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Curiosité logique

Bonsoir,

« Ce forum (Fondement et Logique) n'a pas de description » est-il mentionné.

Cela tombe bien car la curiosité qui me travaille est, me semble-t-il, au fondement des mathématiques et n’est que logique. Soulagé aussi car je n’ai des notions mathématiques que très lointaines pour m’engager plus et plus savamment. Aussi, j’espère votre indulgence.

Il ne faut, pour aborder cette curiosité, qu’observer des quantités et leurs positions.
Voici la découverte simplissime qui finit par me poser une question à laquelle je ne puis répondre.
Elle pourrait s’énoncer ainsi :

«  Après un certain nombre (chacune à son tour et dans un même sens ) de séries de manipulations d'éléments tous distribués de manière ordonnée, un à un, à un nombre de positions, apparaissent, deux répartitions charnières inaugurant une boucle stabilisée, tournant à l'infini »


Rien de tel qu’un exemple. Prenons un jeu de 52 cartes à jouer.
Je distribue 52 cartes à 4 joueurs. (52_4)
Le 1° joueur occupe la position 0
Le 2° joueur occupe la position 1
Le 3° joueur occupe la position 2
Le 4° joueur occupe la position 3
C’est le 4° joueur qui commence a distribuer toutes ses (52) cartes. Il est en position 3.
[0, 0, 0, 52]        Commencement de la distribution des 52 éléments à 4 positions.
[13, 13, 13, 13]    Donc 13 à chacune.

Ensuite c’est au joueur positionné à la position 0 de distribuer toutes ses cartes (13).
[3, 17, 16, 16]        résultat de la distribution des 13 éléments depuis la position 0

Et ainsi de suite.

[7, 4, 21, 20]        résultat de la distribution des 17 éléments de la position 1
[12, 9, 5, 26]        résultat de la distribution des 21 éléments de la position 2
[19, 16, 11, 6]        résultat de la distribution des 26 éléments de la position 3
[4, 21, 16, 11] résultat de la distribution des 19 éléments de la position 0
[9, 5, 22, 16] résultat de la distribution des 21 éléments de la position 1
[15, 10, 5, 22]        résultat de la distribution des 22 éléments de la position 2

Répartition qui se répétera => départ de la boucle.

[21, 16, 10, 5] résultat de la distribution des 22 éléments de la position 3
[5, 22, 15, 10] résultat de la distribution des 21 éléments de la position 0
[10, 5, 21, 16] résultat de la distribution des 22 éléments de la position 1
[15, 10, 5, 22] résultat de la distribution des 21 éléments de la position 2

Ensuite [21, 16, 10, 5] , [5, 22, 15, 10] , [10, 5, 21, 16] , [15, 10, 5, 22] , etc. à l’infini.
Nbre de répartitions de la boucle:   4

Pour 52 éléments distribués à 4 positions  on découvre :

Répartition qui va se répèter:   [15, 10, 5, 22] en 9 ème ligne,     position 2

On a donc 2 répartitions bouclages qui sont : [9, 5, 22, 16] ou [10, 5, 21, 16] depuis la position 2.
Cela veut dire que depuis la position 2, la répartition [9, 5, 22, 16] ou cette autre [10, 5, 21, 16] deviennent toutes les deux [10, 5, 21, 16] (répartition bouclage).

Qu'est-ce que c'est que cette « convergence » de ces deux états  ([9, 5, 22, 16] et [10, 5, 21, 16] ) qui, distribués depuis la place 2, aboutissent à l'amorce de la boucle spiralée ?

Vous avez dit "spiralée" ?
En annexe quelques illustrations.

Tout cela inspire-t-il quelqu'un qui pourrait me donner des références sur des études déjà faites dans ce domaine ?

Bien le bonsoir.


R.

Réponses

  • Bonjour,

    Il n'y a qu'un nombre fini de façons de distribuer 52 cartes sur 4 positions (et le prochain distributeur), donc forcément à un moment on retombe sur une configuration déjà vue, d'où la boucle.
  • Bonjour,

    «  donc forcément à un moment on retombe sur une configuration déjà vue, d'où la boucle. »

    Oui certes. Plus précisément je m’attache à comprendre la logique qui explique qu’après une succession de "passes passes" d’éléments, une situation stable s’établit sous la forme d’une boucle plus ou moins longue .

    Pour illustrer ma question, voici, en annexe, la mise en graphe, par joueur, de l’amorce (en bleu) au regard de la situation stable en rouge ( 2 boucles).

    Existe-t-il des études sur ces convergences stabilisatrices ? Auriez-vous connaissance de quelques pistes à suivre ?
    En tout cas cela m’amuse d’y penser .

    R.
  • Bonjour René.

    Ce n'est pas de la logique, puisque tu n'étudies pas la nature du lien qui articulent tes phrases (ou propositions). Tu t'intéresses au fond, qui est plus une question de dénombrement/combinatoire, ou d'analyse de suite numérique.

    Médiat t'a très bien répondu. La quantité de possibilités est finie. Donc tu retomberas toujours sur une position connue. Et les mêmes causes produisant les mêmes effets, ton processus se reproduira de façon "stabilisée", dans 100% des cas.
  • Ce problème peut se formuler ainsi :
    - Tu as une situation (la situation initiale, ou n'importe quelle autre situation intermédiaire).
    Cette situation est décrite par 4 nombres (le nombre de cartes de chacun des 4 joueurs) , plus une cinquième information, le numéro du joueur qui doit distribuer ses cartes.
    Cette situation est en fait un vecteur. Notons le $V_0$ (il faut bien modéliser les informations sous une forme exploitable, pour que les calculs soient simples.)
    - Tu as une matrice de transition : C'est la matrice qui permet de calculer la nouvelle configuration à partir de la situation en cours. Notons cette matrice $M$

    Pour calculer la situation après $n$ opérations, on peut calculer les situations successives après 1 opération , puis 2 etc.
    Ou on peut élever la matrice M à la puissance n, et ensuite calculer $V_n = M^n V_0$

    Tu peux trouver de la vulgarisation ici
  • Mmoui. Sauf que les tours ne sont pas obligatoirement complets. Donc ta matrice doit court-circuiter des unités, et le calcul de sa puissance n-ième va vite devenir rock'n'roll.
  • J'ai bien préciser : il faut bien modéliser les informations sous une forme exploitable, pour que les calculs soient simples.

    Et clairement, je ne suis pas sûr d'avoir la soution.

    Dans ma matrice, je ne mettrais que des 0 et des 1. Un seul 1 par ligne. Et les éléments seraient des combinaisons de nombres.

    Par exemple, sur la ligne correspondant à (8,a,b,c), on a un 1 dans la colonne correspondant à (a+2,b+2;c+2,2)
    Et sur la ligne correspondant à (9,a-1,b,c) ou (10,a-1,b-1,c) ou (11,a-1,b-1,c-1), on aurait un 1 dans cette même colonne.
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