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Marche aléatoire symétrique avec arrêt sur N

Bonjour,
je cherche à établir qu'une marche aléatoire symétrique avec saut de $+1$ ou $-1$ est récurrente nulle.

Par exemple avec cette probabilité de passage de $x$ à $y$ avec $p>\frac{1}{2} $ :
$$
P\left( x,y\right) =\left( 1-p\right) 1_{\left( y=x+1\right) }+\left( 1-p\right) 1_{\left( y=x=1\right) }+\left( 2p-1\right) 1_{\left( y=x\right) }.

$$ On trouve souvent dans la littérature des preuves mais sans arrêt. C'est-à-dire +1 avec probabilité $p$ et $-1$ avec probabilité $1-p$ sur la chaîne de Markov.

Quelqu'un a-t-il une référence bibliographique ou une idée de preuve dans le cas présent ?

Réponses

  • Bonjour,

    Tu peux le démontrer
    1) Soit en écrivant (proprement, c'est un peu pénible) que ta marche peut être couplée avec la marche classique, dont elle est seulement un "ralentissement"
    2) Soit en utilisant l'interprétation "réseaux electriques" des marches aléatoires. C'est alors immédiat. Lien : Cours "Random walks and praphs" (Nicolas Curien)
    3) Soit "à la main" en regardant la série $\sum \mathbb{P}(S_n=0)$.
  • Posons pour simplifier $q=2-2p\in ]0,1[$ et considérons la suite de va $(Y_n)_{n\geq 1}$ iid de loi $\frac{q}{2}\delta_1+\frac{q}{2}\delta_{-1}+(1-q)\delta_0.$ Alors la chaîne de Markov n'est autre que $S_n=Y_1+\cdots+Y_n$ et tu veux montrer que $I=\sum_{n=0}^{\infty} \Pr(S_n=0)=\infty$ et que $\Pr(S_n)\to 0.$ Pour cela tu utilises
    \begin{align*}
    \mathbb{E}(e^{itY_1})&=1-q+q\cos t,\\
    \mathbb{E}(e^{itS_n})&=(1-q+q\cos t)^n,\\
    \Pr(S_n=0)&=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}(1-q+q\cos t)^ndt,\\
    I&=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{dt}{q-q\cos t}=\infty.
    \end{align*}
  • Un grand merci ! Mais j'ai une petite question :

    $I=\frac{1}{2\pi } \int^{2\pi }_{0} \frac{dt}{q-q\cos t} =\infty $ pourquoi cela n'est pas suffisant ?

    Pourquoi prouver que $P\left( S_{n}\right) \longrightarrow 0$ ?
  • $I=\frac{1}{2\pi } \int^{2\pi }_{0} \frac{dt}{q-q\cos t} =\infty$ montre que la marche est récurrente.

    $P\left( S_{n}=0\right) \longrightarrow 0$ montre que la marche est récurrente nulle.
    (et non pas $P\left( S_{n}\right) \longrightarrow 0$)

    Mais je crois que comme la marche est irréductible et avec une infinité d'états, elle est automatiquement nulle.
  • Merci à vous !
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