Irrationalité par passage à la puissance ?

Aguelord · October 2020

Bonjour, si $a$ et $b$ sont deux irrationnels, que dire de $a^b=e^{b\ln(a)}$ concernant son irrationnalité ou non ? Je le vois mal être rationnel... Est-ce un résultat connu ?

Bonne soirée.

Math Coss · October 2020

C'est forcément un peu délicat. Choisis $a$ irrationnel à ta guise et pose $b=\ln(3/2)/\ln(a)$ : c'est, selon toute vraisemblance (plus précisément : pour toute valeur de $a$ sauf un nombre dénombrable), un irrationnel, alors que $a^b=3/2$.

Lucas · October 2020

Et pourtant... L'une des deux choses suivantes est vraie :

$\sqrt{2}^\sqrt{2}$ est rationnel (et c'est donc un irrationnel à une puissance irationnelle).
$\sqrt{2}^\sqrt{2}$ est irrationnel, mais alors $(\sqrt{2}^\sqrt{2})^\sqrt{2}=\sqrt{2}^2=2$ est un irrationnel à une puissance irrationnelle.

Poirot · October 2020

Le théorème de Gelfond-Schneider dit que si $a$ est algébrique différent de $0$ et $1$ et $b$ est algébrique irrationnel alors $a^b$ est transcendant (en particulier irrationnel). Donc tu as une pelletée d'exemples qui sont irrationnels (comme le $\sqrt 2^{\sqrt 2}$ de Lucas). Comme l'a expliqué Math Coss, tu peux aussi obtenir tout pleins de rationnels.

ev · October 2020

Tu peux aussi démontrer qu'il existe un réel $ x $ tel que $ x^x = 2 $, puis que ce réel est irrationnel.

e.v.

Irrationalité par passage à la puissance ?

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