homogène".

    Moralement trouver une solution particulière se fait par différentes techniques possibles.

    Transformée de Fourier, ou de Laplace. Ou encore plus directement, convolution avec une solution fondamentale.

    Bref dans tous les cas tu te retrouves avec un produit de convolution.
  • Résoudre l'ed me paraît la chose naturelle. Déjà parce que c'est à peu près la seule chose qu'on est capable de faire avec une expression du type A(f,f',f'') avec A linéaire, et parce que sans formule d'inversion on ne peut pas expliciter la norme.
  • Quand je relis ça
    OS a écrit:
    Dans le cours, il est expliqué que pour monter que $N_1$ n'est pas équivalente à $N_2$, il suffit d'exhiber une suite qui converge pour $N_2$ mais pas pour $N_1$.

    Oui on peut faire cela. Mais on peut faire autrement.
  • @JLapin
    On pose $f_n (x)=x^n$ pour $n \geq 2$

    Pour tout $x \in [0,1]$ on a $|x^n| \leq 1$ donc $\boxed{N_{\infty} (f_n) \leq 1}$

    $N(f_n)=N_{\infty} ( f_n '' +2f_n '+ f_n)$

    Posons $g_n (x)=f_n ''(x)+2 f_n '(x)+ f_n (x)=n(n-1) x^{n-2} + 2n x^{n-1} +x^n = x^{n-2} (x^2+2nx+ n(n-1))$

    On a $N_{\infty} (g_n )=2n+n^2-n \sim n^2$ donc $\boxed{N(f_n) \longrightarrow + \infty}$

    @Bisam
    Je n'ai pas trop compris l'idée.

    @Bd2017
    Ok je n'ai pas ces connaissances pour résoudre l'équation différentielle avec un second membre quelconque.

    Par contre je ne comprends pas la technique de prendre $x=1$, quel résultat du cours sur les normes on utilise ?

    Le corrigé prend $f_n (x)=x^2 \sin (2 \pi n x)$ et calcule aussi $f_n ''(1)+2f_n '(1) +f_n (1)$

    Pourquoi ce $f_n$ ? Et pourquoi calculer $f_n ''(1)+2f_n '(1) +f_n (1)$ :-S
  • La variation de la constante ?
  • Bon je ne vois pas de problème avec le corrigé. Une fois qu'on a un exemple on est content même si ce n'est pas le meilleur.

    Par contre on a l'évidence $|f_n(1)|\leq N_{_\infty} (f)$

    donc si $|f_n(1)|$ tend vers l'infini alors il en est de même pour $N_{_\infty} (f)$

    C'est tout de même dommage que tu ne vois pas cela.

    P.S Pour une solution particulière tu as utilisé Taylor-Lagrange avec reste intégral. ...
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