Prouver une inégalité avec $\ln$ — Les-mathematiques.net The most powerful custom community solution in the world

Prouver une inégalité avec $\ln$

Étant donnée la fonction f d'expression f(x) = (2x+1) (ln(x+1) - ln(x)) - 2. Avec x > 0.
Comment montrer que 0 < f (x) < (1/6) * (1 / ( x (x+1))) ?

Je pensais montrer en deux étapes:0 <f (x) puis f (x) < (1/6) * (1 / ( x (x+1))).

1ère inégalité.
Par l'étude du signe de différences, je n'arrive pas à m'en sortir...
J'ai calculé f '(x) = 2ln (1+ 1/x ) - (2x+1) * (1/ ( (x+1) *x).
Signe de la dérivée de f ? à cause du moins, je suis bloqué.
Par des équivalents ?

2ème inégalité.
Je pose : g(x) = x(x+1) * f(x) et j'aurais aimé prouver que g(x) < 1/6 .
Mais comment ?
Merci d'avance pour votre aide.

Réponses

  • Bonjour
    pour le 1.
    Ce que tu peux faire c'est dériver encore.
    En effet $f''(x)=\frac{1}{x^2 (x+1)^2}>0$

    De même si tu poses $g(x)=\frac{1}{x(x+1)}$

    $g''(x)-f''(x)=\frac{1}{3 x^3 (x+1)^3}>0$

    Donc tu as la croissance de la dérivée et tu peux obtenir son signe facilement .

    On peut peut être faire autrement mais je n'ai pas regardé..
  • Pour la premiere en posant $y=\frac{1}{2}\log\frac{x+1}{x}>0$ on atterrit sur $\mathrm{th}(y)<y.$
  • Merci.
    Calculs longs et techniques mais les tableaux de variations se font assez facilement.
  • Je n'arrive pas à faire le lien entre l'idée du th et l'inégalité demandée.

    Merci quand même; cela permet de revoir les fonctions hyperboliques...
  • Allons donc. Puisque $x=\frac{1}{e^{2y}-1}$ il vient
    $$
    (2x+1) \log \frac{x+1}{x}-2=2\Big(\frac{e^{2y}+1}{e^{2y}-1}y-1\Big)=2\Big(
    \frac{y}{\mathrm{th}y}-1\Big)$$
  • Astucieux, j'en conviens.
    Je n'aurais pas pensé à poser y = (1/2) ln(1+1/x).


    Merci.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Success message!