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Relativité - conservation quadri-impulsion

Un pion positif $\pi ^+ $ de masse 140MeV au repos se désintègre avec un temps de vie moyen de $26$ $ns$ pour donner un antimon $\mu ^+$ de masse 106MeV et un neutrino muonique $\nu_{\mu}$ de masse négligeable.

Déterminer l'énergie du neutrino émergent.

Est-ce que mes quadri-vecteurs sont justes ?

$\textbf{p}_{\pi ^+} =
\begin{bmatrix}
m_{\pi ^+} \\
0\\
0 \\
0
\end{bmatrix}

,\quad

\textbf{p}_{\mu^+}=
\begin{bmatrix}
m_{\mu^+} \\
m_{\mu^+} v \cos(\alpha) \\
m_{\mu^+} v \sin (\alpha) \\
0
\end{bmatrix}

,\quad

\textbf{p}_{\nu_\mu}=
\begin{bmatrix}
\frac{E}{c} \\
0\\
0\\
0\\
\end{bmatrix}


$
Merci

Réponses

  • Bonjour,

    À gauche, il manque un $c$ puisque tu mets un $c$ à droite. Après correction, ça me paraît correct.
    À droite, ça me paraît correct.
    Au milieu, les termes de l’impulsion devraient être en $\gamma m_\mu v_x$ : où est le terme $\gamma$ ?, et il manque une explication physique pour justifier que les particules sont dans le plan $x,y$...
  • Pour le mouvement plan je n'ai pas vraiment de justification.
    On a donc $\textbf{p}_{\pi ^+} =

    \textbf{p}_{\mu^+} +

    \textbf{p}_{\nu_\mu}.$
    Soit,
    $$
    \begin{bmatrix}
    m_{\pi ^+} c \\
    0\\
    0 \\
    0
    \end{bmatrix}

    =

    \begin{bmatrix}
    m_{\mu^+} c\\
    m_{\mu^+} v \cos(\alpha) \\
    m_{\mu^+} v \sin (\alpha) \\
    0
    \end{bmatrix}

    +
    \begin{bmatrix}
    \tfrac{E}{c} \\
    0\\
    0\\
    0\\
    \end{bmatrix}

    $$ Dans ce cas $v=0$ mais ça me paraît étrange...
  • Bonjour,

    D'où sort l'égalité sur les quadrivecteurs ? Es-tu devenu fou ? Je trouve navrant de ne pas savoir justifier que le mouvement est plan. Si tu ne sais pas le faire, alors écris une troisième composantes $v_z$, non ? tu peux aussi regarder ton cours.

    C'est la pseudo norme qui est invariante : $P = ({E \over c}, \vec{p})$ donne $P^2 = ({E \over c})^2 - \vec{p}^2$ : tu peux l'écrire dans différents référentiels, celui de la particule indidente ou du centre de masses, et à différents instants, avant et après le choc, par exemple.
  • Dans mon livre ils parlent bien de conservation de la quadri-quantité de mouvement.
    $\textbf{p}_{\pi ^+} =

    \textbf{p}_{\mu^+} +

    \textbf{p}_{\nu_\mu}.$
    $$
    \textbf{p}_{\pi ^+} =
    \begin{bmatrix}
    m_{\pi ^+} c \\
    0\\
    0 \\
    0
    \end{bmatrix}

    ,\quad
    \textbf{p}_{\mu ^+}= \gamma_{\mu ^+}
    \begin{bmatrix}
    m_{\mu^+} c\\
    m_{\mu^+} v \cos(\alpha) \\
    -m_{\mu^+} v \sin (\alpha) \\
    0
    \end{bmatrix}

    ,\quad
    \textbf{p}_{\nu_{\mu}}= \gamma_{\nu_{\mu}}
    \begin{bmatrix}
    \frac{E}{c} \\
    \frac{E}{c} \cos(\beta)\\
    \frac{E}{c} \sin(\beta)\\
    0\\
    \end{bmatrix}

    $$ Avec la conservation de la norme j'obtiens,

    $E=\dfrac{ ( m_{\pi^+}^2 -\gamma_{\mu^+}^2 m_{\mu^+}^2 ) c^2 - \gamma_{\mu^+}^2 m_{\mu^+}^2 v^2 }
    {2 \gamma_{\mu^+}^2 \gamma_{\nu_{\mu} }^2 m_{\mu^+} \big(1 + \frac{v}{c}\cos(\alpha + \beta)\big) }.
    $
  • Bonjour,

    Tu dois comprendre ce qui est écrit. C'est $P^2 = (E/c)^2- p^2$ qui est conservée.

