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Codes de cadenas

Bonjour
Je demande une explication sur la différence entre ces 2 problèmes.

Si on a un code de cadenas à 3 chiffres et on veut que les 3 chiffres soient distincts: on calcule avec un arrangement si on veut toutes les possibilités.

Si on a un code de cadenas à 4 chiffres et on veut que seulement 2 chiffres soient distincts : on calcule avec des combinaisons si on veut toutes les possibilités.

Pourquoi dans un cas l'ordre compte puisqu'il y a arrangement et dans l'autre l'ordre ne compte pas puisqu'il y a combinaison.
Merci d'avance.

Réponses

  • Ce n'est pas vraiment une question d'utiliser arrangement ou combinaison qui compte, mais de comment les utiliser.

    Par exemple pour un "un code de cadenas à 3 chiffres et on veut que les 3 chiffres soient distincts" voici trois raisonnements possibles (qui donnent bien sûr le même résultat) :
    - j'ai 10 choix pour le premier chiffre, 9 choix pour le second (indépendant du premier), 8 pour le troisième, donc 10*9*8 au total.
    - je choisis trois éléments parmi 10 et l'ordre à de l'importance, donc $A^{10}_3$ possibilités
    - je choisis trois numéro parmi 10 sans tenir compte de l'ordre, donc $\begin{pmatrix} 10 \\ 3 \end{pmatrix}$ possibilité, qu'il faut ensuite ordonner (3! possibilités), ce qui fait donc $\begin{pmatrix} 10 \\ 3 \end{pmatrix}*3!$ possibilités

    Ces trois raisonnements peuvent s'adapter à ton second exemple, avec plus ou moins d'effort.


    Dernier point dans ton second exemple "on veut que seulement 2 chiffres soient distincts" est sujet à interprétation : est-ce "exactement deux chiffres distincts" ou "au moins deux chiffres distincts" ?
  • Dans l'énoncé c'est écrit << 2 chiffres soient distincts et 2 seulement >>.
  • "2 chiffres soient distincts et 2 seulement" est synonymes de "exactement deux chiffres distincts".
    Dans ce cas le raisonnement le plus simple est le troisième : je choisis quel chiffres (donc deux parmi 10), puis comment je les place (attention il y a des répétitions, donc pas 4! possibilités)

    Mais on pourrait également faire le premier, c'est juste beaucoup plus long et source de d'erreurs.
  • Il y a 2 formules de cours (arrangements et combinaisons).
    Ces 2 formules correspondent à des cas particuliers bien précis. Par exemple, le cas du cadenas, où on refuse d'avoir 2 chiffres identiques.
    Mais dès qu'on a des cas un peu plus particuliers (un cadenas avec 4 chiffres, dont exactement 2 identiques ...), c'est une autre histoire. Ces cas plus complexes, on peut les compter de différentes façons, en utilisant des arrangements, ou des combinaisons.
    On peut d'abord compter le nombre de possibilités totales, puis supprimer celles qui ne vérifient pas les contraintes, on peut aussi dire que s'il y a 4 chiffres dont 2 identiques, il y a en fait 3 chiffres, et commencer le calcul en cherchant le nombre de façons de choisir 3 chiffres différents, puis ensuite choisir quel chiffre apparaîtra en double etc etc.

    Dès qu'on sort du cas ultra-particulier et ultra-simple du cours, il faut réfléchir. On n'applique plus une recette toute faite.

    Comme montré par Sylviel, il y a ici 3 raisonnements, il faut faire ce travail de recenser les différents raisonnements possibles. Et ensuite choisir le raisonnement qui paraît le plus simple.

    Ca peut aussi être très utile (très pédagogique) de poser les 3 raisonnements, et de faire les calculs avec les 3 façons d'aborder le problème.
    Si les 3 calculs donnent le même résultat, tout va bien.
    Si on a différents résultats, c'est qu'il y a une erreur quelque part, soit dans un des raisonnements, soit dans un des calculs.
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