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Une application du théorème 90 de Hilbert

Soient $q$ une puissance d'un nombre premier, $\mathbb{F}_q$ le corps fini de cardinal $q$, $\mathbb{\overline{F}}_q=\bigcup_{j \geq 1}\mathbb{F}_{q^j}$, $d \geq 0$ et $m \geq 1$ des entiers.

Comment déterminer le nombre de points rationnels d’une variété projective ou affine $\mathscr{H}$ définie sur $\mathbb{F}_q$ ? Ça dépend essentiellement de la dimension de $\mathscr{H}$ et dans le cas où $\mathscr{H}$ n’est pas irréductible: du degré de ses composantes irréductibles.
En 1933, Oystein Ore donne une estimation du nombre de points $\mathbb{F}_q$-rationnels d’une hypersurface affine de degré $d$ définie sur $\mathbb{F}_q$.
Si $\mathscr{L}=Z(f)$ est l’ensemble des zéros dans $\mathbb{A}^m(\mathbb{F}_q)$ d’un polynôme non-nul $f \in \mathbb{F}_q[x_1,…,x_m]$ de degré inférieur ou égal à $d$, alors:
\begin{equation}
\displaystyle \left|\mathscr{L}(\mathbb{F}_q)\right| \leq dq^{m-1}.
\end{equation}

Un analogue projectif de cette borne a été trouvé par J.-P.Serre et A.B. Sørensen, indépendamment, en 1991, dans le cas $\mathbb{P}(1,…,1)=\mathbb{P}^m$ où tous les poids sont égaux à $1$. Pour tout polynôme homogène $F \in \mathbb{F}_q[x_0, x_1, ..., x_m]$ non nul de degré $d$, l'ensemble $\mathscr{H}(\mathbb{F}_q)=V(F)$ consistant en tous les zéros de $F$ dans l'espace projectif $\mathbb{P}^m(\mathbb{\overline{F}}_q)$ vérifie:

\begin{equation}
\displaystyle \left|V(F)\right| \leq dq^{m-1}+p_{m-2},
\end{equation}
avec $\displaystyle p^r := \left|\mathbb{P}^r(\mathbb{F}_q)\right|=q^r+q^{r-1}+...+1 \: \: \text{si} \: r\:\text{(entier)}\:>0 \: \: \text{et} \: p_r:=0 \: \: \text{si} \: r<0$.

La borne ci-dessus est triviale quand $d \geq q+1$. Si l'on note $e_q(d; m)$ le maximum de zéros $\mathbb{F}_q$-rationnels dans $\mathbb{P}^m$, tout polynôme homogène $F \in \mathbb{F}_q[x_0, x_1, ..., x_m]$ non nul de degré $d$ admet:

\begin{equation}
\displaystyle e_q(d,m)=\text{min}\{p_m, dq^{m-1}+p_{m-2}\}.
\end{equation}

La borne pour $|V(F)|$ peut-être généralisée aux espaces projectifs avec poids:

\begin{equation}
\displaystyle \mathbb{P}(a_0,a_1,...,a_m):= \big(\mathbb{\overline{F}}_q^{m+1} \setminus \{(0,0,0)\}\big) \big/ \sim
\end{equation}

où la relation d'équivalence $\sim$ est définie par:

\begin{equation}
\displaystyle (x_0, x_1, ..., x_m) \sim (\lambda^{a_0}x_0, \lambda^{a_1}x_1, ..., \lambda^{a_m}x_m) \: \: \: \text{pour tout}\: \: \lambda \in \overline{\mathbb{F}}^*_q.
\end{equation}

La classe d'équivalence qui lui correspond est notée $(x_0:x_1:...:x_m)$. Elle représente un "point projectif pondéré" et ce point sera "$\mathbb{F}_q$-rationnel" si $(x_0:x_1:...:x_m)=(x_0^q:x_1^q:...:x_m^q)$. Par le théorème $90$ de Hilbert, on montre que tout point $\mathbb{F}_q$-rationnel a au moins un représentant dans $\mathbb{F}_q^{m+1} \setminus \{(0,0,0)\}$. Il en a précisément $q-1$. J'ignore les détails de la démonstration mais si quelqu'un souhaite apporter des précisions sur ce point, qu'il ou elle ne se gêne pas.

