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Interrogations sur le calcul infinitésimal

Bonjour,
Je vous partage deux interrogations qui me viennent suite à l’étude de résolutions « physiciennes » d’ED (équations différentielles) :
- je ne comprends pas qu’on puisse dire que quand X=cst*x alors dX^2= cst^2*dx^2
- lors de résolutions on utilise souvent l’approximation deltaX/deltaY = dX/dY que je trouve aberrante puisque la linéarité est très souvent grossièrement fausse ! Qu’est-ce qui justifie cette liberté très fréquente en physique ?
Merci beaucoup.

Réponses

  • Bonjour.

    1) comme dX=Cst dx, (dX)² = cst² dx². Attention, (dX)² n'est pas d(X²) : d(X²) = 2 Cst² x dx.
    2) si X est une fonction suffisamment régulière de Y, pour un delta Y suffisamment faible, la linéarité approximative est d'autant mieux réalisée que le delta Y est faible (voir les développements limités). Et dans de nombreux cas, en physique, les fonctions sont supposées bien "lisses".

    Cordialement.
  • Merci donc 1) toutes les règles de calcul restent valables avec les dx?? Quelle théorie assure cela?
    2) il faut quand même travailler avec des variations pas trop amples c’est cela? Auquel cas l’approximation est erronée...
  • Si tu donnes un exemple de calcul concret, on pourra peut-être voir si la démonstration à la physicienne peut être convertie en une démonstration mathématique.
  • Pour la question 3 de ce sujet, en utilisant l’astuce que j’ai donné on trouve le résultat directement... mais je ne vois pas trop la validité mathématique94634
  • Azertyuiop12 a écrit:
    donc 1) toutes les règles de calcul restent valables avec les dx?? Quelle théorie assure cela?
    A priori, non. Et pourquoi une théorie assurerait un calcul "à la physicienne" ?
    Les physiciens ont parfois utilisé des méthodes de calcul que les mathématiciens ne pouvaient justifier, mais dont la validité était assurée par les résultats obtenus (Heaviside et Dirac avec la distribution de Dirac, par exemple). Si on a une théorie justifiant un de ces calculs, on l'utilise.
  • En gros, tu as une fonction $f(x)$, et une autre variable $X=\frac{x}{\lambda}$, et tu veux montrer que $\frac{d^2f}{dX^2}=\lambda^2\frac{df}{dx}$.

    Montrons d'abord que pour toute fonction $g$, on a $\frac{dg}{dX}=\lambda\frac{dg}{dx}$.

    On considère $X$ comme une fonction de $x$. De manière plus rigoureuse, on écrit $g$ comme une composée de fonctions $g=h\circ X$, et il s'agit de montrer que pour tout $x$, on a $h'(X(x))=\lambda g'(x)$, ce qui est vrai d'après la formule de dérivation des fonctions composées.

    En particulier, pour $g=f$, on obtient $\frac{df}{dX}=\lambda\frac{df}{dx}$, et pour $g=\frac{df}{dX}$ on obtient $\frac{d^2f}{dX^2}=\lambda\frac{d}{dx}(\frac{df}{dX}) = \lambda\frac{d}{dx} (\lambda\frac{df}{dx})=\lambda^2\frac{d^2f}{dx^2}$.
  • Merci beaucoup !
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