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Hyperplan dans un espace vectoriel normé

Bonjour,

Je bloque sur cet exercice.

Montrer qu'un hyperplan d'un espace vectoriel normé $E$ est soit un fermé de $E$, soit dense dans $E$.

Je sais que $H$ est dense dans $E$ si et seulement si l'une des trois conditions est respectée :

i) $E \subset \bar{H}$.
ii) Pour tout $x \in E$, pour tout $r>0$, il existe $y \in H$ tel que $||x-y|| \leq r$.
iii) Pour tout $x \in E$, il existe une suite d'éléments de $H$ qui converge vers $x$.

$H$ est un fermé si et seulement si la limite de toute suite convergente d'éléments de $H$ appartient à $H$.

Mais je n'arrive pas à utiliser ces propriétés pour résoudre l'exercice.
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Réponses

  • Le seul cas non trivial consiste à montrer que si f est une forme linéaire discontinue alors son noyau est dense.

    I) Si elle n’est pas continue alors elle n’est pas continue en zéro (a cause de la linéarité).
    2) Si elle n’est continue en zéro alors je peux trouver $x_n$ qui tend vers zéro telle que $ |f(x_n)|>a>0.$
    Ensuite je fixe $z$ et je pose
    $$
    y_n= z- \frac{f(z)}{f(x_n)} x_n.

    $$ Et on vérifie que $y_n\to z$ et que $z$ est dans le noyau de $f$.
  • Je n'ai rien compris.
  • Peux- tu donner la définition d'un hyperplan?
  • Oh ce qu'il peut m'énerver !

    Tu te rends compte que rien que d'essayer de comprendre les corrigés "qui sont du chinois" ça contribuerait à ce que tu ne sois plus le gros manche en maths ridicule qui tu es ?
    Je ne sais pas, étudie le corrigé longtemps, relis ton cours en parallèle si nécessaire, prends plusieurs heures s'il faut, mais fais un vrai effort quoi ! Comment on peut travailler autant sans jamais fournir un seul effort même en lisant le corrigé ?
    Si les maths sont si pénibles pour toi tu n'as qu'à t'installer à la plage et faire des pâtés de sable toute la journée.
  • Tu peux montrer la proposition suivante : si $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$, alors son adhérence $\bar{F}$ est aussi un sous-espace vectoriel de $E$.

    Connaissant la définition d'hyperplan, la réponse devient triviale..
    .
  • La proposition de Zig est de loin la plus simple.
  • Je n'ai pas encore étudié la continuité dans un espace vectoriel normé, c'est le chapitre suivant. C'est pour cela que je ne comprends pas l'indication de psychcorse.

    @RLC
    Dans mon livre, l'exercice est étoilé ce qui signifie que les auteurs le jugent difficile.

    @Zig ok merci je vais essayer de le démontrer.
  • Un hyperplan est le noyau d'une forme linéaire non nulle... Autrement dit, c'est un sev de E. D'ailleurs, qu'est-ce qu'une forme linéaire ?
  • Mais je m'en tape que ton précieux livre ou le rapport du jury le trouver dur ! A quel moment j'ai parlé de ça ?
    Je te dis juste de te bouger pour comprendre un corrigé seul pour une fois.
  • Je n'ai pas regardé de corrigé pour l'instant.
  • @Zig

    Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$. Montrons que $\bar{F}$ est un sous-espace vectoriel de $E$.

    Soient $(a,b) \in \K^2$ et $(x,y) \in \bar{F}^2$. Il existe des suites $(x_n)$ et $(y_n)$ d'éléments de $F$ qui convergent vers $F$ de sorte que $x_n \longrightarrow x$ et $y_n \longrightarrow y$.

    Ainsi, $a x_n +b y_n \longrightarrow ax+by$

    Or la suite $(ax_n+by_n)$ est une suite d'éléments de $F$ car $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$, elle converge vers $ax+by$.

    Donc $ax+by \in \bar{F}$

    Par ailleurs, $0 \in F \subset \bar{F}$, ce qui conclut la démonstration.

    @Julian
    Une forme linéaire est une application linéaire de $E$ dans $\K$.

    @Bd2017
    Un hyperplan $H$ est un sous-espace vectoriel de codimension $1$. Si $a \notin H$, alors on a $E=H \oplus Vect(a)$

    C'est le sous-espace vectoriel de dimension maximale inclus dans $E$ et non égal à $E$.
  • Justement c'est la définition que tu donnes qui pose problème.
    Os a écrit:
    C'est le sous-espace vectoriel de dimension maximale inclus dans E et non égal à E.

