Polynômes de Tchebychev

Bonjour,

Afin de vérifier que j'ai bien le niveau collège-lycée je tente ces 5 premières questions de Centrale MP maths 2 2021. Beaucoup de récurrences pour vérifier si je maitrise le niveau lycée (:P)

Question $1$ :
Montrons par récurrence double sur $n$ que $\deg \ T_n =n$.
On a $\deg \ T_0=0$ et $\deg \ T_1=1$ donc la propriété est vraie aux rangs $n=0$ et $n=1$.
Supposons que la propriété soit vraies aux rangs $n$ et $n+1$.

On a $\deg \ T_{n+2}=\deg (2X T_{n+1}-T_n)=\max( \deg \ T_{n+1}+1, \deg \ T_n)=\max(n+2,n)=n+2$

On a démontré par récurrence que $\boxed{\forall n \in \N \ \ \deg \ T_n =n}$

La famille $(T_k)_{0 \leq k \leq n}$ est échelonnée en degré, elle est donc libre. Par ailleurs, $card ((T_k)_{0 \leq k \leq n})=n+1= \dim_{\C} \C_n[X]$. La famille $(T_k)_{0 \leq k \leq n}$ est donc une base de $\C_n[X]$.

Question $2$ :
Montrons par récurrence double sur $n$ que $T_n(\cos \ \theta)=\cos(n \theta)$.
On a $T_0( \cos \theta)=1= \cos (0)$ et $T_1( \cos \theta)=\cos( \theta)$ donc la propriété est vraie aux rangs $n=0$ et $n=1$.
Supposons que la propriété soit vraies aux rangs $n$ et $n+1$.

On a $T_{n+2}( \cos \theta)=2 \cos \theta T_{n+1} ( \cos \theta )-T_n( \cos \theta)$

Donc $T_{n+2}( \cos \theta)=2 \cos \theta \cos ((n+1) \theta)- \cos (n \theta)$

Or, $\forall (a,b) \in \R^2 \ \ \cos a \cos b=\dfrac{1}{2} (\cos(a+b)+ \cos(a-b))$

D'où $T_{n+2}( \cos \theta)=\cos( \theta+(n+1) \theta)+ \cos( (n+1) \theta- \theta)- \cos (n \theta)$

Enfin $T_{n+2}( \cos \theta) = \cos ((n+1) \theta)$

On a démontré par récurrence que $\boxed{\forall n \in \N \ \ T_n( \cos \theta)= \cos( n \theta)}$

Question $3$ :
Soit $P \in \C_n[X]$. D'après la question $1$, la famille $(T_k)_{0 \leq k \leq n}$ est une base donc à fortiori une famille génératrice de $\C_n[X]$, ainsi, il existe $(a_0, \cdots, a_n) \in \C^{n+1}$ tels que :

$P(X)= \displaystyle\sum_{k=0}^n a_k T_k (X)$ donc $P( \cos \ \theta)=\displaystyle\sum_{k=0}^n a_k T_k (\cos \ \theta)$

La question précédente fournit $P( \cos \ \theta)=\displaystyle\sum_{k=0}^n a_k \cos( k \theta)$

Enfin, $\boxed{P( \cos \ \theta)=a_0 +\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k \cos( k \theta)}$ ce qui permet de conclure.

Question $4$ :
Déterminons $\sup_{x \in [-1,1]} |T_n(x)|$

Je n'ai pas réussi.

Question $5$ :
Montrons par récurrence sur $n$ que $\forall \theta \in \R \ |\sin(n \theta)| \leq n | \sin \ \theta|$
C'est évident pour $n=0$.

