$(xy)^n = yx \Rightarrow $ loi commutative — Les-mathematiques.net The most powerful custom community solution in the world

$(xy)^n = yx \Rightarrow $ loi commutative

Bonjour,
je fais l'exercice suivant.

Soit $(E, \cdot)$ un magma associatif tel qu'il existe $n \in \mathbb{N}, n \geq 2$ tel que pour tout $(x,y) \in E^2, (xy)^n = yx$. Montrer que $\cdot$ est commutative.

J'aimerais savoir si ce que j'ai fait est juste, parce que l'indication a l'air de partir dans une direction différente.
Je remarque que si $E$ admet un neutre, alors le résultat est facile à montrer. En effet, soit $(x,y) \in E^2, (xe)^n = ex = x^n$. De même, $y = y^n$. Ainsi, on a $(xy)^n = xy = yx$ d'après l'énoncé. D'où le résultat.
Sauf qu'on a un magma, donc il ne contient pas forcément de neutre pour $\cdot$ ! Pour montrer qu'il en existe un, voilà ce que j'ai fait.
On a $(xx)^n = x^{2n} = x^2$. Comme $\cdot$ est associative, on peut réécrire $x^{2n} = x^2x^{2n-2} = x^{2n-2}x^2 = x^2$. On a donc montré que $E$ admet un neutre: il s'agit de $x^{2n-2}$. Je termine l'exercice avec ce qui est écrit plus haut.

Est-ce juste ?
Merci d'avance, bonne journée !

Réponses

  • Bonsoir,

    Une remarque en passant : un élément neutre de ton magma (et même de tout magma), lorsqu'il existe, est unique.

    Cordialement,

    Thierry
  • Bonjour,
    Non, tu ne sais pas si $x^{2n-2}$ est un neutre. Tu as montré $\forall x, \exists e_x, x^2e_x = e_xx^2=x^2$, mais pour avoir un neutre il faut $\exists e,\forall x, xe = ex=x$. Donc il y a deux problèmes : $e_x :=x^{2n-2}$ dépend de $x$ et tu n'as trouvé des "neutres partiels" que pour les éléments qui sont des carrés.
  • Merci Calli, c'est très clair comme ça!
    Merci aussi Thierry!
    Je posterai ce que j'ai fait quand j'en aurais fini avec cet exo.
    Bonne soirée!
  • > Je remarque que si $E$ admet un neutre, alors le
    > résultat est facile à montrer. En effet, soit
    > $(x,y) \in E^2, (xe)^n = ex = x^n$. De même, $y = y^n$. Ainsi, on a $(xy)^n = xy = yx$ d'après
    > l'énoncé. D'où le résultat.

    Ce passage est vraiment à réécrire. Je sais que marco avait posté une solution dans le passé, mais je ne me rappelle plus. Aussi je t'ai lu et le passage m'a fait galérer t'imagine même pas.

    Tu as voulu écrire $\forall x: x^n=x$. Or tu affirmes 2 fois la même chose du coup en le répétant avec $y$, et on ne pense pas que tu t'en sers pour $(xy)^n=xy$.

    Un correcteur un peu pressé aurait zappé.
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  • J'ai retrouvé le sujet: www.les-mathematiques.net.
  • Ah MERCI INFINIMENT MARCO!
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  • Salut !

    Chaurien: Oups, merci ! Je vais corriger ça.

    christophe c: Merci, oui c'est vrai que ce n'est pas clair.. je réécris:
    Supposons qu'il existe $e \in E$ un neutre pour $\cdot$. Soit $x \in E$. On a $(xe)^n = x^n$ et d'après l'énoncé, $(xe)^n = ex = x$. Donc, pour tout $x \in E, x^n = x$. Soit $(x,y) \in E^2$ Comme $xy \in E, (xy)^n = xy$. Or, d'après l'énoncé, $(xy)^n = yx$. D'où $xy = yx$.
    Bon, il y avait sûrement moyen de rendre ça plus court encore, mais au moins je pense que c'est clair comme ça!

    christophe c et Marco: Merci pour le fil, mais je vais essayer de le faire par moi-même pour l'instant!

    Comme j'ai regardé les indications (cf premier message), je sais qu'il faut que je montre que $xy = (xy)^{n^2} = yx$. La première égalité ne pose pas de problème, mais la seconde c'est autre chose.. Cet exo me semblait pas trop difficile à vue de nez, pourtant! Je dois passer à côté de quelque chose. Je reviens vers vous quand j'ai trouvé..
  • Bonjour,
    j'ai trouvé un certain nombre de propriétés, mais toujours rien qui prouve ce que je cherche... Pourriez-vous me dire si les "méthodes" que j'ai trouvées pour faire du calcul dans $(E, \cdot)$ me permettront de prouver le résultat voulu ? J'ai l'impression de passer à côté de quelque chose de gros...

    Soit $(x,y) \in E^2$.
    Tout se fait bien sûr en modifiant l'emplacement des parenthèses, donc par associativité.

    "Méthode 1": $x(yx)^{n-1}y = (xy)^n$. On la trouve en écrivant de façon développée $(xy)^n$ puis en parenthésant en retirant le premier $x$ et le dernier $y$.
    "Méthode 2": $x^2y = yx^2$. On la trouve en écrivant $xyy = (yx)^ny = y(xy)^n = yyx$ .
    "Méthode 3": $x(xy)^n = (yx)^nx$.
    "Méthode 4": $(xy)^{n^2} = xy$.
    Bien sûr tous les résultats sont vrais en remplaçant $x$ et $y$.

    Est-ce que je peux trouver le résultat juste avec ces méthodes ? Suffit-il de réécrire les choses pour que le résultat finisse par apparaître ? Cela fait un moment que je bricole et je sèche...
    Merci d'avance.
  • La preuve que $(xy)^{n^2}=yx$ (la partie de l'égalité qui te manque) se fait en une ligne. Il n'y a pas de "méthode" et rien à construire. En fait l'indication vend la mèche car sans elle...
  • Merci Blueberry, je pense bien que ça ne doit pas être très difficile mais je ne vois vraiment pas... ce n'est pas faute d'avoir essayé pendant un moment pourtant.
  • Je te mets la solution en blanc au cas où ça t'énerverait trop

    sol : [size=large]$[(xy)^n]^n=[xy \times (xy)^{n-1}]^n=(xy)^{n-1} \times xy=(xy)^n=yx$.[/size]
  • Merci beaucoup. J'étais passé complètement à côté.

    Bonne soirée.
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