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Équation générale du 5ème degré

Bonjour

Niels Abel a démontré dans un mémoire qui date de 1824 (je ne peux pas le joindre, trop gros en taille, mais on le trouve facilement), l'impossibilité de la résolution de l'équation générale du 5ème degré. Paolo Ruffini l'avait précédé, mais sa démonstration comportait une faille.

Savez-vous s'il existe une transcription de la démonstration d'Abel en langage mathématique moderne ?
Merci d'avance.

Réponses

  • Il y a un bouquin d'Arnold sur le sujet. Je crois même que ce bouquin va être réédité en français par Cassini.
  • Bonjour.

    Voici le mémoire en pièce jointe.

    Édit : et voici un mémoire sur la démonstration d'Arnold.

    A bientôt.

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  • Merci à vous. Le théorème d'impossibilité démontré par Arnold a l'air très intéressant, mais n'est pas une transcription de la démonstration d'Abel. C'est l'aspect historique qui m'intéresse. De ce que je comprends, la théorie de Galois telle qu'on la connait à l'heure actuelle a connu plusieurs étapes dans sa mise en oeuvre. Le théorème d'impossibilité du 5ème degré est la 1ère étape (après bien sûr la résolution de l'équation générale pour les degrés 2, 3 et 4).
  • Effectivement.

    D'ailleurs, à la fin du mémoire d'Abel, il y a bien un embryon de théorie des groupes de permutation des racines, avec analyse du nombre d'éléments de part et d'autre de l'équation.

    Pour une vision "moderne", il vaut mieux considérer la théorie de Galois mais faire l'analyse des évolutions depuis le mémoire de Galois jusqu'à aujourd'hui est un sacré travail.

    Je ne pense pas que Galois lui-même comprendrait facilement la version moderne de sa théorie.

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  • Merci Dreamer. Ce qui m'intéresse, c'est davantage ce qui s'est passé avant Galois, c'est-à-dire comment a été obtenue l'intuition sur les groupes de permutations des racines de l'équation.

    Le sujet parait assez complexe : il faut comprendre les méthodes de résolution des équations qui ont précédé Galois (3ème et 4ème degré, méthodes de Cardan, Ferrari, Lagrange, théorème d'Abel, etc...).

    Ce qui a suivi Galois me parait un peu plus facile : une fois l'intuition obtenue, les groupes, notamment le groupe symétrique, ont été étudiés, formalisés, la méthode sur les équations à coefficients rationnels a été généralisée à des corps quelconques (comportant des racines, ou des corps finis,...), les théorèmes dont on avait l'intuition ont été démontrés. Cela a amené (j'imagine) à introduire tout le vocabulaire de la théorie de Galois (extensions de corps, corps de décomposition, corps de rupture, extension algébrique / transcendante, de degré fini ou infini, normale, séparable, radicale, extension galoisienne, groupe de Galois d'un polynôme, etc... ). Cette histoire m'intéresse moins, bien que le sujet soit très intéressant.
  • Tu peux consulter le livre Galois Theory de Harold M. Edwards.

    et le livre, Algebraic equations, an introduction to the theories of Lagrange and Galois, de Edgard Dehn, 1930.

    (voir https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=uc1.b4063019 ) deux livres en langue anglaise.
  • Il y a aussi ce livre:

    Galois theory for the beginners, a historical perspective, de Jörg Bewersdorff (Anglais traduit de l'Allemand)
  • Merci. J'ai trouvé aussi ça aussi (en français ;-) en consultant Wiki : https://fr.wikiversity.org/wiki/Équation_du_quatrième_degré/Méthode_de_Lagrange

    Cours d'Algèbre Supérieure par Serret (1854) :
    https://books.google.fr/books?id=g3RaAAAAcAAJ&pg=PA237#v=onepage&q&f=false

    Oeuvres de Lagrange (réflexions sur la résolution géométrique des équations en P205) :
    https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k229222d/f264.image

    C'est évidemment toujours écrit dans le formalisme de l'époque.
  • L. Lafforgue conseille la lecture de "Galois Theory" de Stewart qui comporte une importante mise en perspective historique.
    "J'appelle bourgeois quiconque pense bassement." Gustave Flaubert
  • Merci xax. Bon livre on dirait.
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