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Hypothèse de Riemann

Bonjour,

le mathématicien George Polya avait démontré que l'hypothèse de Riemann était équivalente à une propriété des polynômes de Jensen vérifiée pour tout entier $n$.
Quatre mathématiciens (M. Griffin, K. Ono, L. Rolen, D. Zagier) ont à nouveau exploré cette piste depuis longtemps abandonnée et démontré la propriété en question pour tout $n$ suffisamment grand.

https://mathscholar.org/2019/05/mathematicians-prove-result-tied-to-the-riemann-hypothesis/

https://www.pnas.org/content/pnas/early/2019/05/20/1902572116.full.pdf
...

Réponses

  • C'est bizarre ces propriétés qui s'expriment plus simplement et qui sont équivalentes à RH, je pense aussi à celle de LAGARIAS aussi ..
  • (tu) merci pour les infos.
  • Pour ceux qui aiment les équivalences à l'hypothèse de Riemann folkloriques, en voici une peu connue : l'hypothèse de Riemann équivaut à l'évaluation
    $$\int_0^\infty \int_{1/2}^\infty \frac{1-12y^2}{\left( 1 + 4y^2 \right)^3} \, \log \left | \zeta(x+iy ) \right| \, \textrm{d}x \, \textrm{d}y = \frac{\pi(3-\gamma)}{32}.$$

    Référence.

    V. V. Volchkov, On an equality equivalent to the Riemann hypothesis, Ukrain. Math. Zh. 47 (1995), 422-423.

    Je pense que l'article est dispo en ligne.
  • Pas sûr que ce dernier article soit accessible au tout venant. Il est extrêmement court, un peu plus de deux pages.

    Une page qui recense les reformulations de l'hypothèse de Riemann:

    http://empslocal.ex.ac.uk/people/staff/mrwatkin/zeta/RHreformulations.htm

    PS:
    Merci à Noix de totos pour cette information et à DF.
  • Encore une, non citée sur la page fournie par Fin de Partie.

    Soit $p$ un nombre premier vérifiant $p \equiv \pm 5 \pmod {24}$ et on pose
    $$\lambda_p (n) := \left( \frac{\tau(n)}{p} \right)$$
    où $\tau$ est l'habituelle fonction de diviseur de Dirichlet, et $\left ( \cdot / p \right )$ est le symbole de Legendre. Enfin, on définit
    $$f_p(n) := \sum_{d \mid n} \lambda_p (d).$$
    Alors, l'hypothèse de Riemann est vraie si et seulement si
    $$\sum_{n \leqslant x} f_p(n) \ll x^{1/4 + \varepsilon}$$
    pour tout $\varepsilon > 0$.

    Référence.

    O. Bordellès, Long and short sums of a twisted divisor function, J. Integer Sequences 20 (2017), Art. 17.7.1.

    Lui aussi est en ligne : https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL20/Bordelles/bord42.pdf, mais je ne saurais dire s'il est "accessible au tout venant" (sic).
  • Je dois avouer que je ne suis pas trop fasciné par des formules asymptotiques.

    Cette égalité dans laquelle intervient une intégrale m'inspire davantage. B-)-
  • Il y en a pour tout les goûts...En l'occurrence, le mien serait plutôt le contraire du tien. (tu)
  • Noix de totos:
    Je m'en doute bien. :-)
  • Bien sûr qu'il en faut pour tous les goûts. Il en faut même pour les algébristes !
    Voici donc une équivalence disons... moins analytique.
    Paulo Ribenboim la mentionne dans ses "lectures sur la théorie des nombres".
    Elle a été obtenue en 1933 par Deuring. Je reprends bien sûr les notations du maître.

    On notera donc
    \begin{equation}
    Q= \bigl<a,b,c\bigr>=aX^2+bXY+cY^2
    \end{equation}

    une forme quadratique binaire (c'est-à-dire un polynôme homogène de degré 2 à 2 indéterminées et à coefficients $a,b,c$ dans $\mathbb{Z}$).
    Une telle forme est dite primitive si $\text{pgcd}(a,b,c)=1$.
    Si $D=D(Q)=b^2-4ac$ est un discriminant quelconque, on note $Q_D$ l'ensemble de toutes les formes et $\textbf{Prim}(Q_D)$ le sous-ensemble de $Q_D$ constitué des formes primitives.
    Si $D<0, \: Q_D$ est ramené à l'ensemble des formes définies positives.

    $GL_2(\mathbb{Z})$ sera le groupe linéaire de rang $2$ à coefficients dans $\mathbb{Z}$, c'est-à-dire l'ensemble des matrices:
    \begin{equation}
    A=\begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{pmatrix}
    \end{equation}

    vérifiant $\alpha\delta - \beta\gamma=1$.

    Soient deux formes $Q=\bigl<a,b,c\bigr>, \: Q'=\bigl<a',b',c'\bigr>$ et une matrice $A \in GL_2(\mathbb{Z})$.
    On définit une application $T_A: \: Q_D \longrightarrow Q_D$ de la manière suivante:

    \begin{equation}
    \displaystyle T_A\big(\bigl<a,b,c\bigr>\big)=\bigl<a',b',c'\bigr>
    \end{equation}

    avec les nouveaux coefficients $a',b',c'$ correctement exprimés en fonction des anciens. On a en particulier $a'=Q(\alpha, \beta)$.
    Cette relation définit une action de $GL_2(\mathbb{Z})$ sur $Q_D$.