Supposons la propriété vraie au rang $n$ fixé. On a :

$$ |\sin((n+1) \theta)|=| \sin (n \theta + \theta)= |\sin(n \theta) \cos( \theta)+\sin( \theta) \cos (n \theta)| \\
\leq |\sin(n \theta)| +| \sin( \theta)| \\
\leq (n+1) |\sin( \theta) |

$$ On a démontré par récurrence $\boxed{\forall n \in \N \ \forall \theta \in \R \ |\sin(n \theta)| \leq n | \sin \ \theta|}$

En dérivant la relation de la question $2$ on a $\forall \theta \in \R \ \sin( \theta) T_n '( \cos \ \theta)= n \sin (n \ \theta)$

Donc $|\sin( \theta) T_n '( \cos \ \theta)| = n | \sin (n \ \theta) | \leq n^2 | \sin \ \theta |$

Ainsi $\boxed{\forall \theta \in \R \ \ |\sin( \theta) | \times |T_n '( \cos \ \theta)| \leq n^2 | \sin \ \theta |}$

Après je bloque comme pour la question $4$.126532
«13

Réponses

  • Une énormité, un blocage à deux questions faciles, des termes inventés comme "récurrence double" qui désignent autre chose que ce dont tu parles, une introduction à faire le malin, et une formule qu'on sait tous cherchée sur internet et non retrouvée rapidement au brouillon...

    Mon verdict : coupable
  • @RLC
    Je sais démontrer que $\cos(a) \cos(b)= \dfrac{1}{2} ( \cos(a+b)+ \cos(a-b)$.
    J'avais fait un travail dessus au début de mon apprentissage, il suffit d'écrire les formules de $\cos(a+b)$ et $\cos(a-b)$ et de les additionner.
    Je sais comment retrouver les formules de trigo. Je n'ai appris que $\cos(a+b)$ et $\sin(a+b)$.

    Pour la question $4$, je pense qu'il suffit de majorer $|T_n(x)|$ pour $x \in [-1,1]$.

    On a $\boxed{\forall \theta \in \R \ |T_n( \cos \ \theta)|= | \cos (n \theta)| \leq 1}$

    Soit $x \in [-1,1]$. Montrons que l'application $f : \R \longrightarrow [-1,1] \\ \ \ \ \ \ \theta \mapsto \cos( \theta)$ est surjective.

    $f$ réalise une bijection strictement décroissante de $[0,\pi]$ sur $[-1,1]$. Donc, pour tout réel $x \in [-1,1]$, il existe $\theta \in [0,\pi]$ tel que $x= \cos( \theta)$.

    Ainsi, $\forall x \in [-1,1] \ |T_n(x)|=|T_n( \cos \ \theta)| \leq 1$

    Donc $\sup_{x \in [-1,1]} |T_n(x)| \leq 1$. Montrons que la borne supérieure est atteinte.

    On a $T_n(1)=T_n( \cos( 0) ) =\cos (\dfrac{n \times 0}{2})=1$

    On a montré $\boxed{ ||T_n||_{L[-1,1]}=1}$
  • Pour la question $5$ :

    On a $\cos (\theta)= \pm 1$ si et seulement $\sin \ \theta=0$.

    Pour $x= \cos( \theta) \notin \{-1,1 \}$ on a $|T_n '( \cos \theta) | \leq n^2$

    Par contre je bloque pour montrer que la borne supérieure est atteinte.
  • @ OShine : j'ai juste lu ton début ; tu sembles (dans la question 1) penser que ${\rm deg}(P-Q)=\max \{ {\rm deg}(P),{\rm deg}(Q)\}$. C'est en général faux. As-tu un contre-exemple, et saurais-tu expliquer pourquoi dans ce cas c'est vrai ?
  • Tiens, je viens de voir une autre énormité au passage.
  • Bonjour.

    Nous n'avons pas la même acception de "niveau collège-lycée".

    À bientôt.

    Cherche livres et objets du domaine mathématique :

    Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.

  • Pour vérifier qu'on a le niveau collège-lycée, faire des sujets de lycée suffit. Mais évidemment les faire sans une seule erreur. Ce premier message, c'est de la frime inintelligente.
  • Pour la Q5, tu as calculé une expression explicite de la dérivée $T'_{n}(\cos \theta)$, cela peut être utile.
  • @maths2

    Si $P(X)=Q(X)=1$ alors $\deg(P-Q)=- \infty$ alors que $\max (\deg P,\deg Q)=\max(0,0)=0$.

