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La mesure des angles dans un plan !

Salut à tous.

Comme je ne désire pas polluer les sous-forums avec mes questions, je préfère déposer celle-ci dans ce forum.

Je ne comprends pas que l'on puisse avec une mesure de l'angle plat, obtenir trois cas :
--> < 180°
--> = 180°
--> > 180°

En toute logique, un plan est une surface en deux dimensions.
Un observateur qui se déplace à sa surface n'aura la connaissance que de ces deux dimensions.
Donc si l'observateur se déplace à la surface d'un sphère, c'est comme s'il se déplace dans un plan.

Or le fait que cette surface soit celle d'un sphère est dû à un observateur qui se trouve en trois dimensions.
La mesure d'un angle plat se fait toujours dans un plan et je suppose que sa mesure sera celle d'un angle plat, donc de 180°.
Alors pourquoi introduire une mesure de l'angle plat avec un résultat <180° ou avec un résultat >180° ?

Il se peut que la réponse soit simple, mais je ne comprends pas comment la mesure de l'angle plat est faite.

merci.
@+

Réponses

  • Bonjour.

    Pourrais-tu donner un contexte à ta question, expliquer de quoi tu parles ?
    En géométrie plane euclidienne, l'angle plat a une mesure de $2\pi$ radians, soit 180°. Donc tu parles d'autre chose (sans l'avoir dit), d'autant que tu parles de sphère (*).

    Cordialement.

    (*) avec une grosse erreur "Donc si l'observateur se déplace à la surface d'un sphère, c'est comme s'il se déplace dans un plan." les navigateurs qui font le tour du monde reviennent à leur point de départ. Ce ne serait pas le cas sur un plan.
  • Salut gerard0.

    Il n'y a pas de contexte particulier à ma question.

    J'ai lu cet article. Je ne comprends pas se qui est dit dans le paragraphe "L’OBJET DE LA GÉOMÉTRIE RIEMANNIENNE".
    Un exemple classique, afin de comprendre l’objet de la géométrie riemannienne, est de considérer des êtres bidimensionnels qui vivraient à plat sur une surface. Ils ne peuvent pas sortir de leur surface et pourtant, ils peuvent étudier leur monde en effectuant des mesures sur la surface elle-même. Si par exemple, ils mesurent la somme des angles d’un triangle différente de 180 °, ils pourront en conclure qu’ils ne vivent pas sur un plan.
    Je trouve cette affirmation fausse. La mesure d'un angle plat est nécessairement de 180°. Il ne peut pas être autrement.
    Comment des êtres qui se déplacent en deux dimensions peuvent avoir conscience qu'il existe d'autres dimensions ?

    Nous sommes des êtres à trois dimensions. Cela ne me choque pas que l'on puisse avoir une mesure de l'angle plat différent de 180°.

    Or je crois comprendre que la mesure d'un angle se fait en deux dimensions.
    Que représente la mesure d'un angle dans d'autres dimensions ?

    @+
  • la citation a écrit:
    la somme des angles d’un triangle différente de 180 °
    Artemus a écrit:
    La mesure d'un angle plat est nécessairement de 180°.
    Moui, et alors ? Tu es sûr que tu as lu ce que tu cites ? Pourquoi tu ne parles pas des triangles ?
  • Si tu te déplaces sur la terre et que tu traces un triangle qui commence au pôle nord, descend à l'équateur, fait un quart de tour, et remonte au pôle nord, tu trouveras un triangle que tu as su mesurer et dont chaque angle est 90°.

    Donc si même nous, pauvres humains, sommes capables de mesurer que la terre n'est pas plate avec des triangles, tu imagines bien que l'être mathématique idéal le peut aussi :-D
  • Bonjour Artemus24.

    "Il n'y a pas de contexte particulier à ma question. " Ben si ! Et tu le dis tout de suite après ... avec une citation qui parle de géométrie Riemannienne. Et que tu ne comprends tellement pas que tu confonds angle et somme des angles du triangle.