On choisi $F \in S=\mathbb{F}_q[x_0,x_1,...,x_m]$, un polynôme homogène non-nul de degré $d$ où chaque $X_i$ est affecté d'un poids $a_i$ pour $0 \leq i \leq m$, de sorte que:
\begin{equation}
\displaystyle F(\lambda^{a_0}x_0, \lambda^{a_1}x_1,..., \lambda^{a_m}x_m)=\lambda^dF(x_0, x_1,...,x_m) \: \: \text{pour tout} \: \: \lambda \in \mathbb{\overline{F}^*_q}.
\end{equation}

L'objet de la conjecture est la quantité:
\begin{equation}
\displaystyle e_q(d;a_0,a_1,...,a_m):= \smash{\displaystyle\max_{F \in S_d\setminus \{0\}}} |V(F)|.
\end{equation}

où $S_d$ est la partie de $S$ dans laquelle vivent les polynômes homogènes (avec poids), de degré $d$ et $V(F)$ est l'hypersurface projective composée des points $\mathbb{F}_q$-rationnels de $\mathbb{P}(a_0,a_1,...,a_m)$ en lesquels s'annule tout polynôme $F$ de $S_d$.
$S_d$ peut-être trivial pour certaines valeurs de $d$ auquel cas $e_q(d;a_0,a_1,...,a_m)$ n'est pas définie.
$e_q$ (qui n'est pas une fonction croissante du degré $d$) est bornée de la manière suivante:

$\textbf{Lemme.}$ Soit $a=\text{min}\{\text{ppcm}(a_r,a_s):\:0\leq r<s\leq m\}$ et supposons que $a$ divise $d$. Alors
\begin{equation}
\displaystyle e_q(d;a_0,a_1,...,a_m) \geq \text{min} \left\{p_m, \frac{d}{a}q^{m-1}+p_{m-2} \right\}.
\end{equation}
Par exemple, pour $\mathbb{P}(a_0,a_1)$, on pose $a:=\text{ppm}(a_0,a_1)$. On montre alors que $e_q(d;a_0,a_1)=\text{min}\{p_1,d/a\}$.

Supposons enfin (pour simplifier) qu'un des poids (disons $a_0$) est égal à $1$ et que $\text{ppcm} (a_1,...,a_m)$ divise $d$.
Si $a_1 \leq a_2 \leq ... \leq a_m$, on a la $\textbf{conjecture}$ suivante:

\begin{equation}
\displaystyle e_q(d;1, a_1, a_2,...,a_m)=\text{min}\left\{p_m, \frac{d}{a_1}q^{m-1}+p_{m-2}\right\}.
\end{equation}

https://arxiv.org/pdf/1503.03049.pdf

$\textbf{Références}$
[1] A.B. Sørensen: Rational points on hypersurfaces, Reed-Muller codes and algebraic-geometric codes, Ph. D. Thesis, Aarhus, Danemark, (1991)
[2] Serre, J.-P.: Lettre à M. Tsfasman, Journées Arithmétiques (Luminy, 1989). Astérisque No. 198-200, 351-353 (1991)
[3] Datta, M., Ghorpade, S. R.: Number of solutions of systems of homogeneous polynomial equations over finite fields, Proc. Amer. Math. Soc., 145, 525_541 (2017)
...

Réponses

  • Je tente de reformuler le problème évoqué plus haut et qui fait intervenir le "théorème 90 " de Hilbert.
    On veut démontrer que tout point $\mathbb{F}_q$-rationnel de $\mathbb{P}(a_0,a_1,...,a_m)$ possède un représentant rationnel dans sa classe d'équivalence.

    Soit $F \in \mathbb{F}_q[x_0,x_1,...,x_m]$ un polynôme homogène à coefficients dans $\mathbb{F}_q$ et de degré $d$.
    L'ensemble des points $\mathbb{F}_q$-rationnels est une hypersurface projective définie par:
    \begin{equation}
    \displaystyle V(F)=\{x \in \mathbb{P}^{m}(\mathbb{\overline{F}}_q) \: \: |\: F(x)=0 \}
    \end{equation}
    Si $V(F)$ est non-vide, il existe un $x \in \mathbb{F}^m_q \setminus \{(0,0,...,0)\}$ tel que $F(x)=0$.

    Soit $x=(x_0,x_1,...,x_m) \in \mathbb{F}^{m+1}_q$. Sa classe d'équivalence notée $[x]$ s'écrit:
    \begin{equation}
    \displaystyle [x]=[x_0:x_1:...:x_m]=\{(\lambda^{a_0}x_0, \lambda^{a_1}x_1, ..., \lambda^{a_m}x_m) \: \: | \: \: \lambda \in \mathbb{\overline{F}}_q^*\} \subset \mathbb{F}^{m+1}_q.
    \end{equation}

    La classe d'équivalence $[x]$ d'un élément $x \in \mathbb{P}(a_0,a_1,...,a_m)$ possède un représentant rationnel dans $\mathbb{F}^{m+1}_q$ si $x$ est un point $\mathbb{F}_q$-rationnel (i.e. un élément de $V(F)$).
    Inversement, si $x$ est un point $\mathbb{F}_q$-rationnel, alors $[x]$ possède un représentant rationnel dans $\mathbb{F}^{m+1}_q$:
    \begin{equation}
    \displaystyle [x_0:x_1:...:x_m] \cap \mathbb{F}^{m+1}_q \neq \emptyset
    \end{equation}
    Comment le démontrer ? C'est simple. Il suffit de prononcer la phrase magique: "C'est une conséquence immédiate du théorème 90 de Hilbert."
    On démontre également que $[x]$ possède exactement $q-1$ représentants distincts dans $\mathbb{F}^{m+1}_q \setminus \{(0,...,0)\}$.
    ...
  • @df: Voilà où apparaît Hilbert 90 (je ne détaille pas tout exprès mais si un point te gêne, dis-le moi).

