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Démonstration - transformation de Lorentz

Bonjour amis des maths,

Je suis à la recherche d'une démonstration rigoureusement mathématique des transformations de Lorentz.

Je trouve les démos lues jusqu'à présent (wikipedia) incomplètes ou bien manquant de rigueur mathématique dans le raisonnement exposé.

Les postulats de départ sont :
1 principe de relativité
2 invariance de la vitesse de la lumière

Merci pour vos retours.

Réponses

  • Bonjour,

    Pour avoir une chance de retrouver la transformation de Lorentz, il faudra ajouter un 3. Je te laisse le découvrir ou le trouver quand tu liras une démonstration.
  • Bon, c'était acquis ou sous entendu :)

    3 homogénéité et isotropie de l espace.

    Merci pour votre attention
  • @ jippy13 :

    Si tu nous disais déjà quel est le manque de rigueur mathématique dans l'exposition de la démonstration des transformation de Lorentz ? Tu te rends bien compte que la démonstration s'appuie sur des postulats physiques et non pas sur des axiomes mathématiques ?

    Ceci dit, historiquement on a démontré les transformations de Lorentz sur la base des deux postulats que tu as cités. La lecture de l'article "Sur l'electrodynamique des corps en mouvement" d'Einstein est obligatoire.
    Avec plus d'un siècle de recul (et le développement des théories quantiques etc...) on a abandonné la construction historique (bien qu'elle persiste dans des nombreux ouvrages de physique tels que le Jackson d'Electrodynamique et autres par inertie culturelle) pour la fonder sur les principes d'homogénéité et isotropie de l'espace et l'homogénéité du temps. A partir de là on démontre l'existence d'un groupe continu à un paramètre dont la structure doit être en dernière analyse fixée par les expériences de physique. Le paramètre continu représente une vitesse limite qui s'identifie expérimentalement à la célérité de la lumière.

    Articles, ouvrages et polycopiés :

    Relativité Restreinte. Bases et Applications. Claude Semay et Bernard Silvestre-Brac Dunod (2005)
    Introduction to Special Relativity. Robert Resnick. Wiley & Sons 1968
    Relativistic Mechanics. R.D. Sard. W. A Benjamin 1970

    Am. J. Phys. 44 (3) 1976 Jean Marc Levy-Leblond - One more derivation of the Lorentz transformation
    Am. J. Phys. 47 (12) 1979 Jean Marc Levy-Leblond - Additivity, rapidity, relativity
    Am. J. Phys. 48 (5) 1980 Jean Marc Levy-Leblond - Speed(s)
    J. Math. Phys. 10 (8) 1969 Vittorio Berzi & Vittorio Gorini - Reciprocity Principle and the Lorentz Transformations

    Électromagnétisme et Relativité - J.M Raimond - 2000 (École Normale Superieure)
  • Bonjour Serge_S et amis des math.
    Voici l'un des points qui me dérange dans le raisonnement exposé dans "La théorie de la relativité restreinte et générale 2e éd. Broché" d'Albert Einstein.

    Le raisonnement consiste à identifier les réels A, B, C et D de la transformation linéaire marquant le passage de R à R' d'un point E spatio-temporel
    x'=Ax+Bt
    y'=Cx+Dt

    Le passage en question.
    Si x-ct = 0 équivaut à x'-ct'=0 (pour t>0 et x>0)
    alors
    x-ct=k(x'-ct') ou k est une constante positive.

    Je trouve que ce passage manque d'explication ou bien, à tout le moins, ne me semble pas si évident que cela.
    Quelqu'un pourrait-il me faire comprendre, ou m'expliquer cette implication ?
    Bien à vous amis des maths.
  • La transformation de Lorentz doit être linéaire pour satisfaire aux principes d'homogénéité et isotropie de l'espace-temps. Si elle ne l'était pas on pourrait par exemple avoir une situation où la longueur d'un objet dépendrait de sa position dans l'espace ce qui permettrait d'identifier du moins en principe un référentiel inertiel particulier ce qui est contraire au principe de relativité.

    Dans ton exemple on est dans un espace-temps à 2 dimensions (il y a une erreur dans ton énoncé, ce n'est pas y' mais t' dans la deuxième équation) et on supposera que le déplacement du référentiel R par rapport à R' se fait suivant l'axe commun xx'. Les axes sont confondus à l'instant t=t'=0.

    x' = Ax+Bt
    t' = Cx+Dt

    Le x-ct = 0 représente l'équation d'un rayon lumineux dans R. De même x'-ct'=0 représente l'équation d'un rayon lumineux dans R'. L'équation du rayon lumineux a la même forme dans les deux référentiels parce que la lumière s'y propage de la même façon.

    On a par conséquent x-ct = 0 = x'-ct'. La relation la plus générale compatible avec le principe de relativité c'est que le membre de gauche soit proportionnel au membre de droite. Autrement dit il existe une constant k telle que : x-ct = k(x'-ct').
  • Merci pour ta contribution Serge_S

    Ok sur le y'.... j'ai fourché en écrivant.

    Ensuite,
    oui, j'ai bien assimilé les postulats sur l'isotropie et l'homogénéité,
    oui je sous-entendais un espace spatio-temporel x,t (une dimension spatiale).

    Par contre, quand tu écris
    " La relation la plus générale compatible avec le principe de relativité c'est que le membre de gauche soit proportionnel au membre de droite. Autrement dit il existe une constant k telle que : x-ct = k(x'-ct')"

    tu ne fais que répéter ce qu'Einstein a dit.

    J'ai bien compris qu'il prenait les événements se déroulant sur un rayon lumineux comme base de son raisonnement, mais écrire
    Si ( x-ct = 0 équivaut à x'-ct'=0 (pour t>0 et x>0) )
    alors
    il existe k tel que x-ct=k(x'-ct') ou k est une constante positive, est faux.

    Je pense tout simplement, que l'égalité x-ct=k(x'-ct') entraîne (ou implique) l'assertion ( x-ct = 0 équivaut à x'-ct'=0 (pour t>0 et x>0) )

    Pour résumé, si on propose la relation x-ct=k(x'-ct') , on s’aperçoit que le rayon lumineux a la même vitesse dans les 2 référentiels.

    En écrivant, ce post, je crois avoir compris mon erreur, à savoir que la proposition " il existe k tq x-ct=k(x'-ct')" mène à l'invariance de la vitesse et non l'inverse (il s'agit d'une condition suffisante).

    Vos remarques seront les bienvenues.
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