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Relativité : vaisseau spatial

Un vaisseau spatial de masse $M$ est au repos dans le système solaire. Ses moteurs combinent de la matière et de l'antimatière produisant des rayons gamma dirigés vers l'arrière du vaisseau. Après une durée brève le vaisseau atteint une vitesse $v=0,95c$ par rapport au système solaire.

1) Que vaut la masse $m$ du vaisseau à la fin de cette propulsion.

Dans $R$ = système solaire
Avant la mise-en-route
$E_{vaisseau,0}= Mc^2$

Après avoir atteint $v$,
$E_{vaisseau,1}^2=\gamma ^2 m^2 c^4 + p^2 c^2 = \gamma ^2 m^2 c^4 (1+\beta ^2) $
$E_{photon}=\gamma \alpha M c^2$
avec $\alpha$ la fraction de masse transformée
$m=(1-\alpha)M$

Conservation de l'énergie,
$E_{vaisseau,0} = E_{vaisseau,1}+ E_photon$

donc $\alpha=\frac{1-\gamma \sqrt{1+\beta ^2}}{\gamma - \gamma \sqrt{1+\beta ^2}}
=\frac{\sqrt{1-\beta ^2} - \sqrt{1+\beta ^2}}{1-\sqrt{1+\beta ^2}}$

et $m=(1-\alpha)M = M \frac{1-\sqrt{1-\beta ^2}}{1-\sqrt{1+\beta ^2}}$

2) Le vaisseau fait l'aller-retour en la Terre et Alpha du Centaure. Quelle doit être la masse totale initiale $M$ pour sa masse à vide soit $m_0$ au retour sur Terre ?

On un aller Terre-Alpha puis un arrêt puis un retour Alpha-Terre et un arrêt. Comme $\alpha$ est paire par rapport à $\beta$ on a $m_0=(1-\alpha)^4 M$

Tout ceci vous paraît-il juste ?

Réponses

  • Bonjour,

    Non.

    Il ne faut pas écrire des conneries non justifiées et espérer faire de la physique.

    Tu dois justifier toutes les équations.
  • Où est le problème exactement ?
  • Bonjour,

    Tu écris des conneries non justifiées.

    C’est le problème exact.

    Écris autres choses que des conneries. Et justifie-les.
  • Il ne faut pas écrire des conneries non justifiées et espérer faire de la physique.
    Pardon, mais..., si tu enlèves le mot conneries, ce n'est pas un peu le principe même de la physique ? Ce pour quoi nous avons choisi de nous spécialiser plutôt en mathématiques ?
  • Ca m'aide...
  • Bonjour,

    Avant d’écrire une formule, tu dois écrire la formule du cours et définir tous les paramètres et les conditions d’application. Puis tu l’appliques à ton exercice.

    Ça t’évitera d’écrire des conneries dès la première ligne.

    Si tu ne connais pas les formules du cours, ne fais pas d’exercice.

    C’est que TOUS les exercices que tu as partagés sont faux, très faux. Au bout d’un moment ça commence à suffire. Relis ton cours. Fais des exercices corrigés pour commencer.
  • $E=mc^2$ ça ressemble à du cours je trouve

    Par ailleurs, pour en rajouter à ces digressions futiles, si je demande c'est justement parce que je n'ai pas de corrigé, et si j'avais les réponses je ne verrais pas l'utilité de demander.
  • Bonjour,

    Tu n’as pas défini les termes ni les conditions d’application dans ta formule. Si tu ne fais que la moitié du boulot tu vas continuer à écrire des conneries.
  • Bonjour.

    Si je peux me permettre, il me semble que ce vaisseau est tout à fait en mesure de convertir la masse de ses propres moteurs pour continuer à avancer.

    Qui veut aller loin ménage sa monture.

    À bientôt.

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    Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.

  • Tamasushi :

    On peut interpréter ta première formule pour lui donner un sens, mais la deuxième ?
    $E_{vaisseau,1}^2=\gamma ^2 m^2 c^4 + p^2 c^2 = \gamma ^2 m^2 c^4 (1+\beta ^2)$
    Pourquoi ce 1 ? Qui est $\gamma$ ? C'est quoi $p$ ? et pourquoi disparait-il au profit d'un $\beta$ ?

