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Logarithmes népériens au grand oral

Bonsoir

Ma fille a choisi comme sujet pour le grand oral : " Comment les logarithmes népériens ont contribué à faire avancer les Mathématiques (ou la Science)"

Comment expliquer brièvement une fois qu'on a présenté le logarithme de base b comme outil fabuleux, que le log de base e (donc le ln) est plus pratique et ouvre de grandes portes ?

Tout ceci avec seulement des outils de terminale ?
Merci beaucoup.

Réponses

  • Bonjour.

    Historiquement, ce sont les logarithmes décimaux qui ont été perçus comme une grande avancée.

    Par contre, le logarithme népérien, dit logarithme hyperbolique (car construit sur l'hyperbole equilatère) s'est vite avéré être bien plus naturel à calculer, d'où son adoption comme logarithme naturel.

    À l'heure actuelle, quand l'appui sur une touche donne directement tout ce qu'on veut, il est plus dur de faire passer la révolution que cela a été.

    Petite mention sur les règles à logarithmes qui ont été jusqu'aux dernières (1975 ?) en logarithme décimal pour une facilité de réalisation, je serais d'ailleurs désireux d'en voir basées sur le ln, mais je rêve.

    À bientôt.

    Cherche livres et objets du domaine mathématique :

    Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.

  • @ Odile :

    Demande à ta fille de calculer les dérivées des différents logarithmes.

    @ Dreamer :

    C'est une question d'échelle non ?
    Je ne vois pas trop la différence.

    Les règles à calcul (pas à logarithmes) ont été remplacées au bac par les calculatrices en 1978.
    Elles sont toujours autorisées à l'X me suis-je laissé dire.

    e.v.
    An apple a day keeps the doctor away ... As long as you aim well (Winston Churchill)
  • @Odile : Pour tout $x>0~:$ $\log_b(x)=\frac{\ln x}{\ln b}.$ Autrement dit, tous les logarithmes sont les mêmes à une constante multiplicative près.

    Ce qui fait la simplicité du logarithme népérien, c'est sa dérivée : $\ln'(x)=\frac{1}{x}$ (pour les autres logarithmes, la constante $\ln b$ restera au dénominateur). C'est pour ça qu'on a préféré le logarithme népérien aux autres logarithmes (pour éviter un anachronisme, vu que le logarithme népérien a été inventé avant la dérivation, il faudrait plutôt parler de la quadrature de l'hyperbole ; mais l'idée est la même).

    Les pages Wikipedia logarithme naturel et Wikipedia histoire logarithme donnent toutes les informations utiles.
  • Merci à vous deux

    Je viens d'avoir le capes 3ème concours

    J'aurais dû demander au jury , à l'oral , à Nancy comment exactement on a trouvé cette base e . Je les aurais peut-être collés tous les 3 !!!

    De mémoire , c'est une histoire de vitesse comme l'explique le jeune dans sa vidéo micmaths

    Je cherchais des idées pour dire quelque chose de concis car ma fille n'a que 5 mns de présentation ; recommandations de Mr Blanquer obligent!
  • Pour Ev : Je suis surpris d'apprendre que ces instruments sont autorisés à l'un des plus prestigieux concours qui soit, car tant leur nature (que leur prix parfois prohibitif), sans compter les antisèches qui sont souvent écrites de manière non volatile dessus, induisent une inégalité de traitement malvenue entre candidats.

    Je militerai donc pour que soit apposé sur ces instruments un système pour en brider les capacités.

    À bientôt.

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  • Odile a écrit:
    ont contribué à faire avancer les Mathématiques (ou la Science)"


    Sauf erreur de ma part, dès le 16/ 17ème siècle, plusieurs disciplines commencent à se développer: astronomie, navigation etc.. Et les besoins en calculs se font de plus en plus importants.

    Aujourd'hui, pour multiplier la masse de la Lune par la masse de la Terre nous utiliserons probablement une calculatrice. Mais à l'époque on ne pouvait pas. C'est d'ailleurs lors de ce siècle révolutionnaire que se développe la thèse de l'héliocentrisme et du géocentrisme, et d'après les scientifiques de l'époque l’observation des astres va de pair avec le calcul de leur position.

    En parallèle, se développe la navigation, les marins considèrent qu'une bonne connaissance du ciel est importante pour mieux s'orienter.

