Transformée de Fourier — Les-mathematiques.net The most powerful custom community solution in the world

Transformée de Fourier

Bonjour,
est-ce que quelqu'un ici peut m'expliquer en quelques lignes comment est apparue la transformée de Fourier et quelle est son utilité surtout en edp et en théorie du signal ?
Merci par avance.
Cordialement.

Réponses

  • Je lisais un tout petit paragraphe qui disait qu’une des raisons de cette branche était notamment de résoudre l’équation de la chaleur. Au lieu d’être sur une barre de longueur L, on prend une fonction L-périodique, et on a des propriétés pratiques.

    Je n’en sais pas plus mais je peux retrouver ce paragraphe qui, de mémoire, est dans le Monier ANALYSE MP.
  • Bonjour
    en fait j'ai lu que la transformée de Fourier sert à décomposer une fonction en d'autres fonctions périodiques qu'on connait. C'est là que je m'embrouille l'esprit car par la définition de la transformée de Fourier, la fonction n'est pas automatiquement périodique donc comment écrire une fonction non périodique en fonction de fonctions périodiques? Aussi qu'elle est sa relation avec la théorie du signal?

    Merci par avance de m'aider à démêler tout ça.
  • Bonjour Ccapucine.

    Comme personne ne répond, je partage mes maigres connaissances.
    Pour l'origine de la TF, je ne sais pas; je ne suis même pas sûr que Fourier en ait parlé. Il me semble bien qu'il a surtout utilisé la décomposition en séries trigonométriques (dites maintenant séries de Fourier). Or les domaines des séries de Fourier et de la TF, au niveau élémentaire, sont quasi disjoints : fonctions périodiques pour les séries, fonction intégrables sur $\mathbb R$ pour la transformée. Ce n'est qu'en utilisant la généralisation des fonctions que sont les distributions que l'on peut définir les TF des fonctions périodiques, qui sont des séries de [large]D[/large]iracs affectés des coefficients de la série de Fourier.

    Pour les utilisations, je connais surtout deux domaines :
    * l'utilisation du spectre (ou du spectre pour les signaux répétitifs) pour faire apparaître des "pics" en fréquence montrant une sorte de périodicité
    * l'utilisation de la version discrétisée de la TF, avec la Transformation de Fourier Rapide (FFT), qui permet de faire des analyses spectrales rapide, voire même des calculs efficaces (multiplication rapide de très grands entiers).
    En tout cas, pour mes ex-collègues spécialistes de traitement du signal, la TF est un outil basique.

    Cordialement.
  • Cette notion de $\textbf{transformée}$ s'est développée progressivement au cours du $\text{XIX}^e$ siècle et désigne le passage d'une fonction d'une certaine classe à une fonction d'une autre classe.
    L'intégrale de Fourier (l'ancien nom de la transformée) d'une fonction $f$ convergente $\textbf{presque partout}$ apparaît pour la première fois en 1807 dans un mémoire non-publié de Fourier.
    Aujourd'hui, on la trouve écrite sous la forme : $$

    \large{\displaystyle k {\int_{-\infty}^{+\infty}}f{(\alpha})e^{-i \alpha x}d\alpha}.

    $$ Un mathématicien Allemand du nom de H. Burkhardt lui consacrera quelques chapitres dans un ouvrage paru en 1908.
    Quand aux $\textbf{séries de Fourier}$, elles étaient déjà utilisées au $\text{XVIII}^e$ siècle par un certain Euler...

    L'expression $\textbf{"Transformée de Fourier"}$ apparaît pour la toute première fois en 1933, dans un ouvrage de Wiener (voir ci-dessous).

    $\textbf{Source}$: "Les premières démonstrations de la formule intégrale de Fourier" par Silvia Annaratone-Revue d'Histoire des Mathématiques-SMF.
    ...88976
  • Merci beaucoup à Gerard et df. Quant à la relation de la transformée de Fourier avec la théorie du signal, quelle est cette relation?

    Cordialement
  • Je l'ai déjà dit, je le dis autrement : Passer d'un signal temporel à un signa fréquentiel. Si tu penses à la modulation de fréquence, tu vois que la forme fréquentielle est à la base de la méthode.

    Cordialement.
  • bonjour

    les séries que nous appelons présentement "séries de Fourier" étaient connues d'Euler
    qui les avaient déterminées 65 ans avant le mathématicien bonapartiste et préfet de l'Isère

    cordialement
  • Je ne suis pas historien mais ce qui serait logique mathématiquement c'est que ce soit Fourier qui a compris que dans $f = \sum_n a_n e^{2i\pi nx}$ on a $a_n = \int_0^1 f(x)e^{-2i\pi nx}dx$ et pas Euler.

    Poisson aurait objecté que ça ne convergeait pas et qu'on ne pouvait pas remplacer $f$ par sa série de Fourier.

    Dirichlet a travaillé sur le problème et obtenu $\sum_{n=-N}^N a_n e^{2i\pi nx} = f \ast D_N$ le noyau de Dirichlet pour prouver la (non) convergence de la série de Fourier. Il approxime $D_N$ par $\frac{2(N+1/2)\sin \pi (N+1/2) x}{\pi x}$ donc ça amène directement à la transformée de Fourier et à la même méthode pour prouver la transformée de Fourier inverse.

    Dirichlet est parti en Allemagne et là bas (à cause de l'influence des travaux d'Euler) on l'a saoulé en lui disant "faut écrire $F(z)=\sum_n a_nz^n$ pas $f(x)=\sum_n a_n e^{2i \pi nx}$" et il a répondu "oui mais qui dit que ça converge ailleurs qu'en $|z|=1$"

    Et c'est comme ça que l'analyse complexe est née (Cauchy est à l'époque en Allemagne) avec l'idée que $a_n = \int_{|z|=1} F(z) z^{-n-1}dz$ et de trouver quand est-ce que la série de Fourier s'étend sur le plan complexe.
  • Bonjour, si c’est ces questions vous intéressent je vous conseille de lire ce livre. Je ne l’ai que commencé mais une partie de l’histoire des séries de Fourier (et de Fourier tout court) est traitée.

    [quelle honte cette faute, j’étais mal réveillé]
  • @ Capucine.

    Je me suis laissé dire qu'en astronomie, l'image reçue des étoiles est modifiée par les instruments (télescope, etc.) Cette modification est le produit de convolution de l'image reçue par une fonction caractéristique de l'instrument.

    Pour évacuer ce bruit, on fourierise, on divise par la transformée de Fourier de la fonction caractéristique de l'instrument et on fourierise inverse pour récupérer l'image.

    À vérifier donc. C'était il y a longtemps et je me suis toujours méfié de ce que pouvait me raconter un militaire en uniforme.

    e.v.
    À ta naissance, tu pleurais tout le temps et tout le monde souriait autour de toi. Fais en sorte qu'à ta mort, ce soit l'inverse. (Proverbe arabe)
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Success message!