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Problème de Bâle

À quoi à servit la résolution du problème de Bâle ?
Problème qui consistait à montrer que $$\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{\ 1}{\ n^2}=\frac{\ \pi^2}{\ 6}.$$

Réponses

  • Cela sert de cas de base pour démontrer la formule générale des $\zeta(2n)$.
  • Poli2 : la réponse est dans ta question.
  • Je ne suis pas sûr qu'Euler ait démontré réellement une formule pour $\zeta(2n)$.
    Il a donné une heuristique qui permet de conjecturer des formes closes pour ces réels.
    Mais, à ma connaissance, il n'a donné une preuve, qui est encore valide aujourd'hui, que pour $\zeta(2)$.
    Ce n'est pas la "preuve" dont on parle sans arrêt , cette dernière n'en est pas une.
  • Il existe au moins un article qui détaille la démarche d'Euler: Beyond the Basel problem: Euler’s derivation of the general formula for $\zeta(2n)$, Nick Lord.
    (désolé il n'est pas en accès libre)
  • Le résultat est quand même suffisamment remarquable pour dire qu'il a "servi à quelque chose", non ?

    Peut-être qu'au départ, la question "tiens, la somme des inverses des carrés, ça donne quelque chose ?" était sortie un peu de nulle part, ça je ne sais pas. Donc le problème de départ était, peut-être, complètement artificiel. Mais sa résolution a requis (et donc poussé à faire) des avancées en mathématiques, donc ça en valait le coup. Et le résultat en lui-même... il fait intervenir $\pi$, donc il y a un cercle quelque part dans le scénario, ce qui n'est pas évident au premier coup d'oeil : quel est le rapport entre la somme des inverses des carrés et un cercle ? Je n'ai jamais creusé la question, donc je n'en sais rien, mais ce rapport existe. Donc il y a des choses à apprendre.

    Bon, et à part ça, ça permet aussi de calculer les décimales de $\pi$, je ne sais pas comment ils faisaient à l'époque et je ne me souviens plus de la vitesse de convergence de cette série, mais c'est là quand même.

    Je ne pense pas qu'il soit très sain de se demander souvent si tel ou tel truc "sert à quelque chose".
  • Il ne me semble pas nécessaire de répondre à la question initiale.
    Par contre, merci à FdP de nous avoir signalé l'article de Nick Lord, que voici.
  • @Homo : pour les décimales de $\pi$, Euler avait déjà mieux.
  • Bref je voulais savoir si ce résultat a par exemple aidé dans la sécurisation des comptes bancaires. Mais apparemment son importance reste toujours purement mathématique.
  • Non ce résultat n'a pas suffi pour sécuriser les comptes bancaires. En effet j'ai des amis a qui on a réussi à leur piquer 2 ou 3 mille euros.

    Cela irait peut être mieux si tu trouves une expression simple de $\sum_{n\geq 1} \dfrac{1}{n^3} $ (:P)
  • @bd2017 lorsque vous dites que ça n'a pas suffi ça veut dire que ça a un rôle à jouer la dedans?
  • Homo Topi: On en a déjà beaucoup parlé ici. La série des inverses des carrés converge affreusement lentement.

    Euler a procédé de cette façon me semble-t-il:
    Au départ, il n'avait aucune idée de ce que pouvait être une forme close pour cette série.
    Il a commencé par se dire qu'il faudrait pouvoir calculer quelques décimales de ce nombre et il s'est rendu compte que tel quel c'était une tâche insurmontable.
    Il a relié $\zeta(2)$ à cette autre somme qui converge bien plus vite $\displaystyle \text{Li}_2\left(\frac{1}{2}\right)=\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^2 2^n}$ ce qui lui a permis de calculer les décimales souhaitées de $\zeta(2)$.
    Et là, je ne sais comment, il a deviné quel était le nombre qu'il avait sous les yeux. Il avait assez de décimales pour se dire que ce n'était sûrement pas une coïncidence. Le fait de connaître une valeur probable lui a donné d'autres idées qu'il a mises en oeuvre.

    NB:
    $\displaystyle \zeta(2)=\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^2 2^{n-1}}+\ln^2 2$
  • C'est une coïncidence que Poli2 a posé cette question. Hier, je me disais qu'il faudrait ouvrir un fil qui permette à tout le monde* de donner des références d'articles publiés qui traitent de cette question (même indirectement. Il existe des articles dont le thème principal n'est pas la résolution de ce problème mais qui donnent des méthodes de calcul qui s'appliquent aussi à cette série et les auteurs le signalent).

    *: J'en ai un certain nombre mais il y en a vraiment beaucoup donc collectivement ce sera une tâche plus simple.
    D'autant plus, que parfois, c'est bien planqué dans un recoin d'un article et j'en ai sûrement manqué beaucoup.

    PS:
    Est-ce qu'on ouvre un autre fil dans une autre sous-section du forum ou on continue dans ce fil pour la tâche mentionnée?
  • Bonjour.

    Voici un article en français, de l'APMEP, qui revient sur l'historique (via Mengoli) et qui donne des pistes de résolution.

    À bientôt.

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  • Merci Dreamer
  • Merci en effet pour cet article.

    C'est tout de même une sacrée coïncidence:
    est évoquée pour la première fois par Mengoli en $1644$
    (en parlant de la série des inverses des carrés)

    $\displaystyle \dfrac{\pi^2}{6}=1,644...$

    PS:
    L'article confirme ce que je croyais savoir sur la résolution du problème par Euler.
  • “Il n’est pas nécessaire qu’un problème de maths ait des applications pratiques pour qu’il soit intéressant et il peut être très agréable pour l’esprit d’essayer de résoudre des questions apparemment futiles.”
    Axel Thue
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