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Masse volumique

Bonjour à tous
La masse volumique est une grandeur positive en physique... Comment montrer que c'est positif en mathématiques
?
Merci d'avance

Réponses

  • Bonjour
    si tu as des problèmes avec ça, donne nous une définition de la masse volumique "en mathématiques" alors tu auras peut être une réponse de quelqu'un du forum.
  • La masse volumique est une grandeur intensive définie localement, en tout point M d'une substance :
    ${\displaystyle \rho (\mathrm {M} )={\frac {\delta m}{\delta V}}}{\displaystyle \rho (\mathrm {M} )={\frac {\delta m}{\delta V}}}$
    où ${\displaystyle \delta V}\delta V $ désigne un volume infinitésimal entourant $M$, et ${\displaystyle \delta m}{\displaystyle \delta m}$ la masse (infinitésimale aussi) de la portion de substance occupant ce volume.
  • Comment montrer que c'est positif en mathématiques

    Tu ne peux pas le démontrer sans faire appelle à la physique. La masse volumique est par définition le rapport entre deux grandeurs physiques la masse et le volume. Le volume est positif par définition et la positivité (et la nature scalaire) de la masse découlent des expériences de physique.
    A t-on jamais observé une masse qui accélère en direction contraire à celle de la force qui lui est appliquée ? Non, par conséquent la masse est positive. Et le rapport de deux grandeurs positives est une grandeur positive.
  • Tu considères la masse comme une mesure $\sigma$ finie et absolument continue (c'est une représentation classique des volumes en mathématiques), la masse volumique est alors la densité de cette mesure (la dérivée de Radon Nikodym), et on peut démontrer qu'elle est positive presque partout (et unique à ensemble négligeable près).

    Ta propriété de limite se ramène alors au théorème de différentiation de Lebesgue (la masse volumique c'est la "dérivée" de la masse par rapport au volume, la masse étant définie alors comme l'intégrale de la masse volumique sur le volume).
  • Bonsoir à tous
    Svp quand vous parlez de mesure absolument continue c'est par rapport à quel mesure
  • Par rapport à la mesure de Lebesgue. Sachant que si tu veux démontrer une propriété mathématique, il faut bien faire des hypothèses à un moment donné, qui sont discutables ensuite du point de vue physique.
  • Merci...
    Si vous avez des documents qui pourront m'aider veuillez me les envoyer.
  • T'aider à quoi ?
  • Pour la démonstration...je voudrais un document d'appui
  • Supposons que la masse volumique ne soit pas presque partout positive. Considérons l'ensemble $A$ (mesurable car la masse volumique l'est par définition) où elle est strictement négative. Alors $A$ est de mesure strictement positive (sinon par définition l'ensemble où la masse volumique est strictement négative serait négligeable).

    Et donc l'intégrale de la masse volumique sur $A$ (qui est la masse de $A$ par définition) est strictement négative, ce qui est absurde.

    N.B : L'intégrale d'une fonction $f$ strictement négative sur un ensemble de mesure $A$ strictement positive est négative. En effet, $A = \cup_{n\in\mathbb N^*} \{ x \mid f(x) < -1/n\}$. Donc par continuité monotone, il existe $n \neq 0$ tel que $B = \{ x \mid f(x) < -1/n\}$ soit de mesure strictement positive. Et alors $\int_A f \leq -1/n \lambda(B) < 0$.
  • Merci ...Mais je ne vois pas votre ensemble A|
  • $A = \{ x \in\mathbb R^3 \mid \rho(x) < 0\}$ avec $\rho$ la masse volumique telle que définie dans mon premier message.
  • Dans la définition de A au niveau de NB
    ... j'ai l'impression que c'est inférieur ou égal où je me trompe.
  • J'ai corrigé, mais le inférieur ou égal ne change rien par rapport au strictement inférieur.
  • D'accord
    Merci beaucoup.
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