    Soit $k$ un corps, $K$ une clôture algébrique de $k$ et $\pi:\mathbf{A}^{n+1}_K-0\rightarrow{\mathbf{P}}_K(a_0,\dots,a_n)$ l'application quotient. Je vais noter $X=\mathbf{A}^{n+1}_K-0$ l'espace affine épointé. On veut montrer que si $\xi$ est un $k$-point de ${\mathbf{P}}_K(a_0,\dots,a_n)$ alors la fibre $X_\xi$ de $\pi$ au-dessus de $\xi$ contient un $k$-point. Notons d'emblée que les propriétés fondamentales sur les espaces projectifs avec poids permettent de supposer que les $a_i$ sont premiers entre eux.

    On dispose de l'action naturelle de $\mathbf{G}_m$ sur $X$ au-dessus de ${\mathbf{P}}_K(a_0,\dots,a_n)$ (issue de l'action de $\mathbf{G}_m$ sur $X$ au-dessus de $K$, car $\pi$ est le quotient de cette action). Cette action induit une action de $\mathbf{G}_m$ sur $X_\xi$ au-dessus de $\xi=\mathrm{Spec}(k)$ et donc une action de $\mathbf{G}_m$ sur $X_\overline{\xi}$ au-dessus de $K$ (où $\overline{\xi}$ est la composée de $\xi$ avec $\mathrm{Spec}(\overline{k})\rightarrow \mathrm{Spec}(k)$). De plus, on peut remarquer (en regardant les points fermés et en utilisant l'hypothèse que les $a_i$ sont premiers entre eux) que cette action fait de $X_\overline{\xi}$ un $\mathbf{G}_m$-torseur sur $K$. Or, d'après le théorème 90 de Hilbert, les $\mathbf{G}_m$-torseurs sur un corps (ou un anneau artinien plus généralement) sont tous triviaux, i.e. isomorphes à $\mathbf{G}_m$. On en déduit que $X_\overline{\xi}$ est isomorphe à $\mathbf{G}_m$ et donc que $X_\xi$ admet un $k$-point.

    Ajout: quant au fait que le nombre de $k$-points soit $q-1$ dans chaque fibre si $k$ est de cardinal $q$, j'allais le rédiger mais je me rends compte que c'est ce que tu as fait dans ce fil.
  • $\def\ovK{\overline K}$Ce que j'en dis :

    1) Je ne comprends pas l'énoncé initial à montrer mais ce n'est pas très grave.

    2) Dans le même genre, j'attache l'énoncé de l'exercice 1.12 de Silverman (Arithmetic of Elliptic Curves), qui fait CROIRE (en rouge) qu'il faut utiliser le théorème 90 d'Hilbert. Mais ABSOLUMENT PAS. Je conserve les notations $P = (x_0 : \cdots : x_n)$. Il y a une composante $x_i \ne 0$. Je peux donc, quitte à diviser par $x_i$, supposer $x_i = 1$. Pour des raisons de simplicité d'écriture, je suppose $i = 0$. On a donc pour tout automorphisme $\sigma$ de $\ovK/K$ :
    $$
    (\sigma(1), \sigma(x_1), \cdots, \sigma(x_n)) = \lambda . (1, x_1, \cdots, x_n) \qquad \text{pour un certain } \lambda \in \ovK^* \text { (dépendant de } \sigma)
    $$
    Ce qui donne $\sigma(1) = \lambda$ i.e. $\lambda = 1$ puis $\sigma(x_i) = x_i$ pour tout $i$. Ceci ayant lieu pour tout $\sigma$, on a que les $x_i$ sont dans $K$.

    3) Pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué ?92366
  • Cher Claude,

    1) df voulait montrer (il ne l'a pas dit très clairement en tout cas) que les $K$-points de $\mathbf{P}_{\overline{K}}(a_0,\dots,a_n)$ correspondent aux $\overline{K}$-points de $\mathbf{P}_{\overline{K}}(a_0,\dots,a_n)$ représentés par un élément de $K^{n+1}$ et ce en utilisant Hilbert 90. Je lui ai rédigé une preuve.

    2) En effet, c'est une alternative à Hilbert 90 pour 1).

    3) Peut être parce que ce qui est apparence plus compliqué est parfois plus intuitif? ;-) (édition: bon, peut-être pas dans l'exercice de Silverman...)
  • @Gaussien, df

    Merci pour la précision via ton point 1) : je me doutais que c'était quelque chose comme cela mais j'ai eu la flemme (c'est pas bien) d'analyser plus pour en tirer ce que tu en as tiré.

    Quand tu dis que tu as rédigé une preuve, c'est par MP ? Car pour l'instant, dans ton avant dernier post, il est question de torseur ...etc... Je ne sais pas si c'est intuitif pour une personne qui ne connait pas (faut demander à df).