    Si $\deg \ P \ne \deg \ Q$ alors $\deg( P-Q)=\max (\deg P,\deg Q)$

    On a $\boxed{\forall (\lambda,\mu) \in \C^2 \ \forall (P,Q) \in \C_n[X] \ \deg(\lambda P+ \mu Q) \leq \max(\deg P,\deg Q)}$

    @Polka
    Si $\theta \not\equiv 0 [\pi]$ alors $\boxed{|T_n '( \cos \theta) |= \dfrac{ n |\sin( n \theta) |}{ |\sin \theta |}}$
  • Je dois trouver pour quelle valeur de $\theta$ la borne supérieure est atteinte, je n'ai pas trouvé pour l'instant.
  • Bon courage, je ne sais pas si tu le trouveras ce theta :-D

    Ce n'est pas encore bien maîtrisé les bornes sup Oshine...

    Bref sur le premier message je mettrais 8/20 à Oshine pour les 5 questions. Suffisant pour le CAPES mais pas assez pour être admissible à Centrale Marseille :-D
  • Bonjour
    @Oshine tu nous donnes ici un sujet que as déjà posé il y a un certain temps.:-X
  • Je suis d'accord avec ta réponse à ma question, il manquait une justification dans ton argumentation.

    Sinon, avec ta formule, on a une idée de combien vaut $|T'n(1)|$ ?
  • Bd2017 oui mai les parties sont indépendantes.

    Je pense maîtriser la notion de borne supérieure.

    Je réfléchis encore a la question 5.
  • Relis ta réponse à la question 3 s'il te plaît.

    La 5 n'est pas dure, tu as fait le plus délicat. Encore une fois on voit le manque de culture mathématique, étant donné qu'avec un quotient de sinus il y a une chose qu'on est supposé avoir envie de faire parce qu'elle s'arrange bien...
  • Si tu réflechis à mon sinon, la question 5 est pliée en 15s. RLC te le dit autrement et d'ailleurs de manière plus naturelle
  • O shine, une relation entre sin(nx) et nx en valeur absolue cela ne te dit rien ? Indice: iaf
  • IAF pour celles et ceux qui connaissent.
  • 0 ouvert, 1 fermé..... 0 est il un plus petit élément ou une borne inférieure ? (abus de langage)

    Bien à toi
  • Pour la 5, cherchons d'abord la limite en $0$ de $\ \dfrac{\frac{\sin(n\theta)}{n\theta}}{\frac{\sin(\theta)}{\theta}}. \ $ À mon époque, c'était accessible à un élève de première.
  • Je réponds pour lui: c'est 1.pourquoi?
  • Julian, au vu des messages de RLC et de math2, je pense que l'idée n'était pas que tu trouves la réponse. Je suis même à peu près certain que tous les intervenants savent répondre aux cinq questions sans trop d'hésitation :-)

    PS: Il faut en prime qu'OShine re-regarde sa réponse à la question 3, cf supra.
  • Pour la limite en $0$ on a pour $n$ fixé et $\theta$ au voisinage de $0$ :

    $ \dfrac{n \sin (n \theta) }{ \sin \theta} \sim n^2$ car $\sin x \sim x$ au voisinage de $0$.

    La limite vaut $1$. On a $\boxed{\lim\limits_{\theta \rightarrow 0} T_n '( \cos \theta)=n^2}$ mais je ne vois pas comment en déduire $T_n '(1)$.

    Pour la question $3$ j'ai corrigé ma coquille. En effet, c'était une grosse bourde ::o
  • Il manque le cosinus.
  • Oui merci.
  • Et bien $T'_n(1)=n^2$ (évident )....Voir justification de ton corrigé.
  • Étant donné que c'est OShine : quelle propriété permet passer de $Tn'(\cos{t}) \rightarrow n^{2}$ à $Tn'(1) = n^{2}$ ?
  • @Bd2017

    Je n'ai pas eu besoin de regarder un corrigé pour faire ces questions. D'ailleurs c'est inutile de lire des corrigés et on m'a répété ici mille fois d'arrêter de lire des corrigés. Je regarde le corrigé quand je suis bloqué depuis 5 jours sur une question. Or j'ai commencé l'exercice que hier.

    On voit avec ces 5 questions élémentaires que mes connaissances ne sont pas encore très solides. Quelques imprécisions.

    @RLC
    L'unicité de la limite.