    Autrement dit, tu écris des formules magique, tu ne fais ni physique (les lettres correspondent à quelque chose), ni mathématique. Et tu ne parles pas de l'énoncé !!

    Cordialement.
  • Bonjour,

    A vérifier.

    1/ On choisit comme système le vaisseau dans le référentiel solaire.

    Comme la vitesse du vaisseau atteint $\displaystyle v= \beta c$ avec $\displaystyle \beta = 0.95$ proche de $1$, on doit utiliser la relativé restreinte.

    Un quadri-vecteur s'écrit $\displaystyle P=(E/c, p)$ avec $\displaystyle E^2 = m^2c^4 + p^2 c^2$ : $E$ est l'énergie, $m$ sa masse au repos, $p$ sa quantité de mouvement. On note $\displaystyle \beta = v/c$ et $\displaystyle \gamma = {1 \over \sqrt{1-\beta^2}}.$ On sait que $\displaystyle p = \gamma m v$ et donc que $\displaystyle E = \gamma m c^2.$

    Au repos, le vaisseau est représenté par : $\displaystyle P=(Mc, 0).$

    Quand le vaisseau atteint la vitesse $v$, il a converti une partie de sa masse en rayons gamma. Sa masse devient donc $\displaystyle m<M.$

    A la vitesse $v$, le vaisseau est représenté par : $\displaystyle Q=(\gamma m c, \gamma m v).$ C'est bien la masse $m$ qui intervient car cette nouvelle masse est la masse au repos du vaisseau ayant perdu une partie de sa masse initiale en rayonnement gamma.

    Les rayons gamma, sans masse, sont représentés par : $\displaystyle R=(F/c, F/c \, u)$ avec $F$ l'énergie des rayons gamma et $u$ leur vecteur directeur.

    La conservation de l'énergie et de la quantité de mouvement est équivalent à la conservation du quadri-vecteur $\displaystyle P=Q+R.$ En effet, $P$ représente la système au repos et $Q+R$ représente ce même système après une brève durée d'allumage des moteurs.

    On a donc :
    - d'une part $\displaystyle Mc = \gamma m c + F/c$,
    - et d'autre part $\displaystyle 0 = \gamma m v + F/c \, u$.

    La dernière équation, vectorielle, montre que le vaisseau progresse dans la même direction d'échappement des rayons gamma et en sens opposé.

    On reporte $\displaystyle F/c \,u = - \gamma m v $ dans la première équation, en norme : $F/c = \gamma m v$ puisque $v \geq 0$, pour trouver $\displaystyle m = M \sqrt{1- \beta \over 1+\beta}.$

    On trouve bien $\displaystyle m\leq M$ pour toute vitesse $v.$
    Pour $\displaystyle v=0$, la masse reste inchangée : le vaisseau n'a pas allumé ses moteurs : aucune énergie n'est convertie en rayonnement.
    Pour $\displaystyle v=c$, la masse du vaisseau s'annule. Pour atteindre la vitesse de la lumière, un tel vaisseau devrait convertir toute sa masse en rayonnement : il ne peut donc pas dépasser la vitesse de la lumière.

    2/ Ce vaisseau réduit sa masse d'un facteur $r$ en passant d'une vitesse nulle à une vitesse $v$ proche de la vitesse de la lumière. Si le trajet aller-retour est modélisé par une brève accélération : $\displaystyle M \leadsto Mr$, suivie d'un voyage à vitesse constante, suivie d'une brève décélération $\displaystyle Mr \leadsto Mr^2$, et pour le retour de même $\displaystyle Mr^2 \leadsto Mr^4$ alors la masse au retour est $\displaystyle m_0 = M ({1- \beta \over 1+\beta})^2.$

    Application numérique : $m = 0.16 M$ et $m_0 = 6.6\, 10^{-4} M.$ Donc pour ramener une tonne : $m_0 = 1$ tonne, il faut partir avec environ $M=1500$ tonnes...
  • Il n'y a plus d'hélice, hélas, c'est là qu'est l'os.

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  • D'accord merci :-D
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