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Toujours et encore zeta(2)

En feuilletant une vieille revue de 1871, Messenger of mathematics, je suis tombé sur un calcul d'un certain R. Pendlebury, qui est à peu près celui-ci.

On part de \begin{align}
\int_0^\infty \int_0^\infty \frac{1}{(1+x^2)(1+y^2)}\,dx\,dy=\frac{\pi^2}{4}
\end{align} On passe en coordonnées polaires
\begin{align}
\frac{\pi^2}{4}&=\int_0^\infty \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{r}{1+r^2+r^4\sin^2 \theta\cos^2 \theta}\,d\theta\,dr
\end{align} On applique le changement de variable $y=r^2$,
\begin{align}\frac{\pi^2}{4}&=\frac{1}{2}\int_0^\infty \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1+r+r^2\sin^2 \theta\cos^2 \theta}\,d\theta\,dr\\
&=\frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\left[\frac{2}{\cos(2\theta)}\text{arctanh}\left(\frac{r\cos(2\theta)}{r+2}\right)\right]_{r=0}^{r=\infty}\,d\theta\\
&=\frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{2}{\cos(2\theta)}\text{arctanh}\left(\cos(2\theta)\right)\,d\theta\\
&=\frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\cos(2\theta)}\ln\left(\frac{1+\cos(2\theta)}{1-\cos(2\theta)}\right)\,d\theta\\
&=-\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\ln\left(\tan \theta\right)}{\cos(2\theta)}\,d\theta\\
&=-\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\ln\left(\tan \theta\right)}{1-\tan^2 \theta}.\frac{1}{\cos^2 \theta}\,d\theta\\
\end{align} On fait le changement de variable $x=\tan \theta$,
\begin{align}
\frac{\pi^2}{4}&=-\int_0^\infty \frac{\ln x}{1-x^2}\,dx\\
&=-\int_0^1 \frac{\ln x}{1-x^2}\,dx--\int_1^\infty \frac{\ln x}{1-x^2}\,dx

\end{align} Dans la deuxième intégrale on fait le changement de variable $y=\dfrac{1}{x}$ et donc,
\begin{align}
\frac{\pi^2}{8}&=-\int_0^1 \frac{\ln x}{1-x^2}\,dx\\
&=\int_0^1 \frac{x\ln x}{1-x^2}\,dx-\int_0^1 \frac{\ln x}{1-x}\,dx

\end{align} Dans la première intégrale on fait le changement de variable $y=x^2$,
\begin{align}\frac{\pi^2}{8}&=\frac{1}{4}\int_0^1 \frac{\ln x}{1-x}\,dx-\int_0^1 \frac{\ln x}{1-x}\,dx\\
&=-\frac{3}{4}\int_0^1 \frac{\ln x}{1-x}\,dx\\
&=-\frac{3}{4}\zeta(2)\\

\end{align} Source: page 131, https://books.google.fr/books?id=8pU_AQAAIAAJ&pg=PP14&dq=pendlebury+wilkinson+mathematics&hl=fr&sa=X&ved=0ahUKEwiW0tSLtN_jAhUxA2MBHbNrBI4Q6AEIKzAA#v=onepage&q&f=false

NB. L'article contient au moins une erreur (un carré en trop dans la première série à la fin ) et il n'utilise pas la même forme que moi pour la primitive clef du calcul ce qui change quelque peu la suite du calcul.
L'auteur avait seulement pour ambition de montrer que $\displaystyle \dfrac{\pi^2}{8}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)^2}$
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