    Finalement, tu as bien appris ta leçon de géométrie plane : "La somme des angles d'un triangle fait 180° ", mais pas suffisamment le français pour comprendre que l'auteur de l'article ne parle pas de la géométrie que tu as apprise ...

    Il va te falloir apprendre à lire vraiment, à ne pas utiliser un mot pour un autre, à avoir suffisamment de précision langagière pour comprendre ce que tu lis. Si j'en juge par une de nos discussions d'il y a 3 ans, le problème n'est pas nouveau.

    Cordialement.
  • Salut à tous.
    maxtimax a écrit:
    Si tu te déplaces sur la terre et que tu traces un triangle qui commence au pôle nord, descend à l'équateur, fait un quart de tour, et remonte au pôle nord, tu trouveras un triangle que tu as su mesurer et dont chaque angle est 90°.

    Tu fais comme moi, la mesure des angles de ton triangle, aussi grand qu'il soit, ce fait dans un plan.
    Et je suis d'accord avec toi, que la somme des angles d'un triangle fait bien 180°.

    @ Gérard0 : oui, je suis déjà venu, il y a fort longtemps sur ce forum pour poser des questions de compréhensions.
    Peut-être que pour vous, il est évident que ma question parait stupide, mais je ne comprends pas comment peut-on avoir la somme d'un triangle qui soit inférieure ou supérieure à 180°.

    Répondez à mon interrogation : est-ce que la mesure d'un angle se fait dans un plan ?

    @+
  • Bonjour,

    Dans un plan, quand on mesure les angles d’un triangle, tous les angles sont mesurés dans UN MEME plan.

    Dans un sphère, quand on mesure un angle, on mesure cet angle dans le plan tangent à la sphère à cet endroit. Dans un triangle tracé sur la sphère, les angles sont mesurés dans DES PLANS DISTINCTS.

    Ton raisonnement (qui manque de rigueur) semble supposer que les angles sur la sphere sont dans un même plan. Et c’est faux.
  • Bonjour,

    Et tous les plans ne sont pas euclidiens.

    Cordialement,

    Rescassol
  • Artemus24,

    tant que tu interpréteras de travers ce que tu as lu, que tu ne comprendras pas qu'il ne s'agit pas de la géométrie que tu as apprise, mais d'une notion d'angle plus générale dans une géométrie différente, tu pourras continuer à venir dire "ce n'est pas vrai", tu es à côté de la plaque, tu ne fais que manifester une étroitesse d'esprit et refuser de lire ce qui est écrit. Au point de ne pas comprendre que "la géométrie riemannienne" n'est pas ta géométrie habituelle !!
    Il faut apprendre à lire; à lire tout, pas seulement un morceau de phrase. Tu te comportes comme l'ahuri qui entendant dans un film à la télé dire "il fait beau", regarde par la fenêtre l'orage et dit "mais non, il ne fait pas beau".

    Allez ! reviens sur terre !
    Cordialement.

    Aux modérateurs : Est-ce bien le bon forum ?? [édit : merci de l'avoir déplacé]
  • Bonjour à tous
    Quel théorème de géométrie cette figure illustre-t-elle?
    Amicalement
    [small]p[/small]appus122690
  • Bonjour.

    Il semble que ce soit, dans le plan, une généralisation d'un théorème communément appliqué à des triangles dont les côtés sont droits.

    Je ne vais pas me hasarder à citer le nom associé et au théorème initial et à cette généralisation, de peur de me faire vilipender pour attribution abusive.

    À bientôt.

    Cherche livres et objets du domaine mathématique :

    Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.

  • Salut à tous.

    Je ne suis pas mathématicien.
    Si je viens dans ce forum, c'est pour poser une question et avoir d'une part le respect qui m'est dû et d'autre part avoir un début de réponse.

    @ gérard0 : ce n'est pas en me disant que je suis un ahuri que j'arriverai à comprendre quoi que ce soit.
    YvesM a écrit:
    Dans un triangle tracé sur la sphère, les angles sont mesurés dans DES PLANS DISTINCTS.

