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Continuité à gauche pour fonction croissante

Soit $ f$ une fonction réelle croissante.
$f$ est continue à gauche sur $[a,b]$ ssi pour tout suite $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ dans $[a,b]$ on a
$$
\sup_{n\in\mathbb{N}}f(x_n)=f(\sup_{n\in\mathbb{N}}x_n).

$$ $f$ est continue à droite sur $[a,b]$ ssi pour tout suite $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ dans $[a,b]$ on a
$$
\inf_{n\in\mathbb{N}}f(x_n)=f(\inf_{n\in\mathbb{N}}x_n).

$$ Est-ce vrai ? Et pourquoi ?

Réponses

  • Quite à extraire, tu peux supposer ta suite croissante. Et le sup d'une suite croissante étant sa limite on tombe sur la caractérisation séquentielle.
  • Riemann_lapins_cretins
    Premièrement, $(x_n)$ est une suite quelconque, comment la supposer croissante ?
    Si on prend votre cas particulier on tombe à $ \lim f(x_n)=f(\lim x_n)$.
    Ce dernier nécessite la continuité de la fonction et non seulement la continuité à gauche.

    [Inutile de reproduire le message précédent. AD]
  • Premièrement, j'ai dit "quite à extraire".
    Vu qu'on travaille avec une suite croissante c'est bien la continuité à gauche qu'on caractérise.
  • Riemann_lapins_cretins
    pas toujours valable d'extraire une sous-suite croissante.
    exemple $u_n=1/n$ n'admet aucune sous-suite croissante.

    [Inutile de reproduire le message précédent. AD]
  • Je n'ai effectivement pas précisé le cas qui me semblait évident du sup atteint dans la suite.
  • Riemann_lapins_cretins
    Je n'ai pas compris.

    [Inutile de reproduire le message précédent. AD]
  • Reprends du début. Il y a toutes les idées dans ce fil, mais ça a été un peu mal formulé, je trouve.

    Tu connais la caractérisation séquentielle de la continuité : $f$ est continue en $a$ si pour toute suite $(a_n)_n$ de limite $a$, $(f(a_n))_n$ tend vers $f(a)$. En particulier, ici, on n'impose rien sur la variation de la suite $(a_n)_n$, comme ça on peut approcher $a$ en abscisse des deux côtés et garantir la continuité en $a$ des deux côtés.

    Toi, ici, ce n'est que d'un côté que ça t'intéresse. Pour la continuité à gauche, par exemple, tu veux que si $(a_n)_n$ tend vers $a$ "par la gauche" (sur l'axe des abscisses du graphe de $f$), alors $(f(a_n))_n$ tend vers $f(a)$ en ordonnée. Fais un dessin, ça se voit tout de suite. Bon, donc, si $(a_n)_n$ doit tendre vers $a$ "par la gauche" sur l'axe des abscisses, c'est que $(a_n)_n$ doit être une suite croissante ! Et une suite croissante qui converge, elle converge vers sa borne sup, d'où ta caractérisation.

    Pour la droite, évidemment, c'est pareil mais dans l'autre sens : la suite est prise décroissante pour approcher $a$ par la droite, donc sa limite est sa borne inf.
  • On est d'accord que ton contre-exemple vérifie bien ton énoncé (f(sup) = sup(f)) et que c'est complètement évident ?
    Toutes les autres suites desquelles on ne peut pas extraire de sous-suite croissante atteignent leur maximum et la preuve est immédiate dans ce cas.
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