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Analyse non standard, équa diff, définition

Bonjour, j'aimerais si possible avoir des réponses sur les questions suivantes.

1. Je suis en train de lire "Et pourtant ils ne remplissent pas N" de Claude Lobry qui parle d'analyse non standard et je me demande qu'elles sont les applications en physique de l'analyse non standard (à part une justification de manière rigoureuse de la notion d'infiniment petit).

2. Il y a 1 ou 2 jours un ami m'a proposé le problème suivant. Imaginons que nous fassions un trou qui va jusqu'au centre de la terre et que nous y lâchions une balle que se passe-t-il lorsque la balle atteint le centre ? De la manière dont je l'ai compris (je me place dans le cadre de la mécanique classique), on peut reformuler la question ainsi soit A et B deux points matériels de masse M et m isolés on se place dans le référentiel de A et on prend m<<M on peut donc négliger l'accélération de A par rapport à B causée par l'interaction gravitationnelle qui engendrerait des forces fictives on se place sur l'axe d'origine A orienté de A vers B en écrivant la 2 ème loi de Newton pour B on a :

-GmM/r^2=ma donc a=-GM/r^2 ce qui nous conduit à résoudre l'équation différentielle y''=c/y^2 ou y''y^2=c que se passe-t-il donc lorsque r=0, B s’arrête ou continue (je pars du point vue qu'il n'y a pas de collision avec A) ? Pour ma part je me suis tout d'abord dit que B s’arrêtera car pour r=0 l'accélération est infiniment grande et que même si elle passait l'accélération changerait de sens, je sais que ce n'est pas très rigoureux ni même physiquement possible mais voilà si vous avez une réponse.

3. Je me demande s'il existe une définition d'un vecteur angulaire à partir du vecteur position j'ai trouvé une définition du vecteur vitesse angulaire sur wikipedia sous forme de produit vectoriel https://fr.wikipedia.org/wiki/Vecteur_vitesse_angulaire j'arrive à en déduire une définition que je mets en pièce jointe.

Merci d'avance.91940

Réponses

  • solé pour l'erreur c'est plutôt r^2 et non r ce qui nous mène à y''y^2=c
  • Bonjour.

    Pour ton 2, tu peux lire un bel article d'histoire des sciences sur "Pour la Science", et tu verras que le problème est nettement plus compliqué, à cause de la rotation de la terre. Une balle qu'on laisse tomber dans un puits vertical se heurte aux parois assez vite.
    D'ailleurs tu ne peux pas utiliser la formule "-GmM/r^2=ma" car la masse d'attraction de la balle diminue au fur et à mesure qu'elle s'approche du centre (dans un modèle sphérique, seule la sphère des masses plus proches du centre a un effet).
    Dans un modèle sphérique sans rotation, la balle arrive au centre avec la vitesse acquise, l'attraction au centre est nulle, donc elle continue et est freinée par l'attraction. Si le trou continue jusqu'à l'autre côté et est vide, elle va jusqu'à l'autre côté où sa vitesse est celle du lâcher. Si on la lâche sans vitesse, elle revient ensuite jusqu'au point de départ.

    Bien entendu, tout ça c'est très théorique, vois l'article.

    Cordialement.
  • Merci pour votre réponse je ne comprends pas très bien pourquoi lorsque la balle se rapproche la masse grave (c'est ainsi que je comprends l'expression la "masse d'attraction") diminue mais je regarderai l'article pour les parois je m'imaginais un cas sans rotation la manière dont j'ai compris la question était sans doute un peu trop loin de la première question de mon ami je me demande tout de même si en se plaçant dans ma première conception si le corps B continue ou s'arrête. Merci encore pour votre réponse.
  • Un calcul assez élémentaire montre qu'une sphère d'épaisseur dr donne une force d'attraction nulle dans son intérieur. Donc seuls les éléments sphériques plus proches du centre que la balle contribuent à une force d'attraction vers le centre.
    Et la masse correspondante varie en fonction de $r^3$ si r est la distance de la balle au centre, ce qui fait que la force d'attraction devient nulle au centre (assez élémentaire, sinon le centre bougerait).

    Cette question simplifiée est de niveau début d'université, si on a vu les principes de physique correspondants.

    Cordialement.
  • Merci beaucoup pour votre réponse passez une bonne journée
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