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Nombre de triangles

Bonjour tout le monde
De combien de façons peut-on découper un triangle scalène en quatre triangles de même aire ?
Merci d'avance

Réponses

  • J'ai un triangle ABC
    Je choisis un point D , n'importe où sur le segment AB ; pas trop n'importe où quand même, si je le prend trop près de A, la suite ne marchera pas.
    Je construis E tel que le triangle ADE ait la surface voulue (un quart de la surface de ABC)

    Il me reste un quadrilatère DBCE ; J'ai 4 façons de placer le point F (sur chacun des 4 segments DB DB CE ED ) , mais pour que les surfaces obtenues soient toutes égales, il faut que le segment DE ait une position bien choisie.

    Donc, en prenant ADE comme triangle de base, on aurait apparement 4 solutions (c'est un maximum... peut-être que pour certains cas, on aurait moins ???? )
    Idem pour B, idem pour C
    Donc 3x4=12.
    Mais , la solution avec D sur le segment AB, E sur le segment AC et F sur le segment BC a été comptée 3 fois dans ce décompte.
    Donc 10 solutions en tout de ce type.

    Par ailleurs, on peut choisir un point M 'central', tel que les triangles ACM et ABM aient la surface voulue (une seule solution) Il faudra alors découper le triangle BCM en 2 triangles de même surface, et on a 3 solutions.
    Et on a donc 3x3=9 solutions de ce type.

    Total : 10+9=19.
  • Bonjour

    Bon, Lourran, tu fais quoi ? Tu réfléchis à voix haute ou tu donnes une solution ? Il faudrait que tu commences par une phrase qui nous l'indique.
    Ne manque-t-il pas dans ton raisonnement, le fait de couper un côté en 4 de telle sorte que chaque aire des triangles partant du sommet opposé fasse 1 quart du total ? Il y a alors 3 découpages en plus.
  • Je réfléchissais à voix haute. Effectivement, voilà 3 découpages de plus, que je n'avais pas vu venir , et qui sont incontestables.
    Je m'attendais plus à voir arriver des remarques disant que j'avais proposé un nombre trop grand.
    J'ai en fait un gros doute sur le premier groupe de 10.
  • image.jpg

    D'après cet article, il y a 23 types de découpages sans s'occuper de l'aire. Reste à voir si on peut toujours faire ces 4 aires égales.
  • La forme B4 ! oubliée dans nos réflexions.
  • Je n’ai pas lu...
    Je m’interroge tout de même : comment savoir, justement, que l’on a vraiment trouvé tous les découpages ?

    Autre question : la couleur bleue dans ces schémas, quelle en est la raison ?

    Si c’est marqué quelque part, fouettez-moi !
  • J'en compte 27, mais je dois me tromper.

    L'idée : pour partager 1 triangle en 2 : 3 solutions. D'où en 3 : 9 et en 4 : 27 solutions.
  • C'est une récurrence si je comprends bien.
    On coupe "en deux" triangles et chaque triangle peut être découpé encore en deux, etc.
    Mais loupe-t-on un truc "non héréditaire" ?
  • Nodgim
    Dans ton raisonnement, tu coupes un triangle en 2 ... en 2 triangles ou en un triangle et un quadrilatère, ou indifféremment ?
    Je pense que dans ton décompte, soit tu oublies la configuration 'B5', soit tu la comptes plusieurs fois.
  • Dom a écrit:
    comment savoir, justement, que l’on a vraiment trouvé tous les découpages ?

    Bonne question. C'est pour cela que j'ai mis "types" en gras. L'article dénombre les découpages au sens topologique. Si j'insiste avec ma proposition, les 3 découpages sont résumés par la seule solution B15. Il faut donc faire tourner. Mais B4 ne permet pas de "faire tourner". Et quand je vois B5, je me demande si il n'y a pas une infinité de solutions, rien que pour cette sorte de découpage B5.

    À suivre.
  • Je suis très intéressé par l'article de Delahaye cité par PetitLutinMalicieux. J'ai regardé deux écrits cités dans sa bibliographie, mais ils ne traitent pas de la question qui donne son titre à cet article : le découpage d'un triangle en triangles. Je regrette de ne pas disposer de l'intégralité de cet article, et j'aimerais savoir s'il donne le nombre de découpages en 5 triangles ou plus.
    Bonne après-midi.
    Fr. Ch.


    .
  • Je n'en ai plus 27, mais 81 maintenant.

    Combien trouvez-vous de découpes d'un triangle en 3 triangles de même aire ? j'en ai 15, soit 18 - 3 redondants.
  • Bonjour,

    voir A056814 dans O.E.I.S.

    Bien cordialement.

    kolotoko
  • Bravo kolotoko, j'avais cherché sans trouver.
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