    Il me faut des explications car je ne comprends pas ce que vous entendez par "DES PLANS DISTINCTS" ?
    La surface d'une sphère est un plan, non ?

    Un observateur de dimension deux, qui se déplace à la surface de cette sphère, lorsqu'il va faire la somme des angles va obtenir 180°.
    Si vous me répondez non, je ne comprends plus rien. Un triangle est inscrit dans un plan, non ?

    Si maintenant, vous raisonnez en trois dimensions, comment la mesure des angles se fait elle ?
    Donc à bien comprendre, vous mesurez chaque angle séparément, car ils sont dans des plans distincts.
    Puis quand vous faites la somme, vous dites que le résultat est > 180°.
    On m'a toujours dit que l'on additionne pas des carottes avec des navets.
    Si ce sont des plans différents, le bon raisonnement serait de projeter ces angles sur un autre plan et de faire la mesure.

    Je ne comprends pas comment on passe de la mesure d'un angle dans un plan donné, à celui de la somme des angles d'un triangle, dans un espace.
    Rescassol a écrit:
    Et tous les plans ne sont pas euclidiens.

    Il faut développer votre affirmation car je pense que mon erreur de raisonnement se trouve là.
    Un plan, c'est bien quelque chose en deux dimensions. De cela, pourquoi introduire une troisième dimension ?
    pappus a écrit:
    Cette figure illustre quel théorème de géométrie?

    Aucune idée.

    @+
  • Pour être vraiment respecté, il faut être respectable, en particulier accepter que les répondeurs en savent plus que toi, et lire vraiment leurs réponses. Dès le début, on t'a dit que tu confondais, que tu appliquais une règle de la géométrie euclidienne dans une situation qui n'était pas de la géométrie euclidienne, mais Monsieur Artemus sait mieux que tout le monde que la somme des angles d'un triangle fait 180°. Il le sait tellement qu'il ne lit pas le passage qui le surprend, ni les explications des matheux.

    Tant pis pour lui !
  • Mon cher Artemus
    Loin de moi l'idée de te manquer de respect!
    Tu dis toi même n'être pas mathématicien.
    Alors pourquoi t'intéresses-tu à des théorèmes de géométrie très difficiles que la plupart des participants de ce forum, qui n'ont que de vagues connaissances en géométrie, n'ont pas le début du commencement de l'idée de leurs démonstrations!
    Ma figure utilise une représentation plane de la géométrie sphérique qui a le bon gout de conserver les angles.
    Tu as sous les yeux trois arcs de grand cercle de la sphère que j'ai dessinés en rouge.
    Ils forment un triangle sphérique et les angles aux sommets se mesurent comme d'habitude dans un plan euclidien.
    Ce n'est pas du tout évident à montrer d'autant plus que la majeure partie des participants de ce forum ne sait même pas la définition d'un angle!
    Et comme tu le constates, la somme de ces trois angles est supérieure à 180°!
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • Bonjour,

    Une sphère est un plan : c’est faux.
  • Bonjour

    Et une sphère dépourvue d'un point ? Cf. ceci.

    Cordialement,

    Thierry Poma
  • C'est sidérant.

    Cherche livres et objets du domaine mathématique :

    Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.

  • Salut à tous.
    pappus a écrit:
    Alors pourquoi t'intéresses-tu à des théorèmes de géométrie très difficiles que la plupart des participants de ce forum, qui n'ont que de vagues connaissances en géométrie, n'ont pas le début du commencement de l'idée de leurs démonstrations!

    La curiosité. J'espère que la curiosité n'est pas un défaut.
    J'aime bien comprendre aussi.
    pappus a écrit:
    Ils forment un triangle sphérique et les angles aux sommets se mesurent comme d'habitude dans un plan euclidien.