    De l'autre côté, on assiste à une émergence du commerce International avec une importante circulation de capitaux, et par conséquent, les calculs d’intérêts pour des sommes de plus en plus importantes commencent à devenir primordiales.
    D' ailleurs dès le 15ème siècle, le commerce conduit à des questionnements intéressants, à lueur du travail du  mathématicien Pacioli qui se pose la question « combien d’années faut-il pour doubler un capital lorsqu’il est placé à 10% d’intérêts composés ? 
    Et pour répondre à cette question, il faut résoudre l'équation suivante :
    ( 1+ 10/100) ^x =2

    Plus tard, ce travail est reformulé et repris par d'autres mathématiciens.

    Voilà quelques pistes ;-)
  • Pour Dreamer :

    Toutes les échelles logarithmiques sont basées sur le ln (ou sur le log, ou sur le log2, ou ..). Ce que tu veux, c'est une échelle en puissances de e ? J'ai déjà vu ça, mais ce n'est pas très explicatif. Tu prends une échelle régulière, et tu remplaces 0, 1, 2, 3 par 1, e, e², e3.

    Cordialement.
  • Merci pour cette explication.

    Ma remarque portait plus sur le découpage décimal entre deux encoches, courant sur la plupart des règles que je possède.

    Il y a bien, à un endroit où l'autre, une graduation pour marquer une valeur particulière, comme $\pi$ par exemple, mais ce n'est pas une vraie graduation secondaire.

    On peut envisager par exemple un découpage octal (donc avec 6 graduations intermédiaires au lieu de 8) ou autre apparenté, mais même cela je n'ai jamais vu (cela existe peut-être, mais je n'ai pas de certitude), alors un découpage "népérien", je sais que c'est irréaliste.

    À bientôt.

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  • Je ne comprends pas ce que tu appelles "un découpage "népérien" ". Comme la règle à calcul est un instrument approché, on peut faire figurer tous les nombres qu'on veut. A l'épaisseur du trait près.
    "Il y a bien, à un endroit où l'autre, une graduation pour marquer une valeur particulière, comme $\pi$ par exemple, mais ce n'est pas une vraie graduation secondaire." évidemment, $\pi$ n'est pas un décimal.

    Cordialement.
  • On est d'accord.

    Je n'ai pas précisé qu'elle est la forme du découpage "népérien" car je suis incapable de le visualiser ni de m'en faire une idée précise, justement.

    À bientôt.

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  • Odile0502 :

    Comment fais-tu concrètement pour calculer $\log_2(2)$ sans calculatrice, sans table de logarithmes naturels?
  • Merci à tous
    J'ai du mal formuler ma question au départ.

    La prof de maths de terminale de ma fille lui a conseillé de choisir 2 applications des logarithmes
    1 application avec le logarithme décimal et 1 application avec le ln

    Le problème, et c'était seulement cela que je demandais, est d'établir avec des mots de terminale comment la base e du logarithme népérien a été inventée.

    Le mathématicien qui fait les vidéos micmaths explique que cette base e a été inventée par rapport à un calcul de vitesse ; il l'explique très bien dans la vidéo mais ma fille n'a droit qu'à 5 minutes en tout.

    C'est pour ça que je me demandais à tout hasard si quelqu'un s'était déjà retrouvé à devoir expliquer la même chose très rapidement
    C'était juste pour avoir des idées
  • Si ça peut constituer une source supplémentaire, dans son livre "le théorème du parapluie", Mickaél Launay (micmaths) en parle également.
  • En fait, Odile0502,

    la première table de log était avec les logarithmes népériens, donc la base e. Puis sont apparues des tables avec la base 10, plus faciles à utiliser.

    Et ce n'est qu'une question historique, pas vraiment mathématique.

    Usages des log :
    * tables de calcul, avec les log décimaux
    * mesure du bruit en décibels, le bel étant le log de base 2 de la puissance du son
    * estimation de la taille d'un entier par la partie entière du log décimal : 9^(9^9) a pour log environ 369693099.6 donc a 369693100 chiffres.
    * définition du PH (potentiel hydrogène) en chimie.
    * etc.

    Cordialement.
  • Merci Gerard0 et Poli

    Ma fille a choisi la datation du carbone 14 pour estimer l'âge des peintures des grottes de Lascaux (on habite pas loin) qui utilise le ln.
    Puis la classification de la taille des êtres vivants sur une échelle logarithmique en base 10 beaucoup plus adaptée qu'une échelle graduée de mètre en mètre.

    Voilà l'idée.
    J'espère que ça plaira au jury du grand oral ...
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