    Je ne comprends pas bien cette définition. En particulier la terminologie "dimension maximale," peux tu l'expliquer?

    Et l'emploi de l'article défini "le". Il n'y a qu'un seul hyperplan dans un e.v.n E?

    P.S je n'ai pas vu le message de @Zig , tu peux dialoguer avec lui...
  • OShine, ok, pour ma partie (même si la dernière ligne n'est pas nécessaire..)
    Donc pour finir ? Si F est inclus strictement dans son adhérence, alors ...
    sachant qu'un hyperplan est une élément maximal pour l'inclusion (et non pour la dimension...) parmi les sous-espaces stricts..
    .
  • Je ne comprends pas pourquoi on regarde l'inclusion stricte dans l'adhérence.

    Je ne vois pas le lien avec ce qu'on veut montrer.

    Si E est de dimension n alors H est de dimension n-1. C'est la dimension maximale strictement inférieure a la dimension de E.
  • Tu n'es pas en dimension finie ! Un hyperplan est défini comme un sous-espace vectoriel propre maximal au sens de l'inclusion et tu as $H \subset \overline{H}$. Il n'y pas beaucoup de cas possibles...
  • OShine, cet exercice a de la valeur en dimension infinie, car en dimension finie les sous-espaces sont toujours fermés.
    Je te redonne donc cette définition (ou propriété caractéristique) de la notion d'hyperplan, valable dans tous les cas :
    L'ensemble des sous-espaces stricts d'un espace vectoriel possède des éléments maximaux (pour l'ordre induit par l'inclusion); ces éléments sont appelés hyperplans.

    Pas suite, l'exercice est fini, car ou bien F est égal à son adhérence, et donc est fermé, ou bien il est strictement inclus dans son adhérence, qui est un sous-espace et ne peut qu'être égale à E tout entier par le caractère maximal de F.
    .
  • @Zig : Il n'y a pas besoin de savoir qu'il existe des hyperplans pour répondre à l'exercice. Dommage aussi de donner la dernière étape à OShine, à qui on a déjà tout donné pour résoudre l'exercice...
  • @Poirot oui c'est exact j'ai craqué..
  • Question concrète.

    Soit $E=L^{2}([0,1])$ muni de la norme $|| . ||_2$ et $F={\cal C}([0,1])$ (espace des fonction continues sur $[0,1]$ )

    $F $ est-il un hyperplan de $E$ ?
  • Tu poses la question à OShine ou à tout le monde bd2017 ? D'autant que je doute qu'OShine connaisse la définition de $L^2([0, 1])$...
  • Je pose la question à @Oshine. En fait il s'attaque aux hyperplans en dimension infinie. Je ne sais pas mais au moins il devrait avoir dans sa besace quelques exemples pour ne pas travailler dans le vide.


    P.S Alors je change d'exemple Soit $E={\cal C}([0,1]) $ muni de la norme de la C.V.U.

    Soit $F$ le s.e.v constitué des fonctions polynomiales.
    Même question : $F$ est-il dense dans $E $, est-il un hyperplan de $E$ ?
  • Je pense que tu y vas un peu fort pour les exemples, ça m'étonnerait qu'il sache répondre à ces questions.

    On pourrait commencer avec $\mathbb R[X]$ et $\{P \in \mathbb R[X] \mid \exists n \in \mathbb N^*, \exists a_1, \dots, a_n \in \mathbb R^n, P = \sum_{k=1}^n a_n X^n\}$.
  • Oui @Poirot c'est mieux pour @Os; qu'il commence par ton exemple.
  • Personnellement j'aimerais bien qu'OShine détaille ce passage dans sa démonstration :
    OShine a écrit:
    Or la suite $(ax_n+by_n)$ est une suite d'éléments de $F$..., elle converge vers $ax+by$.

    OShine est-ce que tu arrives à détailler cette partie, c'est-à-dire à démontrer rigoureusement que la suite $(ax_n+by_n)$ converge vers $ax+by$ ?
  • C'est quand même rigolo ce résultat, on a l'impression intuitivement que les hyperplans sont d'intérieur vide.
  • RLC, c'est parce qu'ils le sont effectivement ! :)
    .
  • @RLC : Un sous-espace strict d'un EVN est toujours d'intérieur vide, ça n'a pas grand-chose à voir avec son éventuelle densité ou fermeture.
  • J'ai mal choisi mon terme, je le pensais plutôt "géométriquement" que "topologiquement".
    Mais en gros je voulais dire dans le sens où on s'imagine une feuille de papier très fine dans tout l'espace. Même si ce n'est que le cas fermé c'est bizarre de concevoir qu'un hyperplan puisse être dense. L'algèbre linéaire réserve bien des pièges hors de la dimension finie...
  • Dans un groupe topologique, tout sous-groupe d'intérieur non vide est à la fois ouvert et fermé. Ainsi si le groupe est connexe, tout sous-groupe strict est d'intérieur vide.
    Application : tout sous-espace strict d'un espace vectoriel normé est d'intérieur vide, y compris les hyperplans.
  • Je n'ai pas compris le raisonnement de Zig de toute façon et je ne vois pas trop la logique du raisonnement.