    Et figure toi que je pense connaître un peu ces histoires et à chaque fois, j'ai des surprises. Ici, je me suis mis à écrire les détails en utilisant seulement le th 90 d'Hilbert. Et je me suis aperçu que l'espace projectif avec poids n'intervenait pas.

    Voici un énoncé : soit $L/K$ une extension galoisienne de groupe $G$ et une action ($K$-linéaire) de $G$ sur un $L$-espace vectoriel $V$ vérifiant $\sigma(\lambda v) = \sigma(\lambda) \sigma(v)$ pour tous $\sigma \in G$, $\lambda \in L$, $v \in V$.
    Soit $v_0 \in V$ non nul vérifiant $\sigma(v_0) \in Lv_0$ pour tout $\sigma \in G$ ; alors il existe $v_1 \in V$ INVARIANT par $G$ tel que $L.v_0 = L.v_1$.

    Enfin, je crois quand même que de temps en temps, il faut essayer de court-circuiter ... Ou bien fournir plusieurs approches. Je t'attache encore un exo (véridique) sans donner le nom de l'auteur.92372
  • @claude:

    Non, ce n'est pas une version en MP: c'est bien dans mon message plus haut que j'ai donné ladite preuve. En effet, ce n'est pas intuitif si on n'a pas l'interprétation géométrique de Hilbert 90 (i.e. que tout $\mathbf{G}_m$-torseur sur un corps est trivial, et c'est d'ailleurs la seule "intuition" que je mets dessus), auquel cas je réfère au point 2) de ton message.

    Pour ton scan, j'imagine que la forme originale à laquelle se réfère l'auteur est celle pour les extensions cycliques? Dans ce cas, on peut déduire le résultat en considérant la norme de l'extension $\mathbf{Q}\left[i\right]/\mathbf{Q}$ (et ça marche encore en changeant $\mathbf{Q}$ par un corps où $-1$ n'est pas un carré). Au fait, je crois avoir reconnu l'excellent Rational points on varieties de Poonen, non?

    Enfin, pour ton exercice où on a une action semi-linéaire de $G$ sur un $L$-espace vectoriel $V$, je ne sais pas s'il y a une façon plus facile de le faire, mais ce qui me vient en tête c'est: combiner le lemme de Speiser (à savoir que la flèche naturelle $L\otimes_K V^G\rightarrow V$ de $L$-ev munis d'une action semi-linéaire de $G$ est un isomorphisme: la démonstration que j'en connais repose sur Hilbert 90) à ta remarque plus haut sur le fait que $\mathbf{P}^n(L)^G=\mathbf{P}^n(K)$.
  • @Gaussien
    Effectivement cela vient de Poonen, tu connais tes classiques.

    Je suis d'accord sur tout. Sauf sur un point : cela serait une bonne chose que tu PARLES à df (pas à mézigue). Penses tu que tout le monde sait ce qu'est un torseur ? A un tel point que je ne voyais pas où tu lui avais vraiment expliqué la chose !
    Comment se fait-il qu'il ne participe plus ? Do you see what I mean ? Du coup, par respect par df, je dois me retirer dare-dare de ce fil.
  • @df (sous les conseils avisés de Claude):

    L'explication que je t'ai donnée utilise la notion de torseurs en géométrie algébrique. Je ne veux pas faire un cours mais je vais essayer d'expliquer «avec les mains» ce qu'est un torseur. Toutefois, je ne prétends pas que cela puisse se comprendre en un claquement de doigts.

    Déjà, si $X$ est un ensemble sur lequel un groupe $G$ agit, on dit que $X$ est un $G$-torseur si cette action est libre et transitive.

    Ensuite, dans le cadre de la géométrie différentielle, on parle plutôt de «fibré principal homogène» et la définition est la suivante. Si $G$ est un groupe, on dit d'un morphisme $\Phi: M\rightarrow N$, de variétés différentielles, que c'est un fibré $G$-principal trivial s'il existe un isomorphisme $\alpha:M\simeq N\times G$ qui, composé avec la projection $N\rightarrow N\times G$, donne $\Phi$. Maintenant, on dit que $\Phi$ est un fibré $G$-principal si $M$ vient avec une action de $G$ et s'il existe un recouvrement de $N$ par des ouverts $U_i$ tel que la restriction $\Phi_i$ de $\Phi$ à $\Phi^{-1}(U_i)$ soit un fibré trivial (et je note $\alpha_i$ l'isomorphisme définissant cette trivialisation): mais ce n'est pas tout. On demande d'une part que les $\alpha_i$ soient $G$-équivariants, d'autre part on demande une certaine compatibilité entre ces trivialisations, à savoir que $\alpha_i\circ\alpha_j^{-1}:U_{ij}\times G\rightarrow U_{ij}\times G$ soit de la forme $(x,g)\mapsto (x,g.f_{ij}(x))$ pour une application continue $f_{ij}:U_{ij}\rightarrow G$.
    La première remarque intéressante est que les fibré $G$-principaux, à isomorphisme près, sont classifiés par l'ensemble pointé $H^1(M,\underline{G})$ (où $\underline{G}$ est ici le faisceau constant sur $M$ associé à $G$, et $H^1(M,\underline{G})$ correspond à la définition 1.3 du document en pièce jointe en remplaçant «schéma» par « variété différentielle», en retirant le mot «site» est en remplaçant «recouvrement» par «recouvrement ouvert»).