    Un angle se mesure bien dans un plan euclidien, ça me rassure.
    pappus a écrit:
    Ce n'est pas du tout évident à montrer d'autant plus que la majeure partie des participants de ce forum ne sait même pas la définition d'un angle!

    Je ne pensais pas que ma question pouvait être aussi compliquée que cela.
    Moi-même, je ne connais pas la définition d'un angle.
    Mais j'ai supposé que cela se faisait dans un plan.
    pappus a écrit:
    Et comme tu le constates, la somme de ces trois angles est supérieure à 180°!

    Justement, je n'en sais rien. Comment mesure-t-on l'angle ?
    Selon moi, l'angle est formé par deux droites entre d'une part le point d'intersection des deux courbes et d'autre part un point sur l'une et l'autre des deux courbes et dont la droite qui coupe la courbe forme une tangente en ce point.
    Je ne sais pas trop si j'ai été suffisamment clair.

    Ce que je veux dire, c'est que la mesure de l'angle donnera n'importe quoi comme résultat.
    YvesM a écrit:
    Une sphère est un plan : c’est faux.

    La surface de la sphère forme bien un plan, non ?
    Tout comme la surface d'un tore forme aussi un plan.

    @+
  • Bonjour,
    La surface de la sphère forme bien un plan, non ?
    Non. Tu n'es pas mathématicien, soit. Mais tu devrais avoir au moins le bon sens de voir qu'une sphère, ce n'est pas un plan !
    L'angle de deux arcs de courbes lisses dessinés sur la sphère (par exemple des arcs de grands cercles) issus d'un point $P$ est l'angle formé par les deux vecteurs tangents à ces arcs de courbes en $P$, dans le plan tangent à la sphère en $P$.
  • Artemus, le fait est que tes deux dernières affirmations sont fausses :
    La surface d'une sphère, de même que celle d'un tore, est une surface courbe, possédant un rayon de courbure de valeur finie. Et la surface d'une sphère est toujours un objet d'un espace à TROIS dimensions.
    Et une surface plane est elle aussi un objet d'un espace à TROIS dimensions, que l'on peut voir comme une surface courbe dont le rayon de courbure est infiniment grand ... ce qui permet de la représenter sur un objet plat comme une feuille de papier.
    Pour t'en convaincre, réfléchis seulement qu'une feuille de papier possède bien TROIS dimensions : sa longueur, sa largeur et son épaisseur, dont la valeur n'est pas nulle, mais seulement inférieure de quelques ordres de grandeur à celles des deux autres dimensions ...
    Quand on fait de la géométrie "plane", on se place dans un "plan" que l'on considère comme un espace à deux dimensions parce qu'on a pour ainsi dire "évacué" la troisième ...
    Bien cordialement
    JLB
  • Bonjour,

    Quand tes affirmations sont fausses, elles sont fausses.

    Ce n’est pas la peine de demander confirmation.

    Tu ne comprends rien aux explications qui sont données.

    Tu le fais exprès ?

    Arrête de raconter des conneries. Une sphère n’est pas plan. Un tore n’est pas un plan.
  • Bonne Nuit à tous
    Ma figure a justement été faite en utilisant la projection stéréographique!
    Staggering isn'it?
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • Bonjour à tous
    Pour faire joujou avec la projection avec la projection stéréographique, c'était très très simple, autrefois.
    Aujourd'hui c'est devenu pratiquement mission impossible.
    Je tente un combat de la dernière chance!
    Vous tracez un cercle $\Gamma$ sur l'écran de votre ordinateur et vous décrétez que c'est l'équateur d'une sphère située de part et d'autre du plan de votre écran.
    Vous pouvez même imaginer que votre œil vigilant est situé au pôle Nord de la sphère et qu'il projette automatiquement un point $M\ $ de la sphère au point $m$ du plan de l'équateur c'est à dire justement sur votre écran.
    Pour le moment sur votre écran, vous contemplez le cercle $\Gamma\ $ et le point $m.\qquad$.
    Notons $M'$ le point diamétralement opposé au point $M$ sur la sphère.
    Où va se trouver sa projection $m'\ $ sur l'écran par rapport au cercle $\Gamma\ $ et au point $m?\qquad$
    Amicalement
    [small]p[/small]appus122740
  • Bonjour,

    Le symétrique par rapport à $O$ (centre du cercle) de l'inverse de $m$ par rapport au cercle.

