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Relier une solution "continue" à "discrète"

Bonjour,

Juste par simple curiosité je voulais savoir si on pouvait passer de solutions "discrètes" à des solutions "continues" et vice-versa mais je n'y arrive pas vraiment et j'aimerais vous demander s'il y a une règle générale.
J'ai commencé par l'équation suivante : $y.y'=x$, pour simplifier je prends le cas de fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, et notons $X$ une primitive de $x$. On a alors $\frac{1}{2}y^{2}=X+c$. Pour qu'une telle solution existe il faut que $X(t)+\frac{1}{2}y(0)-X(0)>0$ pour tout $t$. Disons que notre fonction $X$ est telle qu'il existe des $y_{0}$ pour lesquels cette condition est vraie. En choisissant un tel $y(0)$ on obtient donc une solution à l'équation.

Prenons maintenant l'équivalent "discret" de cette équation différentielle, ce qui donne $y_{t}y_{t-1}=x_{t}$. Si on venait à appliquer les mêmes changements pour passer du continu au discret à la solution précédente on a $\frac{1}{4}y^{2}_{t}y^{2}_{t-1}=(X_{t}+c)(X_{t-1}+c)$. Je vois mal comment relier ça à une solution de l'équation discrète.

Si ça se trouve $y_{t}y_{t-1}=x_{t}$ n'est pas l'équivalent discret de l'équation différentielle $y.y'=x$ et c'est pour cela que j'aimerais vous demander s'il y a des règles générales pour le passage du continu au discret et qui permettent de retrouver une solution à partir de l'autre.

Merci d'avance.

Réponses

  • Bonsoir.

    Ce n'est qu'une suggestion, mais je partirais plutôt de $y_t (y_t-y_{t-1}) = x_t$

    À bientôt.

    Cherche livres et objets du domaine mathématique :

    Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.

  • La dérivée étant une variation, l'analogue discret de ton équation est plutôt du type de celle suggérée par Dreamer, avec variantes possibles telles $y_t(y_{t+1}-y_t)=x_t$ ...

    Une fois, au détour d'un référé d'un article, je suis tombé sur les échelles de temps (time scale en anglais), un certain M. Bohner a rédigé des articles / bouquins là dessus. Il s'agit d'un cadre assez général, comprenant comme cas particuliers les mondes discrets et continu, ainsi que des mélanges d'iceux (on peut imaginer une évolution continue avec des sauts ponctuels).

    Ce cadre général se fait au prix d'une lourdeur certaine du formalisme (j'ai le souvenir que pour comprendre ce qui joue le rôle de l'exponentielle ou de la puissance, il faut y passer un temps certain), mais peut-être que ce cadre permettrait de mieux entrevoir le passage, avec éventuellement une échelle de temps qui serait "dynamique".

    EDIT : j'ai remplacé continu par discret
  • Bonjour,

    Merci pour vos réponses, vous avez bien raison par rapport à la différence.
    Je vais chercher les articles et livres de M. Bohner, merci pour les suggestions.
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