    Maintenant, dans le cadre schématique, je ne vois pas comment parler de torseurs en général (et j'ai envie de le faire en général, et pas seulement avec une base $\mathrm{Spec}(k)$, pour avoir une «intuition» géométrique) sans avoir à parler de topologie de Grothendieck. Sans rentrer dans les détails, la notion de topologie de Grothendieck permet de faire des choses plus fines qu'avec la topologie de Zariski: par exemple, quand je dis «soit $(U_i)$ un recouvrement de $X$ par des ouverts de Zariski», je pense à une famille de flèches $(U_i\rightarrow X)$ satisfaisant certaines conditions. Ainsi, une topologie de Grothendieck sur une catégorie donnée (ici celle des schémas) revient à se donner pour chaque objet une collection de familles de recouvrements (whatever it means, mais il faut penser au cas Zariski) satisfaisant certaines conditions.

    Pour se fixer les idées, donnons nous un schéma de base $S$ et soit $G$ un $S$-schéma en groupes. On dit d'un $S$-schéma $X$ que c'est un $G$-torseur sur $S$ pour une topologie de Grothendieck donnée $\tau$ s'il est muni d'une action (à droite pour fixer les idées) de $G$ et s'il existe un recouvrement $U_i\rightarrow S$ de $S$ tel que $X\times_S U_i$ soit isomorphe à $G\times_SU_i$ avec l'action induite de $G\times_S U_i$.
    Là encore, les $G$-torseurs sur $S$ pour la topologie $\tau$ sont, à isomorphisme près, classifiés par $H^1(S,G)$. Ce que dit le théorème de Hilbert 90, c'est que si $k$ est un corps, alors l'ensemble $H^1(k,\mathrm{GL}_n)$ est trivial. Or, on peut montrer que $H^1(k,\mathrm{GL}_n)=H^1(\mathrm{Spec}(k),\mathrm{GL}_n)$, d'où il suit que l'interprétation géométrique de Hilbert 90 est la suivante: «les $\mathrm{GL}_n$-torseurs sur un corps sont isomorphes à $\mathrm{GL}_n$».

    Comme dit au début, je cherchais juste à donner l'idée donc il est normal que certaines choses paraissent vagues. En guise d'explications un peu plus avancées pour le cadre schématique, j'ai écrit quelque chose en pièce-jointe (qui est loin d'être complet). Par contre, je n'y définis pas ce qu'est une topologie de Grothendieck, et je conseille pour ça de lire le paragraphe $1$ du chapitre I de Introduction to étale cohomology de Tamme).
  • J'aimerais participer mais je cherche une réponse pertinente aux posts de Gaussien !
    Tout d'abord je remercie Gaussien pour sa démonstration et pour la formulation précise du problème.
    Mais je dois avouer que sa réponse est d'une violence inouïe. Bon, je l'ai un peu cherché aussi. Ça m'apprendra !

    J'essaye effectivement d'avoir la vision la plus intuitive possible d'un problème difficile (de mon point de vue).
    J'ai bien dit que le point du théorème 90 de Hilbert n'était pas clair et que j'étais preneur d'explications.
    Aussi ma question est simple: comment formuleriez-vous le problème en question de la manière la plus élémentaire mais rigoureuse possible, comme j'ai essayé de le faire (en vain semble-t-il) en termes de classes d'équivalence d'un point $(x_0,x_1,...,x_m) \in \mathbb{A}^{m+1}\setminus \{(0,...,0)\}$ et de représentants de ces classes ? De telles notions sont censées parler à un étudiant de premier cycle contrairement aux espaces fibrés.

    $\textbf{1.}$ Voici deux formulations. Pour ne rien arranger, elles sont en anglais car, bien que certains Français comme Gilles Lachaud ou Marc Perret se distinguent dans le domaine des espaces projectifs, toutes les publications disponibles sur le net sont en anglais.
    Tapez "$\textbf{Weighted projective spaces}$" sur votre moteur de recherche pour vous en convaincre.

    $\textbf{Énoncé n°1}$ (Y. Aubry, W. Castryck, S. Ghorpade, G. Lachaud).

    $\mathbb{P}(a_0,a_1,...,a_n):= \big(\mathbb{\overline{F}}^{n+1}_q\setminus{(0,0,...,0)}\big)/\sim$.

    "It can be shown using Hilbert's theorem $90$ that every $\mathbb{F}_q$-rational has at least one representative in $\mathbb{F}^{n+1}_q\setminus\{(0,0,...,0)\}$".