    Deux formes sont dites équivalentes (noté $Q \sim Q'$) si il existe $A \in GL_2(\mathbb{Z})$ telle que

    \begin{equation}
    Q'=T_A(Q)
    \end{equation}

    Enfin, on note $h(D)$ le nombre de classes d'équivalence de $\textbf{Prim}(Q_D)$.

    Alors, si l'hypothèse de Riemann est fausse, il existe un nombre fini de discriminants $D<0$ tels que $h(D)=1$.

    Mordell démontrait peu après que si l'hypothèse de Riemann est fausse: $\lim_{D \to -\infty}h(D)=\infty$.

    NB: il existe aussi une notion de $\textbf{classes d'équivalence propres}$ portant sur le groupe linéaire spécial, sous-groupe de $GL_2(\mathbb{Z})$.
    ...
  • @Noix de toto


    Pourquoi folkloriques ? On ne peut pas les utiliser ?
  • Pour l'instant, toutes les équivalences d'HR (du moins celles que je connais) sont très certainement (au moins) aussi délicates à démontrer que l'hypothèse de Riemann elle-même.

    Par exemple, une équivalence classique est celle de la matrice de Redheffer $R_n$ (1977) : HR équivaut à $\det R_n \ll n^{1/2+\varepsilon}$. Mais l'étude des valeurs propres de $R_n$ est très compliquée (voir les deux papiers de Vaughan On the eigenvalues of Redheffer’s matrix 1 et 2 de 1991 et 1996 respectivement), et les outils classiques de l'analyse matricielle (par exemple : inégalité d'Hadamard) ne permettent même pas d'atteindre le théorème des nombres premiers.

    Dans le papier présenté ici par df, j'y vois certes une élégante manière d'aborder HR, mais en aucun cas un pas en avant vers une éventuelle démonstration.

    Pour un exposé complet sur HR, je suggère les deux ouvrages suivants de K. Broughan : https://www.amazon.fr/Equivalents-Riemann-Hypothesis-Arithmetic/dp/110719704X/ref=sr_1_6?__mk_fr_FR=ÅMÅŽÕÑ&amp;keywords=Riemann+Hypothesis&amp;qid=1558975214&amp;s=gateway&amp;sr=8-6 et https://www.amazon.fr/Equivalents-Riemann-Hypothesis-Encyclopedia-Applications-ebook/dp/B075V7KFM5/ref=sr_1_1?__mk_fr_FR=ÅMÅŽÕÑ&amp;keywords=equivalent+of+the+riemann+hypothesis:+volume+2&amp;qid=1558975243&amp;s=gateway&amp;sr=8-1
  • L'exposé de Ribenboim s'appuie en partie sur trois résultats élémentaires.

    $\textbf{1.}$ Deux formes quadratiques $n$-aires sont équivalentes s'il existe une matrice inversible $A \in GL_n(\mathbb{Z})$ telle que

    \begin{equation}
    \displaystyle Q(Ax)=Q'(x)
    \end{equation}

    $\textbf{2.}$ Si deux formes sont équivalentes alors elles représentent les mêmes entiers.

    $\textbf{3.}$ Soient $Q(x_1,...,x_n)$ et $Q'(x_1,...,x_n)$ deux formes quadratiques en $n$-variables.
    S'il existe des transformations linéaires $L_i=L_i(x_1,..., x_n), \: (1 \leq i \leq n)$ inversibles sur $\mathbb{Z}$ et telles que
    \begin{equation}
    Q(L_1,...,L_n)=Q'(x_1,...,x_n)
    \end{equation}
    alors $Q$ et $Q'$ représentent les mêmes entiers.

    La relation $T_A(Q)=Q'$ montre que $Q$ et $Q'$ sont équivalentes. De ce fait, il existe deux transformations linéaires $L_1(x,y)=\alpha x + \beta y$ et $L_2(x,y)= \gamma x + \delta y$ vérifiant
    \begin{equation}
    \displaystyle Q'(x,y) = Q(L_1, L_2) \\
    a'x^2 + b'xy + c'y^2= a(\alpha x + \beta y)^2 +b(\alpha x + \beta y)(\gamma x + \delta y) + c(\gamma x + \delta y)^2
    \end{equation}

    On identifie $a'$ avec les coefficients en $x^2$, $b'$ avec ceux en $xy$ et $c'$ avec ceux en $y^2$:

    \begin{equation}
    a'=a\alpha^2+b\alpha \gamma +c \gamma^2=Q(\alpha, \gamma), \\
    b'= 2a\alpha \beta +b(\alpha \delta + \beta \gamma) + 2c\gamma \delta, \\
    c'=a\beta^2 +b\beta \delta +c\delta^2= Q(\beta, \delta).
    \end{equation}

    Si $\alpha \delta - \beta \gamma = 1$ alors $\alpha \delta = 1 + \beta \gamma$ et $b'=2(a\alpha \beta + b \beta \gamma + c \gamma \delta) + b$.
    ...
  • J'ai vu plus tôt ce matin sur Arxiv que le résultat communiqué par df en début de fil a été généralisé à d'autres fonctions L.
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