    Cordialement,

    Rescassol
  • Bonjour Pappus,
    Avec tes conventions, il me semble bien que m' se trouve sur le diamètre du cercle passant par le point m, et en la position telle que Om = Om', puisque le centre O de la sphère est un centre de symétrie pour la sphère, et que le centre du cercle, qui est ce même point O, est un centre de symétrie pour le cercle.
    Bien amicalement
    JLB
  • Oui Rescassol, voici une coupe suivant le plan contenant $N$, $M$ et $M'$, où les droites $(NM)$ et $(NM')$ sont perpendiculaires :122746
  • Merci Rescassol
    Dans toute la suite, pour simplifier (?) les éventuels calculs, on peut toujours supposer que le cercle $\Gamma\ $ est notre divin cercle trigonométrique et donc que la sphère est la non moins sacrée sphère de Riemann.
    Ce que tu dis est exact mais cela mérite au moins une démonstration.
    On commence à se douter que tout ce qu'on va faire maintenant se passe sur notre écran.
    Tu n'as pas tout à fait identifié la correspondance $m\longleftrightarrow m'.\qquad$
    Elle porte un nom en géométrie (circulaire).
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • Merci Ludwig pour ta belle figure!
    La correspondance $m\longleftrightarrow m'\ $ est l'inversion de pôle $O$ et de puissace $-1.\qquad$
    Jelobreuil se fourvoie donc complètement.
    On vient de faire un premier pas minuscule dans la compréhension de la projection stéréographique, a small step for man?
    On va en faire un second puis un troisième
    1°Comment se projettent les grands cercles de la sphère passant par $M\qquad$
    2° On considère le groupe des rotations de la sphère d'axe $MM'.\qquad$
    Comment se projettent les orbites des points de la sphère sous l'action de ce groupe?
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • Les grands cercles passant par $M$ se projettent sur la droite $(Om)$. En particulier le projeté du pôle Sud est $O$, et le pôle Nord est envoyé à l'infini.
    Et sous l'action du groupe des rotations d'axe $OM$ les orbites des points de la sphère se projettent sur des cercles centrés sur $(Om)$.
  • Mon cher Ludwig
    C'est absolument n'importe quoi sauf pour les pôles Nord et Sud!
    Il est vrai que la projection stéréographique est difficile à codifier avec un logiciel de géométrie!
    Ceci explique peut-être cela!
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • YvesM a écrit:
    Bonjour,
    Une sphère est un plan : c’est faux.

    Et pourtant S2 muni des grands cercles et des couples de points antipodaux est bien un modèle de la géométrie plane absolue (ie la géométrie ou l'axiome/théorème des parallèles n'est pas vraie). Dans ce contexte S2 est un plan, les grands cercles sont des droites et les couple de points antipodaux sont les points.

    On fait vite d'oublier que les termes plan, droite, point en géométrie (quelque soit la géométrie qu'on considère) sont des termes indéfinis. C'est le modèle qui fait correspondre à ces termes des objets mathématiques concrets.

    S2 est un plan tout comme R2 ou Q2.

    Ceci dit, la question de Artemus24 était de savoir comment on peut définir les angles dans une géométrie non-euclidienne en prenant pour exemple la géométrie sphérique.
    Et dans S2 les droites sont les grand cercles ergo les segments de droites sont des arcs de grand cercle. D'ou on peut construire bien des triangles sphériques. Reste le problème de la définition/mesure des angles. Et ici on a plusieurs chemins, le premier c'est de définir l'angle en termes de 2 vecteurs en utilisant le plan tangent et sa structure euclidienne. On peut aussi faire comme le faisait Lobaschevski (un des inventeurs des géométries non euclidiennes) qui procédait par analogie avec le cas euclidien en notant que un angle (je confonds angle et sa mesure faites-moi un procès civil :)o ) représente une fraction de l'angle rond. Dans le cas euclidien on peut utiliser à cet effet n'importe quel cercle piusque le résultat est indépendant du rayon, dans le cas sphérique c'est plus subtil mais le concept reste le même.

