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Topologie et physique

Bonjour

Je suis à la recherche d'exemples d'applications en physique (plutôt théorique de préférence) de grands résultats topologique de base par exemple

- la classification des surfaces compactes
- la théorie du degré
- le théorème du point fixe Brouwer
- le théorème de Borsuk-Ulam

Cette liste n'est pas exhaustive et toute idée est le bienvenue !

Omega

Réponses

  • Il y a un livre d'Atiyah qui s'appelle "Knot and physics" je crois qui doit contenir des choses dans cette direction !
  • Merci Lupulus, mais à vrai dire je voulais éviter tout ce qui est théorie des nœuds, je veux vraiment rester en topologie de base, c'est-à-dire le genre de résultats qu'on peut connaître (sans forcément avoir vu des preuves) en L3/M1/agreg...
  • Merci pour cette référence. Je ne connais pas les auteurs et n'ai pas réussi à voir la table des matières, mais au vu de la description, ça semble assez loin de ce que je cherche : je cherche des applications en physique de résultats topologiques de base c'est-à-dire accessibles à des étudiants de niveau L3/M1/agreg. La description du livre donne plutôt l'impression que la topologie mise en œuvre est de niveau M2 voir niveau recherche.
  • Bonjour,

    @omega : je connais pas mal de physique : pour une application topologique, c’est assez varié, mais c’est niveau M2 : théorie quantique des solides, théorie des champs, liquides quantiques, théorie des noeuds, compactification en théorie des cordes, etc. sans oublier la théorie de la matière condensée et les transitions de phases.
  • Merci YvesM, je connais un peu ce dont tu parles (enfin, je sais que ça existe, dire que je comprends la physique en question serait un mensonge éhonté !), mais je cherchais justement quelque-chose de beaucoup plus simple, accessible à des matheux niveau L3/M1/agreg. On dirait bien que je cherche le mouton à 5 pattes...:-(
  • Tu peux regarder du côté de l'électromagnétisme. La topologie du domaine considéré joue un grand rôle dans les déterminations des potentiels électromagnétique (notamment le nombre de "trous").
  • Je n'ai pas d'idées précises en tête mais il me semble bien que la topologie "de base" au sens où tu l'entends intervient à tous les niveaux en physique, des théories les plus "élémentaires" aux plus compliquées.

    Après, il faut aussi voir qu'en physique on va quasiment toujours avoir "en plus" un bagage par dessus. Pour formuler les équations, on a besoin des formes différentielles et si on veut travailler sur les aspects globaux (donc ceux plus propices à amener de la topologie), on doit travailler avec le langage des fibrés, des groupes de Lie... Il ne faut pas laisser ce langage "voiler" le fait que certains aspects topologiques relèvent vraiment de la topologie "de base" au sens où tu l'entends.

    Par exemple, plusieurs choses en électromagnétisme sont liées au lemme de Poincaré et à la cohomologie de de Rham (c'est ce que dit Héhéhé). Je crois que certains de ces aspects sont évoqués dans le livre The geometry of physics de T. Frankel.
    Dans une autre direction (calcul grâce à des résultats de topologie) et en plus avancé, on a le livre Electromagnetic Theory and Computation: A Topological Approach de P. Gross et P. R Kotiuga.
    Toujours en électromagnétisme, on a l'argument de Dirac pour la quantisation de la charge qui est aussi un argument "topologique" et assez "élémentaire" de mémoire. Il y a aussi d'autres travaux qui tournent autour de ça.

    Pour les points que tu as cité plus spécifiquement, on a:
    -la classification des 2D TQFTs (topological quantum field theory) qui utilise la classification des surfaces (et beaucoup d'autres choses). Voir à ce sujet (pour la partie math.) le livre de J. Kock Frobenius Algebras and 2D Topological Quantum Field Theories. C'est un livre de math. (et c'est assumé) donc il y a un petit peu de motivation physique(et certaines références afférentes) mais surtout beaucoup de math. L'idée est de comprendre ce que c'est qu'une TQFT et plus particulièrement de prouver une correspondance précise avec les algèbres de Frobenius (et au passage démontrer dans le cas n=2 l'hypothèse du cobordisme). C'est d'ailleurs assez intéressant parce qu'on utilise des résultats de topologie pour comprendre des TQFTs alors qu'habituellement c'est plutôt les TQFTs qu'on utilise pour comprendre et classifier les variétés (en dimension 3 par exemple)...

