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Question variables aléatoires, indépendance

Soit une urne contenant des jetons de 1 à n (avec n >=2). On note N la variable aléatoire égale au nombre de jetons tirés et Xi la variable aléatoire valant 1 si la poignée contient le jeton i et 0 sinon. On suppose aussi que la "taille" des poignées sont équiprobables, c'est-à-dire qui suit une loi uniforme sur {0,1,...,n}.

Je bloque pour calculer P(Xi=1 | N=k)

J'ai posé la formule P(Xi=1 | N=k) = (P(N=k, Xi=1))/P(N=k)
Le problème c'est que je n'arrive pas à calculer P(N=k, Xi=1).
Intuitivement, j'aurais tendance à dire que les variables N et Xi sont indépendantes et donc P(N=k, Xi=1) = P(N=k) x P(Xi=1).
Mais je ne suis vraiment pas sûre. Quelqu'un peut-il m'aider ?
Je vous remercie.

Réponses

  • Cela défie le bon sens de dire que $N$ et $X_i$ sont indépendantes. N'est-il pas naturel de penser que plus on tire de jetons, plus la proba de tirer un jeton donné augmente ?

    Voyons, sachant que $N=n$, quelle est la proba de tirer le jeton numéro 1 ? et sachant que $N=0$ ? et que $N=1$ ? Est-ce qu'elles peuvent vraiment être indépendantes ?

    Imagine la situation suivante : on tire $k$ jetons parmi $n$. Peux-tu alors calculer la proba que $X_i=1$ ? Ne peux-tu pas en déduire une probabilité de la forme $\mathbf{P}(X_i=1\mid\cdots)$ ?
  • En effet, je n'avais pas pensé comme ça. Maintenant ça me semble plus évident qu'ils ne peuvent pas être indépendants. Je vais désormais réfléchir au problème de trouver (P(N=k, Xi=1).Mais j'avoue que je ne vois pas comment pendant ce temps...
  • Voici ce que je pense :

    pour tout k de {1,...,n},

    P(N=k, Xi=1) = k/n ? car plus la poignée contient de jetons numérotés de 1 à n, plus on a de chance de trouver Xi = 1. Cela revient à calculer la probabilité de Card(k)/Card(n)

    j'avais trouvé : P(N=k) = 1/n car les tailles des poignées sont équiprobables. Est-ce que déjà ce résultat est bon ?

    Quand je pose le calcul,

    P(Xi=1 | N=k) = (P(N=k, Xi=1))/P(N=k)

    Je trouve P(Xi=1 | N=k) = k. C'est impossible. Du coup, je suis trompée mais je n'arrive pas à trouver le bon raisonnement. Il faut utiliser les lois de Bernoulli ou binomiale ? Mais je ne vois pas en quoi elles correspondent à cette expérience.
  • Bonsoir,

    Un peu de bon sens !
    Tu tires au hasard k jetons parmi les n. Quelle est la probabilité qu'il y ait le jeton n° i parmi ces k jetons ?
    Cette probabilité, c'est la probabilité de tirer le jeton i sachant qu'on a tiré k jetons.
  • P(Xi=1 | N=k) = k/n ?
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