    Référence : Nouveaux principes de la géométrie avec une théorie complète des parallèles de Lobaschevski
  • En effet, Pappus, j'avais mal lu ou mal compris ton énoncé, et j'ai répondu comme si mon oeil était placé, non pas au pôle nord de la sphère, mais à l'infini dans cette direction ...
    Au temps pour moi !
    Bien amicalement
    JLB
  • Bonjour à tous
    La sphère $\mathbb S^2\ $ où on identifie les points antipodaux, cela s'appelle le plan projectif.
    Et si on n'identifie pas les points antipodaux, cela s'appelle la sphère tout court qu'on peut considérer soit comme une variété riemannienne ou conforme suivant le groupe qu'on fait opérer dessus.
    Je pense qu'Artemus qui n'a visiblement aucune culture géométrique pensait à la sphère euclidienne.
    Il est vrai que lorsqu'on vit sur une sphère, il existe des gens très honorables qui pensent encore que la terre est plate et que toutes ces histoires de satellites ne sont qu'un vaste complot destiné à nous entuber !
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • Bonjour à tous
    Tout ce qu'il y a à savoir sur la projection stéréographique, c'est qu'elle est la restriction à la sphère d'une inversion dont le pôle est (traditionnellement) le pôle Nord $N\ $ et que sa sphère de points fixes est centrée en $N\ $ comme il se doit et contient l'équateur.
    Si on adopte la convention du cercle trigonométrique (de $\mathbb R^2\ $) et de la sphère de Riemann (de $\mathbb R^3\ $), on voit que la puissance de cette inversion est $2.\qquad$.
    La projection stéréographique transforme donc en général les cercles de la sphère en cercles de l'écran à l'exception de ceux qui passent par le pôle Nord qui se transforment en droites de l'écran.
    Un grand cercle de la sphère passant par $M$ passera obligatoirement par son antipode $M'$.
    Son image par la projection stéréographique est donc un cercle (du plan de l'équateur c'est à dire de l'écran) passant par les points $m$ et $m'$.
    Réciproquement tout cercle du plan de l'équateur passant par les points $m\ $ et $m'\ $ provient d'un cercle de la sphère passant par les points antipodaux $M$ et $M'$ donc d'un grand cercle.
    Il reste maintenant à répondre à ma deuxième question sur les orbites!
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
    PS
    Il faut bien comprendre que cette vision stéréographique de la sphère est une vision interne de celle-ci!
    On a pas accès à l'espace ambiant (de dimension 3) contenant la sphère.
    Les points de l'écran sont les images des points de la sphère par la projection stéréographique!
  • Ok pour les projections de grands cercles passant par $M$. En fait je n'avais regardé que celui qui passe par $N$, dont la projection est bien $(mm')$.
    Quant aux projections des orbites je ne vois pas pourquoi ce que j'ai écrit est faux : c'est quoi l'orbite d'un point $A$ de la sphère ? C'est bien le cercle d'axe $(OM)$ passant part $A$ non ? Auquel cas sa projection donne un cercle centré sur $Om$.
  • Mon cher Ludwig