    On a $\lim\limits_{\theta \rightarrow 0} \cos \theta =1$ puis $\lim\limits_{u \rightarrow 1} T_n '(u)=T_n '(1)$ car l'application $x \mapsto T_n '(x)$ est une fonction polynomiale de classe $C$ infinie donc continue en $1$.

    Par composition de limite, on en déduit $\lim\limits_{\theta \rightarrow 0} T_n '( \cos \ \theta) =T_n'(1)$

    Enfin $\boxed{T_n '(1)=n^2}$

    Et finalement $\boxed{||T_n '||_{\infty} =n^2}$

    Je vais peut être m'essayer à la suite de cette partie pour tester mes connaissances sur les fractions rationnelles.
  • C'était surtout la continuité l'argument.
  • Voici la suite sur l'inégalité de Bernstein.

    Technique cette question $6$, j'ai mis 40 minutes à la rédiger. Que pensez-vous de ma rédaction ?

    Question 6 :
    Soit $A \in \C_{2n}[X]$ et $B \in \C_{2n-1}[X]$.

    Notons $F(X)=\dfrac{B(X)}{A(X)}$ qui est une fraction rationnelle. On sait que $A(X)=\displaystyle\prod_{k=1}^{2n} (X- \alpha_k)$ et $\boxed{\deg(B) < \deg(A)}$. Ainsi, $\deg F <0$ et les pôles de $F$ sont tous simples.

    Il existe $(\beta_1, \cdots, \beta_{2n}) \in \C^{2n}$ tels que $F(X)=E(X)+\displaystyle\sum_{k=1}^{2n} \dfrac{ \beta_k}{X-\alpha_k}$ où $E(X)$ est le quotient de la division euclidienne de $B(X)$ par $A(X)$.

    Comme la fraction rationnelle est de degré strictement négatif, on a :$E(X)=0$.

    Ainsi, $\exists (\beta_1, \cdots, \beta_{2n}) \in \C^{2n} \ \ F(X)=\displaystyle\sum_{k=1}^{2n} \dfrac{ \beta_k}{X-\alpha_k}$

    On a $F(X)= \dfrac{B(X)}{ (X-\alpha_k) Q_1}$ où $Q_1$ est un polynôme n'admettant pas $\alpha_k$ pour racine.

    Soit $k \in [|1,2n|]$.
    On cherche $\beta_k$ tel que $F(X)=\dfrac{ \beta_k}{X-\alpha_k} + F_0$ où $F_0$ est une fraction rationnelle qui n'admet pas $\alpha_k$ pour pôle.
    On obtient $ \dfrac{B(X)}{Q_1(X)}=\beta_k +F_0(X)$. En substituant $\alpha_k$ à $X$, on trouve $\beta_k= \dfrac{ P(\alpha_k)}{Q_1(\alpha_k)}$

    On remarque que $F(X)=\dfrac{B(X)}{A(X)}=\dfrac{B(X)}{(X-\alpha_k) Q_1}$

    Donc $A(X)=(X-a) Q_1(X)$ et en dérivant on obtient $A'(X)=(X-a) Q_1 '(X)+Q_1(X)$

    On en déduit que $\boxed{ \forall k \in [|1,2n|] \ \ \beta_k = \dfrac{B(\alpha_k)}{A'(\alpha_k)}}$

    D'où $\forall B \in \C_{2n-1}[X] \ \ \dfrac{B(X)}{A(X)}=\displaystyle\sum_{k=1}^{2n} \dfrac{ \dfrac{B(\alpha_k)}{A'(\alpha_k)}}{X-\alpha_k}$

    Finalement $\boxed{\forall B \in \C_{2n-1}[X] \ \ B(X)=\displaystyle\sum_{k=1}^{2n} \dfrac{B(\alpha_k) A(X)}{(X-\alpha)^k A'(\alpha_k)}}$126568
  • Question $7$ :

    $P_{\lambda}(1)=P(\lambda)-P(\lambda)=0$ donc $1$ est racine de $P_{\lambda}$ donc $X-1$ divise $P_{\lambda}$.