    Comme $E^2 - p^2 c^2 = m^2c^4$ c'est la masse au repos de la particule qui est conservée.
    Pour une particule de masse nulle, on a $E = pc$ et la quantité de mouvement est $p=E/c.$

    Les vecteurs sont les bons dans ton dernier message, même si tu ne donnes pas la définition des angles. Je préfère $- \alpha$ pour que le résultat ne dépende que de la différence des angles $\alpha - \beta$ : c'est l'écart entre les trajectoires qui compte. Mais, bon, utilise les notations de ton livre.

    Donc écris la conservation de la norme et trouve une relation (assez compliquée)...
  • Mais je ne comprends pas: le quadri-vecteur comporte en coordonnée l'énergie et l'impulsion donc conservation du quari-vecteur est équivalent à la conservation de l'énergie et de l'impulsion donc je ne vois pas où serait le problème...

    Par ailleurs, si c'est seulement $p^2$ qui est conservé, si deux particules $1$ et $2$ donnent deux particules $3$ et $4$, est-ce qu'il faut marquer $(p_1 +p_2)^2 = (p_3 + p_4)^2$ ou $p_1^2 +p_2^2 = p_3 ^2+ p_4^2$ ?
  • Bonjour,

    On a $P$ le quadri-vecteur ; et $p$ la quantité de mouvement.

    Quand tu écris la conservation du quadri-vecteur : $P=P_1+P_2$,
    tu élèves au carré (par produit scalaire) : $P^2=P_1^2+P_2^2+2 P_1.P_2.$

    On a un produit scalaire de deux quadri-vecteurs.

    On a $P=(E/c, p)$ et donc $P^2=(E/c)^2-p^2=m^2 c^2.$

    Tu dois terminer le calcul.

    Je préfère te laisser terminer parce que si tu trouves le résultat une fois, tu le trouveras toujours.

    Si tu ne trouves pas, essaies de faire le calcul dans un référentiel idoine.
  • Bonjour,

    Reprenons :

    Un pion positif de masse $\displaystyle m_0$, au repos, se désintègre en un antimuon positif de masse $\displaystyle m_1$ et un neutrino muonique de masse $\displaystyle m_2$ négligeable.

    On cherche l'énergie du neutrino.


    A vérifier...

    Cette équation de désintégration vérifie la conservation de la charge électrique. Le temps moyen de désintégration, de $26$ ns, ne renseigne pas sur l'énergie du neutrino.

    On écrit les quadri-vecteurs : $\displaystyle P = (E/c,p)$ et la relation $\displaystyle E^2 = m^2c^4 + p^2 c^2$.

    On se place dans le référentiel où le pion est au repos.

    On a $\displaystyle P_0 = (E_0/c,p_0)$ avec $\displaystyle p_0 = 0$ et $\displaystyle E_0=m_0 c^2.$ On écrit donc $\displaystyle P_0=(m_0c,0).$

    On a $\displaystyle P_1=(E_1/c,p_1)$ et $E_1^2 = m_1^2c^4 + p_1^2 c^2.$

    On a $\displaystyle P_2=(E_2/c,p_2)$ et $E_2=p_2c$. On écrit $\displaystyle P_2=(E_2/c, E_2/c).$

    La conservation du quadri-vecteur : $\displaystyle P_0=P_1+P_2$ donne
    - d'une part $\displaystyle m_0c^2 = E_1+E_2 $ ou encore $\displaystyle E_1 = m_0c^2 - E_2$, et
    - d'autre part $\displaystyle p_0 = p_1 + p_2$ ou encore $\displaystyle p_1 = -p_2.$

    La norme des quadri-vecteurs donne $\displaystyle P_0^2 = P_1^2 + P_2^2 + 2 P_1.P_2$ et donc $\displaystyle m_0^2 c^2 = m_1^2 c^2 + 2 {E_2 \over c} ({E_1 \over c}-p_1) = m_1^2 c^2 + 2 {E_2 \over c} m_0 c$ et donc $\displaystyle E_2 = {1 \over 2} {m_0^2 - m_1^2 \over m_0} c^2>0.$

    Application numérique : $\displaystyle m_0=140$ MeV/c^2, $\displaystyle m_1 =106$ MeV/c^2, on calcule $\displaystyle E_2 = 30$ MeV.
  • D'accord merci :-D
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