    Le verre est à moitié vide ou à moitié plein!
    L'image d'une orbite est bien un cercle de l'écran centré sur $(Om)$ mais la réciproque est fausse.
    N'oublie pas que la projection stéréographique conserve les angles (dont plus personne ne connait la définition, soit dit en passant!),
    L'orbite d'un point est un cercle orthogonal en chacun de ses points $P$ au grand cercle passant par $P\ $ et par les points $M\ $ et $M'\ $.
    Que peut-on dire alors de l'image de cette orbite par la projection stéréographique dont on sait qu'elle a bon gout de conserver les angles, ( même si on ne sait pas ce que c'est!)?
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • Oui, donc ce que j'avais dit n'était pas absolument n'importe quoi.
    Les projections des orbites sont bien des cercles centrés sur $Om$. Et évidemment tous les cercles centrés sur $Om$ ne sont pas de telles projections. Quoi dire alors ? Ces projections sont orthogonales à celles de tous les grands cercles passant par $M$ et un point de l'orbite. Bon, je ne sais pas quoi faire de cela, sinon de trouver une relation entre la position de leur centre sur $Om$ et leur rayon.
  • Mon cher Ludwig
    Si tu ne sais pas quoi faire de cela, ce n'est pas ta faute mais celle de ceux qui ont voulu que tu restes ignorant.
    Aujourd'hui l'étude des cercles est limitée au cercle trigonométrique mais autrefois on avait la curiosité de s'intéresser à des familles de cercles qu'on appelait faisceaux et que Daniel Perrin appelle maintenant pinceaux!
    Tu vois par exemple que les grands cercles passant par $M$ ont pour images les cercles passant par $m\ $ et $m'.\qquad$
    Ils forment ce que nos anciens appelaient le faisceau de cercles à points de base $m\ $ et $m'\ $, tracés en bleu sur ma figure.
    Comme la projection stéréographique conserve les angles et en particulier l'orthogonalité, une orbite a pour image un cercle (tracé en rouge) orthogonal à tous les cercles bleus du faisceau précédent.
    Ils forment eux aussi un faisceau dit orthogonal ou conjugué du faisceau bleu, appelé faisceau des cercles à points limites (ou points de Poncelet) $m\ $ et $m'.\qquad$.Je te conseille de lire le Lebossé-Hémery pour en savoir plus ou de consulter le livre de Goblot: Thèmes de géométrie.
    En tout cas, on obtient la figure ci-dessous.
    Tu obtiens ainsi une représentation plane des parallèles et des méridiens de la sphère associés à l'axe $MM'$.
    Cela m'amène à poser la question suivante.
    Soit $P\ $ un point de la sphère et $P'$ son image par le retournement d'axe $MM'$.
    Soit $p\ $ l'image de $P\ $ par la projection stéréographique, où se trouve le point $p'\ $, image de $P'?\qquad$
    Amicalement
    [small]p[/small]appus122822
  • Bonjour à tous
    C'est clair que personne ne s'intéresse à ce que je raconte!
    A quoi bon continuer!
    Au moins vous reste-t-il l'article de Wikipedia!
    Et les triplets de points alignés ou de droites concourantes!
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • Bonsoir,