    Clair ? Pas clair ? Rigoureux ou pas ? Un peu présomptueux peut-être... Les mathématiciens professionnels jugeront.

    $\textbf{Énoncé n°2}$ (Marc Perret)
    Let $a_0,...,a_n$ be non-negative integers. The weighted projective space $P_k(a_0,...,a_n)$ over a field $k$ is the scheme $\text{Proj}\: k[X_0,...,X_n]$ where the polynomial ring is graded by $\text{Deg}X_i=a_i$.

    • Let $[x]=[x_0:...:x_m] \in P=P_k(a_0,...,a_n)$. Then $[x] \in P(k)$ if and only if $[x_:...x_n] \cap k^{n+1} \neq \emptyset$.
    Problème annexe:
    • Let $[x]$ be a rational class over $\mathbb{F}_q$. There are exactly $q-1$ distinct representatives of $[x]$ in $\mathbb{F}^{m+1}_q \setminus \{0,...,0\}$.


    $\textbf{2.}$ Et si on commençait par se mettre d'accord sur la notion clé: à savoir celle de $K$-points ou de point $K$-rationnels ($K$ étant un corps de nombres) et l'ensemble auquel ils appartiennent (ou pas) ? On parle de variété projective lisse, "géométriquement entière" (notion vague ou mal traduite ?)
    Une variété définie sur $K$ peut ne pas posséder de $K$-points ou ne posséder que des $K$-points si $K$ est algébriquement clos. Est-ce vrai ?
    Il faut aussi distinguer entre points $K$-rationnels et points $K$-valués même si ils s'identifient dans certains cas.
    Si vous me posez la question, je réponds qu'un point $K$-rationel est un zéro dans $K$ d'un polynôme homogène de degré $d$ définissant une hypersurface d'un espace projectif sur $K$.

    Voici par exemple deux définitions des points $K$-rationnels:

    •$\textbf{Définition 1}$
    Attention, ici $K$ devient $L$.

    An affine variety $X$ over a field $k$ is given by a system of multivariable polynomial equations with coefficients in $k$:

    \begin{equation}
    f_1(x_1,...,x_n)=0 \\
    \vdots \\
    f_m(x_0,...,x_n)=0
    \end{equation}
    For any extension $L \supseteq k$, the set of $L$-rational points on $X$ is
    \begin{equation}
    \displaystyle X(L):= \{\overrightarrow{a} \in L^n:f_1(\overrightarrow{a})=...=f_m(\overrightarrow{a})\}=0
    \end{equation}

    $\textbf{Définition 2}$ (voir la pièce jointe)
    Il s'agit de l'explication d'un intervenant sur le forum "MathStack". Elle est bien notée et m'a l'air tout à fait sérieuse.

    Ce fil parle de problèmes ouverts. Les points $K$-rationnels en sont une source importante (conjectures de Lang, de Manin-Mumford...).
    Comment estimer les points $\mathbb{F}_q$-rationnels d'une variété projective lisse définie sur $\mathbb{F}_q$ ?
    Déterminer les points $K$-rationnels d'un $K$-scheme est en général très difficile.

    Moi, j'essaye juste d'avoir une vision claire des notions de base et de la nature des ensembles affine et projectif qui interviennent.
    Faisons comme si nous n'étions pas à un séminaire de l'IHES, dans un décor en noir et blanc à écouter un grand monsieur filiforme au crâne dégarni (il nous regarde et il nous juge...)

    Cordialement

    ps: cela dit, si vous souhaitez vous écharper sur la notion de "torseur": ne vous gênez pas. Ce n'est même pas mon fil de discussion de toute façon !
    ...92392
  • @Gaussien: j'ai mis mon commentaire en ligne sans voir que tu m'avais devancé. Je te remercie pour ces explications détaillées que je vais étudier.
    ...
  • Un modérateur ou administrateur pourrait-il scinder le fil en retirant les messages à partir du message de df (inclus) qui précède ma première intervention sur ce fil? Il s'agirait de créer un nouveau fil dans la section Algèbre, qu'on pourrait intituler «Une application du théorème 90 de Hilbert».

    Je justifie cette demande en faisant remarquer que toutes nos interventions à partir de ce message de df ont dévié et sont devenues étrangères à ce fil.

    [Voilà qui est fait. S'il y a une erreur de message, la signaler. :-) AD]

    [Merci beaucoup AD! :-) Est-il possible de le déplacer dans le forum Algèbre?]
  • @df:

    Pour comprendre les règles du jeu que tu te fixes et répondre à nouveau à ta question, j'ai besoin de savoir quel langage utiliser, d'où l'interrogation suivante: que sais-tu en géométrie algébrique? Sais-tu ce qu'est un schéma et as-tu joué avec de tels objets? Pour toi, la définition d'une variété sur un corps correspond-elle juste au lieu des zéros d'une famille de polynômes? Ça me permettra de mieux savoir comment tourner ma réponse.