    Question $8$ :

    Je n'ai pas trouvé je ne vois pas du tout :-S
  • Tout ton truc de fractions rationnelles ne sert à rien. Ton seul argument utile c'est l'évaluation en les $\alpha_{k}$ que tu aurais pu faire directement sur les deux expressions.
    Mais bon, c'est pas mal.

    Tiens d'ailleurs, cette question 6 ne te rappelle rien ?
  • La question $6$ c'est le cours de MPSI sur les fractions rationnelles. Mais sinon ça ne me rappelle rien de particulier.
  • Mais non, je t'ai dit que les fractions rationnelles on s'en foutait. Allez cherche encore, montre que tu as un peu de recul sur ce qu'on voit en première année.

    Pour la 8 isole $P(\lambda X)$ dans l'expression de Q et dérive. C'est tout.
  • Pour la question 8, plus simplement, tu fais tendre $x$ vers $1$ dans l'expression de $Q_{\lambda}(x)$ en reconnaissant un taux d'accroissement. C'est du niveau Première, et pas première année post-bac...

    Pour la question 6, pour montrer l'égalité de deux polynômes de degré strictement plus petit que $2n$, il suffit de montrer l'égalité en $2n$ valeurs distinctes.
  • Question $8$ :

    On a $Q_{\lambda}(x)=\dfrac{P(\lambda x)- P(\lambda)}{x-1}$

    On a $\lim\limits_{x \rightarrow 1} Q_{\lambda}(x)= \lim\limits_{x \rightarrow 1} \dfrac{P(\lambda x)- P(\lambda)}{x-1}$

    L'application $f : x \mapsto P(\lambda x)$ est dérivable sur $\R$ donc $\lim\limits_{x \rightarrow 1} Q_{\lambda}(x) = f'(1)$

    Or $\forall x \in \R \ f'(x)=\lambda P'(\lambda x)$

    Enfin $\lim\limits_{x \rightarrow 1} Q_{\lambda}(x)= \lambda P'(\lambda)$

    La limite étant finie, $Q_{\lambda}$ est continue en $1$ et $\boxed{Q_{\lambda}(1)=\lambda P'(\lambda)}$

    Pour Q6, je n'y arrive pas avec l'autre méthode. Le polynôme $\displaystyle\sum_{k=1}^{2n} \dfrac{B(\alpha_k) A(X)}{(X-\alpha_k) A'(\alpha_k)}$ n'est pas défini en $\alpha_k$ je ne vois pas comment je pourrais l'évaluer.
  • Un polynôme qui n'est pas défini quelque part ? Tu n'as encore une fois pas compris ce que tu écris.
  • Le pire, c'est que c'est EXACTEMENT la même méthode que celle qu'il vient d'appliquer !
  • @Poirot
    En effet (tu)

    Je ne vois pas comment faire avec la deuxième méthode pour la question 6.

    Par contre la question 9 m'a l'air facile. Il suffit de résoudre dans $\C$ l'équation $X^{2n}=-1=e^{i \pi}$.
  • @Oshine a écrit:
    Finalement $\boxed{\forall B \in \C_{2n-1}[X] \ \
    B(X)=\displaystyle\sum_{k=1}^{2n}
    \dfrac{B(\alpha_k) A(X)}{(X-\alpha)^k
    A'(\alpha_k)}}$

    ?
  • Le polynôme $h_k(X)=\dfrac{A(X)}{X-\alpha_k}$ vérifie $h_k(\alpha _k)=$ quoi?
  • Ou plutôt, es-tu capable de trouver un polynôme le plus simple possible valant 1 en $\alpha_{k}$ et 0 en les autres $\alpha_{i}$ ?
    Une fois le lien avec le problème fait repense à ma question : ça ne te rappelle vraiment rien ?
  • Bon je crois @Os qu'@Os n'a pas vu que

    $h_k(X)=\dfrac{A(X)}{X-\alpha_k}=\dfrac{A(X)-A(\alpha_k)}{X-\alpha_k}$

    car $A(\alpha_k)=0$

    Ainsi $h_k(\alpha_k)= \lim_{X\rightarrow \alpha_k}\dfrac{A(X)-A(\alpha_k)}{X-\alpha_k}=A'(\alpha_k) $

    Donc quand on divise par $A'(\alpha_k)$ la quantité vaut 1.