    Tu oublies que beaucoup d'entre nous sur ce forum n'ont pas que ça à faire, contrairement à toi.
    Bon, pour la position de $p'$ je ferais intervenir deux cercles : la projection du grand cercle passant par $M$, $P$ et $P'$ et celle de l'orbite de $P$. Ces deux cercles sont orthogonaux et se coupent en $p$ et $p'$.
    Amicalement,
    Ludwig
  • Et on peut donc construire à la règle et au compas, dans le plan de l'équateur, ce point $p'$. Soit $H$ le centre de la projection du grand cercle $MPP'$. La perpendiculaire à $(Hp)$ passant par $p$ coupe $mm'$ en $K$, centre de la projection de l'orbite de $P$. Et alors $p'$ est le symétrique de $p$ par rapport à la ligne des centres $(KH)$ :122958
  • Une rotation se décompose en produit de deux retournements, que peut-on faire de cela ici ?
  • Mon cher Ludwig
    Il y a d'une part la sphère éventuellement plongée dans l'espace et d'autre part le plan de l'équateur sur lequel projette la projection stéréographique à partir d'un point qu'on appelle le pôle Nord. mais les grincheux peuvent toujours l'appeler le pôle Sud si ça leur chante!
    Ce plan de l'équateur est matérialisé par l'écran de l'ordinateur.
    Par convention, les points de la sphère sont étiquetés par des lettres majuscules alors que leurs images par la projection stéréographique le sont par la lettre minuscule correspondante.
    Ne pas oublier donc que les points de l'écran sont des points du plan équatorial et qu'on a pas d'accès direct aux objets de l'espace euclidien dans lequel la sphère est plongée.
    Je ne reviens pas sur la projection $mm'\ $ du diamètre $MM'\ $ de la sphère dont j'ai longuement parlé.
    Cet axe $MM'\ $ définit un retournement de l'espace euclidien qui contient la sphère.
    Comme ce retournement laisse stable la sphère, il induit sur la sphère une transformation involutive que j'appellerai encore retournement.
    Ce retournement induit est encore une isométrie de la sphère. Là il faut déjà faire un petit effort pour comprendre la définition d'une isométrie de la sphère, c'et loin d'être évident. D'un point de vue interne de la sphère, on ne peut dire que le diamètre $MM'$ en est l'axe puisqu'il est extérieur à la sphère. Berger, par exemple, s'en tire en disant que les points $M\ $ et $M'\ $ en sont les pôles.
    Maintenant si tu prends une paire de pôles antipodaux $\{M,M'\}\ $ et un point $P$ de la sphère distinct de ces deux pôles, qu'obtient-on?
    D'une part le grand cercle méridien $(PMM')\ $ et d'autre part le cercle parallèle passant par $P$ et qui est l'orbite du point $P$ sous l'action du groupe des rotations d'axe $MM'\ $ laissant stable la sphère.
    Ce parallèle et ce méridien sont orthogonaux, passent par le point $P$ et aussi par le symétrique $P'\ $ du point $P\ $ par rapport à l'axe $MM'$, lequel point $P'\ $ étant lui aussi sur la sphère.
    Quand on projette tout de fourbi sur le plan de l'équateur, qu'obtient-on?
    Le grand cercle $(PMM')\ $ devient le cercle rouge $(pmm')\ $.
    Le parallèle devient je l'ai dit le cercle bleu du faisceau conjugué, c'est-à-dire du faisceau à points limites $m\ $ et $m'\ $passant par $p\ $
    Ce cercle bleu et ce cercle rouge se recoupent au point $p'\ $, image de $P'\ $
    Tu as tracé sur ta figure ce cercle bleu, bravo!
    Maintenant le quadrangle $(m,m',p,p')\ $ n'est pas quelconque!
    De quel adjectif (plus ou moins défunt aujourd'hui) peut-on qualifier ce quadrangle?
    Amicalement
    [small]p[/small]appus123034
  • Euh, euh... harmonique ! :-)
    Mais honnêtement je devrais plutôt utiliser l'adjectif mystérieux pour qualifier ce quadrangle $(m,m'p,p')$...
    Je dirais quand même que le fait qu'il soit harmonique peut sans doute se prouver à partir de la construction que j'en ai faite plus haut.

    Bon, on a alors $pm \times p'm'= mp' \times m'p$, mais quoi faire de cela ? Je ne vois pas.
    Un quadrangle harmonique provient-il nécessairement d'une inversion de quatre points alignés, je pense que oui. Mais idem, quoi faire de cela ? Rien trouvé qui puisse m'aider dans le sacro-saint Lebossé Hémery.
  • Mon cher Ludwig
    Si tu as le Lebossé-Hémery et je crois qu'on peut l'avoir en ligne, tu y trouveras les quadrangles harmoniques sous leur aspect euclidien.
    Mais ce sont des objets circulaires et pour le voir il suffit de le montrer pour les inversions.
    C'est sans doute proposé en exercice dans ce livre.
    Et justement une inversion, tu en as une sous la main, à savoir la projection stéréographique elle même!
    Amicalement
    [small]pappus[/small]
    PS
    La preuve!!123060
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