    Je n'ai jamais vu cette définition d'un hyperplan est-elle au programme de MP ?
  • Si tu prends comme définition Hyperplan = noyau d'une forme linéaire alors la démonstration de @psychcorse suffisamment claire.
    1. Si la forme linéaire est continue $H=f^{-1}(0)$ est un fermé car image réciproque de .....
    2. voir @psychcorse

    Sinon soit $H$ un hyperplan (i.e un s.e.v strict de $E$ maximal pour l'inclusion)
    Si $H$ n'est pas un fermé alors que dire de $\bar{H}$ ...
  • Je ne sais pas si elle est au programme de MP/L2 mais en soi, elle n'est pas si contre-intuitive que ça.

    Il est toujours possible d'inclure un sous-espace vectoriel dans un sous-espace plus grand en ajoutant un vecteur indépendant. Concrètement, si $F$ est un SEV et $v \notin F$, alors $F + Vect(v)$ est un SEV qui contient $F$. Ben, un hyperplan, c'est juste un SEV auquel on ne peut rien rajouter sans obtenir l'espace complet. Donc c'est un sous-espace strict, mais maximal pour l'inclusion : dès qu'on l'inclut dans un SEV strictement plus grand, ce SEV plus grand est l'espace entier.
  • Je suis d'accord que c'est évident algébriquement, mais pas avec un dessin.
  • BD2017 je n'ai pas de connaissance sur la continuité dans un espace vectoriel normé.

    Homo Topi
    Ok.

    A quoi ça sert de montrer que l'adhérence de H est un sous-espace vectoriel ?
  • Bd2017

    Si H n'est pas fermé alors H n'est pas égal à son adhérence.

    Mais comment sais-tu qu'on doit supposer H non fermé ?

    C'est quoi comme type de raisonnement logique ? On veut montrer A ou B.
  • Os a écrit:
    BD2017 je n'ai pas de connaissance sur la continuité dans un espace vectoriel normé.
    Là, tu m'énerves sérieusement. Tu ne sais pas ce qu'est une fonction continue?
    Os a écrit:
    A quoi ça sert de montrer que l'adhérence de H est un sous-espace vectoriel ?
    Là aussi, ça sert à répondre à ta question.
  • Je ne connais que la continuité dans le corps des réels et des complexes.
  • @OShine : Une bonne fois pour toute, quelle est ta définition d'un hyperplan d'un espace vectoriel général (sous-entendu, potentiellement de dimension infinie) ?
  • OShine : c'est dommage de ne pas avoir de connaissances sur la continuité dans un EVN, puisque c'est une notion centrale.

    Simple question (je ne juge pas) : tu veux apprendre "mécaniquement" un programme, en faisant confiance que le programme est bien conçu, ou tu veux apprendre une théorie mathématique et à manier ses objets ? Moi, personnellement, je suis dans le second cas, les programmes scolaires/universitaires s'arrêtent souvent avant de creuser des choses intéressantes.

    Si tu veux absolument apprendre un programme d'études, tu peux zapper le paragraphe suivant. Si tu veux/veux essayer mon approche à moi, lis-le.

    Pour faire "très" simple, en maths on commence toujours par mettre un cadre algébrique et topologique dans notre bazar. On travaille dans des structures algébriques (groupe, espace vectoriel, anneau...) et/ou topologiques (espace topologique abstrait, espace métrique...). Ces structures ont des morphismes qui sont associés, qui sont les applications qui "respectent" la structure (bonus : on est à deux doigts de faire de la théorie des catégories). Les morphismes de groupes etc, ça se reconnait au nom. Les morphismes d'espaces vectoriels, tu connais aussi, on appelle ça des applications linéaires. Et les morphismes d'espaces topologiques, on appelle ça des applications continues. Un espace vectoriel normé, c'est une structure algébrique et une structure topologique qui sont compatibles entre elles : les applications linéaires continues sont les morphismes d'EVN. Donc ce sont les applications linéaires continues qui sont importantes à savoir manier quand on s'intéresse aux EVN ! C'est très, très souvent grâce aux morphismes de structures qu'on apprend des choses sur ces structures.