    De plus, tiens-tu vraiment à savoir comment faire intervenir Hilbert 90 ou serais-tu content s'il y avait une méthode plus simple (qui est celle du premier message de Claude et que je te réexpliquerai plus précisément suivant tes prérequis)?
  • @Gaussien,

    Peut-être que le mieux est de se concentrer sur le théorème 90 en collant autant que possible aux pré-requis d'algèbre commutative et aux propriétés des variétés projectives sur les corps finis.
    Par exemple, j'aimerais savoir comment ce nombre de $q-1$ représentants distincts de $[x]$ se déduit du théorème 90 sous sa forme classique.
    Je suis également très intéressé par des explications sur la solution alternative de Claude.

    Cela dit, si tu veux aborder le problème dans toute sa généralité grâce au langage des catégories: pourquoi pas ?
    Mais une présentation en termes de schémas, de faisceaux et de topologie de Grothendieck serait pour moi ingérable.
    Il faut des années pour maîtriser ces notions.

    En géométrie algébrique, je me réfère au cours de J.S.-Milne disponible en pdf. Crois-tu possible de faire une présentation intéressante du problème relatif au théorème 90 de Hilbert en s'en tenant (autant que possible) aux concepts suivants ? Ce serait déjà beaucoup !

    ...92412
  • Salut df, Gaussien, Claude

    Un petit exemple, comme par hasard, on regarde un peu les histoires de plan projectif pondéré avec Claude, je précise que je n'y connais strictement rien (j'aime bien dire ça, c'est ma couverture en cas d'erreur :-D) !

    Je prend $\mathbb{P}^2(2,3,5)$. Je note $K := \mathbb{F}_{13}[X] / (X^3+2X+11)$ et je note $\zeta$ l'image de $X$ dans $K$. $K$ est un corps fini de degré $3$ sur $k = \mathbb{F}_p$.

    Je prend le point $P = (5\zeta^2 + 11\zeta + 11, 1 , 6\zeta^2 + 8\zeta + 8 )$. Et je fais agir le groupe de Galois $\text{Gal}(K \mid k)$ sur ce point $P$ i.e je fais agir le morphisme de Frobenius $\sigma := \left[ x \mapsto x^p \right]$ ici $p=13$. Via machine on trouve :

    $$
    \sigma(P) = (2\zeta^2 + 7\zeta + 7, 1, 5\zeta^2 + 11\zeta + 11) = 9 \star P \qquad \sigma^2(P) = (6\zeta^2 + 8\zeta + 8, 1, 2\zeta^2 + 7\zeta + 7) = 3 \star P
    $$

    Bien sûr $\star$ c'est pour l'action que l'on considère. Qu'est ce que l'on voit : Et bien le point $p$ satisfait à tes conditions ! Pour tout $\tau \in \text{Gal}(K \mid k)$, on a : $\tau(P) \simeq P$ mais par contre parmi les points dont j'ai donné les coordonnée $P$, $\sigma(P)$ et $\sigma^2(P)$ on ne voit pas de point à coordonnées dans $k$ parce qu'il y a des $\zeta$.

    Du coup, comment faire ?

    Edit : mon dieu mais est-ce que je suis vraiment réveillé ??? J'ai édité 10 fois ce matin :-D
  • @Claude : y'a une certaine magie, les coordonnées en affine ne mentent jamais sur la rationnalité du point :
    sage: g_y = lambda x , y, z :  [x^3/y^2, x^2*z/y^3, x*z^2/y^4, z^3/y^5]
    sage: f_y = lambda w, v, u, t :  [w, w , w*v]
    sage: g_y(x,y,z)
    [3, 1, 9, 3]
    sage: x,y,z
    (5*z3^2 + 11*z3 + 11, 1, 6*z3^2 + 8*z3 + 8)
    sage: f_y(3,1,9,3)
    [3, 3, 3]
    

    Edit :
  • Il n'est pas raisonnable d'insister mais je n'arrive pas à m'extraire de ce maudit théorème.
    L'article de Poonen dissipe un peu les brumes.

    $\textbf{1.}$ Soit $G$ un groupe (profini) et $A$ un $G$-module à gauche sur lequel $G$ agit continûment.
    On définit $A^G$:

    \begin{equation}
    \displaystyle A^G=H^0(G,A):=\{a \in A: g.a=a \: \: \text{pour tout} \: \: g \in G\}
    \end{equation}
    C'est le sous-groupe des $G$-invariants de $A$. Les Anglais disent "fixed field" donc ce sous-groupe est un corps !
    Soit $A$ une variété abélienne sur $k$. Le groupe de Galois absolu du corps $k$, $G_k=\text{Gal}(\overline{k}/k)$, agit sur le groupe abélien $A(\overline{k})$.

