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Intégrale dépendant d’un paramètre

Bonjour à tous
Je fais face à un problème de dérivabilité pour une fonction définie à l'aide d'une intégrale. J'ai besoin de votre aide.

Soit $a\in\, ]{-}1, 1[$. On pose $\quad\displaystyle F(a)= \int_0^{\pi/2} \dfrac{\ln(1+a\cos(x))}{\cos(x)}dx.$
Montrer que $F$ est dérivable sur $]{-}1, 1[$, et exprimer $F^{\prime}$ sous forme intégrale.

Voulant utiliser le théorème de dérivation sous le signe intégrale, je pose $f(a,x)= \dfrac{\ln(1+a\cos(x))}{\cos(x)}$. On a
$$\dfrac{\partial f}{\partial a} (a,x)= \dfrac{1}{ 1+a\cos(x)}.

$$ Maintenant je dois majorer $\Big\vert \dfrac{\partial f}{\partial a} (a,x)\Big\vert = \Big\vert \dfrac{1}{ 1+a\cos(x)}\Big\vert\ $ par une fonction $\varphi(x)$ positive, continue par morceaux et intégrable sur $]0, \pi/2[.$ Le problème est que je ne sais pas comment obtenir une telle majoration.
Merci d'avance pour vos réponses.

Réponses

  • Inégalité triangulaire : $|1+a \cos(x)|\geqslant |1-|a \cos(x)||=1-|a \cos(x)|\geqslant 1-|a|$,

    Donc $\Big\vert \dfrac{1}{ 1+a\cos(x)}\Big\vert \leqslant \dfrac{1}{ 1-|a|}$.
  • raoul.S on veut plutôt majorer par une fonction qui ne dépend pas de la variable $a$.
  • Ah oui désolé.

    Je répare :

    Soit $\varepsilon>0$. Pour $a\in\, ]-1+\varepsilon, 1-\varepsilon[$ on a $\Big\vert \dfrac{1}{ 1+a\cos(x)}\Big\vert \leqslant \dfrac{1}{ 1-|1-\varepsilon||\cos(x)|}$ et cette dernière expression est intégrable sur $[0,\pi/2]$.

    Ceci permet d'appliquer le théorème de dérivation sous l'intégrale et de montrer que $F$ est dérivable sur $]-1+\varepsilon, 1-\varepsilon[$ pour tout $\varepsilon>0$. Donc finalement que $F$ est dérivable sur $]-1,1[$.
  • Ok pour la majoration. Merci. Du coup comment tu montres l'intégrabilité de $\dfrac{1}{1-\vert 1-\varepsilon\vert \cos(x)}$ sur $[0, \pi /2]$ ?
  • Bonjour
    La fonction est continue sur l'intervalle!
  • Bonjour,

    Peut-on restreindre l'étude à $a\geq 0$ par la relation $F(a) = F(-a^2) - F(-a)$ ?

    Le calcul serait simplifier par la majoration $1 + a \cos x \geq 1$ pour tout $x \in ]0, \pi/2[$ et pour tout $a \in [0, 1[.$

    Pardon, erreur de calcul.
  • tylnx : Pour trouver une fonction majorante $\varphi(x)$, on peut fixer $x$ et étudier les variations de $a\mapsto \left|\frac{1}{1+a\cos(x)}\right|$.
  • Comme souvent pour les questions autour des intégrales dépendant d'un paramètre, la condition «être dérivable» est une condition locale, donc il suffit de travailler localement autour de $a$ pour éviter $-1$ et $1$.
  • De toute façon on peut reprendre la remarque de @tylinx (i.e pour $a\in[-1+\epsilon,1-\epsilon]$) et trouver une fonction majorante la plus simple possible et sans faire une étude de variation.

    En effet pour $|a| \leq 1-\epsilon$ on a

    $\forall x\in [0,\pi /2], \dfrac{1}{|1+a \cos(x)|} \leq \dfrac{1}{1- |a \cos (x)|} \leq \dfrac{1}{1- |a |} \leq \dfrac{1}{\epsilon}$

    la première inégalité vient de l'inégalité triangulaire et la fonction majorante est ici une constante donc intégrable.

    P.S Et même pourquoi se fatiguer? la fonction $g(x,a)=\dfrac{1}{1+a \cos(x)}$ est continue sur le compact $[-1+\epsilon,1-\epsilon]\times[ 0, \pi/2]$ donc elle est bornée et ça suffit.
  • Bonsoir

    il est possible d'expliciter l'intégrale paramétrée fonction de a réel encadré par - 1 et 1 :

    tu pars de l'intégrale trigonométrique définie, continue pour - 1 < a < 1

    $\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{dx}{1+acosx} = \frac{\pi}{2} + \frac{1}{\sqrt{1-a^2}}Arcsin(a)$

    déterminée par changement de variable cos(x) = (1 - t²)/(1 + t²) avec t = tan(x/2)

    l'intégration par rapport à a, ne pose pas de problème (et la constante d'intégration est nulle) soit :

    $$F(a) = \int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{ln(1+acosx)}{cosx}dx = \frac{\pi}{2}a + \frac{1}{2}(Arcsin(a))^2$$

    F(a) est définie continue pour - 1 < a < 1 et dérivable sur le même intervalle de a

    Cordialement
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