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Méthode d’exhaustion

Bonjour,
Les grecs ont réussi grâce à la méthode d’exhaustion à calculer le volume de la sphère. Cela force le respect pour deux raisons : ils ont deviné la formule, et ils ont su calculer le volume de polyèdres réguliers. Je n’ai pas trouvé grand chose d’autre sur le sujet, savez-vous comment ils ont procédé pour ces deux étapes?
B&B

Réponses

  • Bonjour.

    Cherche les textes d'Archimède qui nous sont parvenus. Il me semble qu'il utilise des raisonnements mécaniques pour trouver les formules, puis justifie par exhaustion les intuitions obtenues.
    N'importe comment, tu n'iras pas loin, seuls quelques textes mathématiques ont été conservés, parfois par pur hasard (palimpsestes), parfois grâce à la civilisation arabo-perse. Par exemple, on n'a aucun texte de l'école pythagoricienne.

    Cordialement.
  • Merci gerard0 (j’ai mis du temps à répondre j’avais oublié).
  • Pour y parvenir, il a utilisé un découpage du cylindre et de la sphère en tranches horizontales (une méthode qui s'apparente au principe de Cavalieri).

    Pour simplifier le problème, on va imaginer que la sphère en question est celle ayant pour centre l'origine et pour rayon 1 (d'équation x²+y²+z²+1, même si les équations de surfaces n'existaient pas à l'époque d'Archimède), et le cylindre est celui de rayon 1, orienté verticalement (d'équation x²+y²+1).

    Si on se place au niveau d'une tranche à l'ordonnée z, alors la tranche de cylindre est un cercle de rayon 1 (et d'aire pi) et la tranche de sphère est un cercle de rayon sqrt(1-z²), et donc d'aire pi*(1-z²). Sur cette tranche, si on retranche l'aire du petit cercle à l'aire du grand cercle, on obtient pi-pi*(1-z²) = pi*z². On peut remarquer que cette valeur correspond à l'aire d'une tranche de cylindre (d'équation x² + y² = z²). Autrement dit, pour chaque tranche, c'est à dire à chaque ordonnée z, l'aire de la section de cylindre moins l'aire de la section de sphère donne l'aire d'une section de cône.

    Sauf que l'on sait depuis Eudoxe que le volume d'un cône est égale au tiers de celui d'un cylindre dans lequel celui-ci est placé. Du coup, en retirant le volume du cône à celui du cylindre, il reste le volume de la sphère, qui correspond donc aux deux tiers de celui du cylindre.
  • bonjour

    pour rectifier la démonstration précédente on peut dire que le volume $\pi.r^3$ du cylindre de base circulaire (de rayon r) et de hauteur r

    est rempli par le cône de même base et de même hauteur r et donc de volume égal à $\frac{1}{3}\pi.r^3$

    et par la demie-sphère de disque équatorial identique à la base du cylindre

    ce qui entraîne par différence le volume de la demie-sphère, égal à $\frac{2}{3}\pi.r^3$

    et donc celui de la sphère complète, égal au double de cette grandeur

    cordialement

    PS : les Grecs anciens (en particulier Archimède) avaient l'esprit pragmatique
    et utilisaient en effet volontiers les jarres de forme cylindrique, conique ou demi-sphérique
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