    La théorie de Galois nous apprend que $H^0(G_k,A(\overline{k}))=A(k)$, le groupe des points $k$-rationnels de $A$ !
    Ce qui explique pourquoi, dans l'article de Y. Aubry, un point $\mathbb{F}_q$-rationnel de $\mathbb{P}(a_0,...,a_m)$ est défini par:
    $[x_0:x_1...:x_m]=[x_0^q:x_1^q:...:q_m^q]$.

    Le théorème $90$ de Hilbert dit que: $\displaystyle H^1(G_k,\overline{k}^*)=0$. Cela nous permet-il d'en déduire automatiquement que: $\displaystyle H^0(G_k,\overline{k}^*)=k^* $ ?
    À savoir que le corps fixe de $A=\mathbb{P}(a_0,...,a_m)$ sous l'action de la multiplication scalaire du groupe $\mathbb{F}^*_q$ n'est autre que le sous-groupe de ses points $\mathbb{F}_q$-rationnels...

    $\textbf{2.}$ j'ai compris la question de @Gaussien qui me demandait si je voyais, dans une variété, autre chose qu'un ensemble de solutions d'équations polynomiales.
    Il voulait probablement savoir si je pensais "Schéma $X$ séparé, lisse, simple de type fini sur $K$" quand on me disait "variété abélienne sur $K$".
    Jusqu'à il y a peu: la réponse est non.

    $\textbf{3.}$ Voici une autre application du théorème $90$ de Hilbert; la démonstration du théorème de $\textbf{Wedderburn}$: "Tout corps fini est commutatif".

    Si $K$ est un corps fini, cela signifie que pour un certain $s$ de ce corps $K$, le centralisateur $C_s$ est $K$ tout entier.
    Dans la démonstration, (que je me garderai bien de commenter), $\text{Br}(K/L)$ désigne le $\textbf{groupe de Brauer}$ de l'extension.
    C'est mon $\textbf{cadeau de Noël}$.

    Soit $K$ un corps fini et $K/F$ une extension finie. Par le théorème $90$ (au fait, pourquoi $90$ ?) de Hilbert, on a $H^1(\text{Gal}(K/F), K^*)=0$.
    Le groupe $\text{Gal}(K/F)$ est cyclique et pour tout groupe cyclique $G$ et tout $\mathbb{Z}[G]$-module $M$, l'ordre de $H^n(G,M)$ est le même pour tout $n \geq1$.
    Donc $H^n(\text{Gal}(K/F, K^*)=0$ pour tout $n \geq 1$ en particulier $n=2$. Donc tous les groupes $\text{Br}(K/F)$ sont triviaux (ils se réduisent à l'élément neutre) comme est triviale leur union $\text{Br}(F)$. Il en résulte qu'un corps fini est égal à son centre donc qu'il est commutatif. cqfd

    cf. $\textbf{Local class field theory}$-Pierre Guillot... ou comment affréter un Airbus pour traverser la rue.

    ps: Je m'arrête là pour de bon. J'ai suffisamment énervé les mathématiciens professionnels comme ça !
    N'hésitez pas à me signaler les éventuelles c.nneries proférées. Je peux tout entendre !

    ps2: $\textbf{Théorème $90$ de Hilbert}$.
    Soit $K/F$, une extension cyclique de groupe de Galois $\langle \sigma \rangle$. Tout élément $\alpha$ de $K^*$ de norme $1$ (par rapport à l'extension $E/F$) est de la forme $\alpha=\beta/\sigma(\beta)$ pour un certain $\beta \in K^*$.
    ...
  • Le théorème $90$ de Hilbert dit que:
    $\displaystyle H^1(G_k,\overline{k}^*)=0$. Cela
    nous permet-il d'en déduire automatiquement que:
    $\displaystyle H^0(G_k,\overline{k}^*)=k^* $ ?


    Non, ça n'est pas Hilbert 90 qui dit ça, c'est plutôt par définition d'une extension galoisienne infinie et de son groupe de Galois.


    À savoir que le corps fixe de
    $A=\mathbb{P}(a_0,...,a_m)$ sous l'action de la
    multiplication scalaire du groupe $\mathbb{F}^*_q$
    n'est autre que le sous-groupe de ses points
    $\mathbb{F}_q$-rationnels...


    Tu veux plutôt dire : "A savoir que l'ensemble des points fixes de $A={\mathbb P}(a_0 ,a_1 ,...,a_m )$ sous l'action naturelle du groupe de Galois n'est autre que le sous-ensemble des points à coordonnées dans ${\mathbb F}_q$". En effet c'est une conséquence e Hilbert 90.


    $\textbf{3.}$ Voici une autre application du
    théorème $90$ de Hilbert; la démonstration du
    théorème de $\textbf{Wedderburn}$: "Tout corps
    fini est commutatif".


    C'est vrai, mais attention qu'il y a deux définitions du groupe de Brauer. La première est via un $H^2$, la seconde par l'ensemble des classes d'équivalences d'algèbres centrales simples munies du produit tensoriel. L'application de Hilbert 90 présuppose que l'on ait au préalable montré l'équivalence des deux définitions, ce qui demande du travail !
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