    -très probablement (là c'est de la spéculation de ma part) quelque chose qui utilise le degré pour classifier un truc en physique. La raison pour laquelle je pense ça (outre ma mémoire qui me suggère fortement quelque chose dans ce sens mais je suis incapable de mettre le doigt dessus) c'est parce qu'on utilise de la K-théorie pour classifier plein de trucs en physique, par exemple récemment en physique de la matière condensée mais avant ça c'était déjà utilisé en théorie des cordes. On peut aussi voir que le degré est lié à l'étude des systèmes d'équations différentielles au départ je crois (il faudrait jeter un œil aux articles sur l'Analysis Situs de H. Poincaré ou au moins des références qui en parlent comme le livre de J. Dieudonné ou peut-être le site internet créé récemment).

    Peut-être que tu trouveras quelque chose dans le livre Topology and Analysis the Atiyah-Singer Index Formula and Gauge-Theoretic Physics de D. D. Bleecker et B. Booss (sorti en 1984 je crois mais il y a aussi une nouvelle édition (2013?) un peu modifiée(en mieux pour les passages que j'ai pu lire) et plus agréable à l’œil puisque tapé en TeX).
    A noter que dans ce livre on trouve aussi un chapitre sur les opérateurs de Wiener-Hopf qui est une classe importante d'opérateurs de Fredholm ayant des applications en physique, ingénierie, stat... et qui sont travaillés en lien avec la théorie de l'indice dans le livre. Cela peut peut-être t'intéresser.

    Il y a certainement d'autres exemples, et probablement des choses qui utilisent les deux autres "items" que tu as cité (j'insiste dessus même si tu as toi-même annoncé que la liste n'était pas exhaustive) peut-être même déjà parmi les objets cités ci-dessus mais mes infos s'arrêtent là.

    Bon courage et bonne chance.

    EDIT: Je rajoute que le livre Geometry, topology and physics de M. Nakahara t'intéressera peut-être. Il cite notamment dans son chapitre "homotopie" une application aux superfluides (pas lu, c'est peut-être déjà trop "high level"). Après les autres applications me semblent assez "high level".
  • Merci Héhéhé pour cette suggestion.
    Merci Algebraic pour ton long message très intérressant.
    Je vais suivre vos pistes...
  • Bonjour,

    Salut Omega : en parcourant rapidement le forum j'ai découvert ce fil, désolé pour cette intervention tardive. Je crois comprendre que tu souhaiterais des choses plus simples que ce qui t'a été proposé. Les premières idées assez connues qui me passent par la tête d'application en physique (très...) théorique de la topologie sont pour :

    - En mécanique des fluides, le théorème du point fixe de Brouwer (en 2D) => il existe au moins un point sur Terre où le vent ne souffle pas. En effet, tu peux schématiser la Terre à un instant $t_0$ comme une sphère des vents en coordonnées sphériques dont une application (celle dans Brouwer) - forcément continue d'après les équations Navier-Stokes de la mécanique des fluides - donnerait l'image à l'instant suivant $t_1 > t_0$. Le point fixe serait alors l'endroit où la molécule d'air reste "à sa place" (pas de vent).

    - En thermodynamique, le théorème de Borsuk-Ulam (idem en 2D) => il existe deux points antipodaux (i.e. diamétralement opposés) de l'atmosphère sur Terre qui sont dans le même état thermodynamique. En effet, toujours en modélisant la Terre comme une sphère parfaite couverte d'air, tu définis l'application continue qui à chaque point de cette sphère associe le point d'un plan graphique représentant deux variables comme la pression $P$ et la température $T$, ou la masse volumique $\rho$ et la pression, etc. et tu utilises la loi des gaz parfaits ($P = \rho\gamma rT$) pour conclure.

    Il s'agit bien sûr de modélisation à l'extrême mais comme on en voit souvent en physique théorique et qui ferait la joie - moyennant un peu plus de mathématiques - d'un public de jeunes étudiants "matheux" pas trop à l'aise avec la physique. Peut-être connais-tu déjà tout ça. J'essaie de réfléchir à d'autres exemples aussi simples, notamment en physique du solide/cinématique.

    Bonne journée.
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