    En dimension finie, toute application linéaire est continue (exercice : preuve ?).
  • Poirot, c'est la bonne question.
    Dans un espace vectoriel $E$ de dimension finie ou non, pour un sous-espace $F$, il y a équivalence entre :
    - le sous-espace $F$ est maximal, pour l'inclusion, dans l'ensemble des sous-espaces de $E$ autres que $E$ ;
    - le sous-espace $F$ est supplémentaire d'une droite vectorielle ;
    - le sous-espace $F$ est le noyau d'une forme linéaire non nulle.
    Un sous-espace qui satisfait à ces propriétés est un hyperplan. Cette définition ne nécessite pas de référence à la notion de dimension.
  • @Chaurien
    Je connaissais les deux dernières.
  • @Poirot

    Proposition (cours de MPSI) :

    Si $H$ est un sous-espace vectoriel de $E$, les propositions suivantes sont équivalentes :

    i) Il existe une droite vectorielle $D$ telle que $E=H \oplus D$.

    ii) Il existe une forme linéaire non nulle $\varphi$ telle que $H=\ker \varphi$

    On appelle hyperplan vectoriel de $E$ tout sous-espace vectoriel $H$ de $E$ vérifiant l'une de ces conditions.

    @Homo Topi
    On peut résoudre cet exercice sans utiliser la continuité dans un evn, sinon mon livre l'aurait mis dans le chapitre suivant.
  • Bien, alors sers-toi de i) pour montrer que $H$ est un sous-espace vectoriel strict de $E$, maximal pour l'inclusion, au sens où si $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ contenant $H$, alors $F=H$ ou $F=E$.

    Une fois ceci acquis, déduis le résultat de ton exercice du fait que $\overline{H}$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
  • Change de livre !
  • Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ tel que $H \subset F$.

    Supposons que $F \ne E$ et montrons que $F=H$.

    Comme $F \ne E$, alors $F \ne H+ D$. Après je bloque.
  • Tu ferais mieux de supposer $F \neq H$ et montrer que $F=E$. Prend $x \in F \setminus H$ et cherche ce que tu peux en faire (en restant actif, notamment en n'oubliant pas soudainement ce qu'est $H$...).
  • Supposons $F \ne H$. Montrons que $F=E$.

    Soit $x \in F \setminus H$. Comme $x \notin H$, alors les sous-espaces vectoriels $H$ et $Vect(x)$ sont supplémentaires.

    Ainsi, on a $\boxed{E=H \oplus Vect(x)}$.

    Mais $H \subset F$ et $Vect(x) \subset F$ car $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ donc stable par combinaisons linéaires.

    Par conséquent, on en déduit que $E=H \oplus Vect(x) \subset F$. Donc $E \subset F$.

    Comme $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$, on a $F \subset E$.

    Finalement, par double inclusion, on a montré que $\boxed{F=E}$.

    Pour revenir à l'exercice. Voici ma proposition.

    Soit $H$ un hyperplan.
    On suppose que $H$ n'est pas fermé et on veut montrer que $H$ est dense dans $E$, c'est-à-dire que $E \subset \bar{H}$.

    On sait que $H \subset \bar{H}$. Comme $H$ n'est pas fermé, on a une inclusion stricte.

    Mais $H$ est de dimension maximale pour l'inclusion, donc forcément $\bar{H}=E$ et $H$ est dense dans $E$.
  • Os a écrit:
    Je ne connais que la continuité dans le corps des réels et des complexes.

    C'est vrai que tu ne nous a jamais posé de questions sur les normes matricielles.
    Mais aussi, tu ne nous as jamais posé le problème de la continuité d'une fonction à 2 ou 3 variables.
    Bref tu t'es attaqué à des problème d'E.N.S et d'agrégation avec une faible connaissance de la continuité...
    En gros tu mets une norme sur un espace et tu en fais quoi ?
  • Je vais attaquer le chapitre sur la continuité, il me reste 2 exercices à faire avant.
  • Oui, mais quand ce n'est pas le rapport du jury, la notion qui te manque c'est dans le chapitre suivant.
    Ensuite avec une autre définition ça ne vas pas non plus car c'est pas au programme de classe prépa.

    Alors laisse tomber ta question. Tout se passe comme si tu voulais qu'on t'aide à changer le pneu de ta voiture mais sans cric et sans manivelle.
    Continue alors à rouler avec tes pneus crevés.
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