    Et de plus, il faut voir que $h_k(\alpha_j)=0$ lorsque $j\neq k$

    Passons à la suite car tout ça c'est facile et j'aimerais voir ce qu'est l'inégalité de Bernstein.
  • Je reste toujours dubitatif devant tout ça.
    A une époque de sa vie, OShine alias Ramanujan s'est présenté à ces concours (ENS, etc etc), mais si je me souviens bien, il avait décidé d'y aller la fleur au fusil, sans préparation particulière, cool.
    Plantage.
    Maintenant, il n'a pas l'intention de se présenter à ces concours. Mais il s'y prépare, dur comme fer, il bosse, il révise, il cherche...

    Je vois ça comme une incohérence. Une de plus. Les raisonnements mathématiques de OShine sont incohérents. Ses choix de préparation, de travail sont incohérents. Tout est incohérent.

    C'est cohérent.
  • L'incohérence c'est qu'il a le corrigé.
    Le seul intérêt c'est le sujet ...Nous on ne lui apporte rien.....

    Après les vacances, j'ai cru (naïvement) qu'il était venu avec de nouvelles intentions et j'ai donc essayé de l'aider pas à pas pour l'aider à construire "la fonction plateau".
    En décortiquant la construction, il était arrivé à la moitié de la solution. Mais il s'est débiné en cours de route...!!!
  • Elle est dans le Queffélec d'analyse complexe si tu meurs vraiment d'impatience.
    Je me souviens que l'idée d'utiliser l'interpolation de Lagrange sur un polynôme m'avait parue incongrue au début mais que l'expression obtenue pour avoir des majorations m'avait parue jolie.
    (Oui j'ai vendu la mèche pour la réponse que j'attendais d'OShine)
  • Je n'ai pas le livre.

    J'ai regardé sur Wiki il s'agirait de majorer la dérivée un polynôme trigonométrique

    https://fr.wikipedia.org/wiki/In%C3%A9galit%C3%A9_de_Bernstein

    Qu'@Os nous donne le sujet en entier....!
  • Je ne regarde pas les corrigés de l'ups. Ils sont incompréhensibles et mal rédigés et bâclés.

    Mes réponses sont personnelles.

    Ma réponse à Q6 ne doit pas ressembler à un corrigé. C'est mon raisonnement personnel. J'y ai passé 45 min.

    @BD2017
    La question avec la fonction plateau je n'y arrive pas je retenterai peut-être plus tard.

    Je n'ai jamais passé les ens ni l'X ni les mines. J'ai passé centrale c'était déjà un trop haut niveau pour moi à l'époque.

    La suite arrive ce soir.
  • Il s'agit du même sujet que celui de la discussion sur la fonction plateau lisse: c'est la composition 2 du sujet de MP de Centrale 2021 (accessible en ligne).

    Ce qui me surprend un peu, c'est l'alternance entre le formalisme mathématique des réponses et les commentaires du type "que faire ensuite ?".
  • OShine, ton jugement sur les corrigés de l'UPS me gêne un peu ...

    J'avoue que je ne suis pas allé en voir depuis très longtemps, mais je pense qu'il y a pas mal de contributeurs qui ont chacun leur style et je doute que TOUS les auteurs publient des corrigés " incompréhensibles et mal rédigés et bâclés". J'ai été amené à pondre quelques sujets de concours, et je me suis demandé si je mettrais des corrigés sur le site de l'UPS (ce que je n'ai pas fait). Mes corrigés ont souvent la réputation d'être trop détaillés lorsque je rédige complètement (ce que j'avais fait pour mes sujets).


    Ce que je veux bien croire, c'est que certains auteurs passent sous silence certains aspects. Le rôle d'un corrigé sur un tel site est sans doute non pas nécessairement de fournir une solution complète et détaillée au taupin qui va pomper le corrigé pour son DM, mais plutôt de l'aider à réfléchir aux questions qu'il n'avait pas su faire. Un corrigé pas trop détaillé peut inciter à en avoir une lecture active. Probablement que plusieurs profs de CPGE, qui sont sans doute les principaux contributeurs de ce site, pourraient avoir une telle approche pédagogique.
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